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1、会计学1清华大学微积分高等数学导数与微分一清华大学微积分高等数学导数与微分一2023/4/172第五讲第五讲 导数与微分（一）导数与微分（一）二、导数定义与性质二、导数定义与性质五、基本导数（微分）公式五、基本导数（微分）公式一、引言一、引言三、函数的微三、函数的微分分四、可导、可微与连续的关系四、可导、可微与连续的关系第1页/共34页2023/4/173一、引言一、引言两个典型背景示例两个典型背景示例 例例1 1 运动物体的瞬时速度运动物体的瞬时速度设汽车设汽车沿沿t轴作直线运动轴作直线运动,若己知其运动若己知其运动规律规律(路程与时间的函数关系路程与时间的函数关系)为为求在时刻求在时刻 的
2、瞬时速度的瞬时速度.第2页/共34页2023/4/174解解 如果极限如果极限存在存在,这个极限值就是质点的这个极限值就是质点的瞬时速度瞬时速度.第3页/共34页2023/4/175 例例2 2 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？第4页/共34页2023/4/176第5页/共34页2023/4/177第6页/共34页2023/4/178二、导数定义与性质二、导数定义与性质1.导数定义：导数定义：第7页/共34页2023/4/179注意注意1 导数的等价定义：导数的等价定义：第8页/共34页2023/4/1710注意注意2 导数的意义：导数的意义：物理意义
3、物理意义几何意义几何意义 导数是函数在一点的变化率导数是函数在一点的变化率 第9页/共34页2023/4/1711例例:线密度问题线密度问题第10页/共34页2023/4/1712左导数左导数右导数右导数2.单侧导数定义：单侧导数定义：定理：定理：第11页/共34页2023/4/17133.导函数定义：导函数定义：第12页/共34页2023/4/1714三、函数的微分三、函数的微分 导数是从函数对自变量变化的速度来导数是从函数对自变量变化的速度来研究研究;而微分则是直接研究函数的增量，而微分则是直接研究函数的增量，这有许多方便之处。这有许多方便之处。（一）函数的微分的定义（一）函数的微分的定义
4、第13页/共34页2023/4/1715第14页/共34页2023/4/1716四、可导、可微与连续的关系四、可导、可微与连续的关系定理定理1:函数可微与可导是等价的函数可微与可导是等价的第15页/共34页2023/4/1717证证 (1)第16页/共34页2023/4/1718证证 (2)第17页/共34页2023/4/1719定理定理2：证证注意注意 可导必连续可导必连续,连续不一定可导！连续不一定可导！第18页/共34页2023/4/1720解解第19页/共34页2023/4/1721尖点尖点第20页/共34页2023/4/1722解解有铅垂切线有铅垂切线第21页/共34页2023/4/
5、1723解解振荡振荡不存在不存在！第22页/共34页2023/4/1724第23页/共34页2023/4/1725 微分的几何意义微分的几何意义微分三角形微分三角形第24页/共34页2023/4/1726第25页/共34页2023/4/1727五、基本导数（微分）公式五、基本导数（微分）公式第26页/共34页2023/4/1728第27页/共34页2023/4/1729微分基本公式微分基本公式第28页/共34页2023/4/17305.利用定义求导的例子利用定义求导的例子解解第29页/共34页2023/4/1731解解第30页/共34页2023/4/1732解解第31页/共34页2023/4/1733解解第32页/共34页2023/4/1734问题：如何求其他函数的导数？问题：如何求其他函数的导数？基本导数公式基本导数公式导数运算法则导数运算法则其他基本初等函数其他基本初等函数初等函数初等函数 四则四则复合复合反函数反函数隐函数隐函数参数方参数方程程对数微分法对数微分法第33页/共34页