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1、- 1 -第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。2015，全国卷，7,5 分(平面向量的线性运算)2015，全国卷，13,5 分(平面向量的线性运算)2014，北京卷，10,5 分(平面向量的线性运算)2014，浙江卷，8,5 分(平面向量的概念)高考对本讲内容的考查以向量的线性运
2、算为主；以向量的概念和线性运算知识为载体，与三角函数等知识综合考查的可能性较大，复习时应予以关注。试题多为客观题，难度不大，分值约为 5 分。微知识 小题练自|主|排|查1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量，其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位的向量非零向量a a的单位向量为a a |a a|平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0 与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量
3、0 的相反向量为 02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律- 2 -加法求两个向量和运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ab bb ba a。(2)结合律：(a ab b)c ca a(b bc c)。减法求a a与b b的相反向量b b的和的运算叫做a a与b b的差三角形法则a ab ba a(b b)数乘求实数与向量a a的积的运算(1)|a a|a a|；(2)当0 时，a a的方向与a a的方向相同；当0 时，a a的方向与a a的方向相反；当0 时，a a0(a a)()a a；()a aa aa a；(a ab b)a ab b3.共线向量定理向量a a(
4、a a0)与b b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得b ba a。微点提醒 1三个常用的结论：(1)零向量与任何向量共线。(2)平行向量与起点无关。(3)若存在非零实数，使得或或，则A，B，C三点共线。ABACABBCACBC2三个注意点：(1)向量共线与线段共线不同，前者可以不在同一直线上，而后者必须在同一直线上。同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上。(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。(3)在向量共线的充要条件中易忽视“a a0” ，否则可能不存在，也可能有无数个。小|题|快|练- 3 -一 、走进教材1(必修 4P7
5、8A 组 T5改编)已知三角形ABC，用与表示BC边上的中线向量，则ABACAD_。AD【解析】 ADABBDAB1 2BC ()。AB1 2ACAB1 2AB1 2AC【答案】 1 2AB1 2AC2(必修 4P92A 组 T11改编)在四边形ABCD中，a a2b b，4a ab b，5a a3b b，其中a a，b b不共线，则四边形ABCD为( )ABBCCDA平行四边形 B矩形C梯形 D菱形【解析】 因为8a a2b b2，所以，且|，所以ADABBCCDBCADBCADBC四边形ABCD为梯形。故选 C。【答案】 C二、双基查验1若向量a a与b b不相等，则a a与b b一定(
6、)A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量【解析】 因为所有的零向量都是相等的向量，故选 C。【答案】 C2若m mn n，n nk k，则向量m m与向量k k( )A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线【解析】 若m m0,0k k，则k k与m m不一定共线，故选 D。【答案】 D3若向量a a，b b满足|a a|3，|b b|8，则|a ab b|的最小值为( )A11 B2C4 D5【解析】 当a a与b b共线且反向时，|a ab b|的最小值为 5。故选 D。- 4 -【答案】 D4已知a a，b b是非零向量，若|a ab b|a ab b|，则以a
7、a，b b为邻边构成的四边形的形状为_。【解析】 如图，在以a a与b b为邻边的四边形中，|a ab b|与|a ab b|分别为四边形的两条对角线，故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，以a a，b b为邻边的四边形是矩形。【答案】 矩形5已知a a与b b是两个不共线向量，且向量a ab b与(b b3a a)共线，则_。【解析】 由已知得a ab bk(b b3a a)，Error!解得Error!【答案】 1 3微考点 大课堂考点一 平面向量的有关概念【典例 1】 给出下列四个命题：若|a a|b b|，则a ab b或a ab b；若，则四边形ABCD为平行四边形；ABDC若a
8、a与b b同向，且|a a|b b|，则a ab b；，为实数，若a ab b，则a a与b b共线。其中假命题的个数为( )A1 B2 C3 D4【解析】 不正确。|a a|b b|但a a，b b的方向不确定，故a a，b b不一定相等；不正确。因为，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；不正确。两向ABDC量不能比较大小；不正确。当0 时，a a与b b可以为任意向量，满足a ab b，但a a与b b不一定共线。故选 D。【答案】 D反思归纳 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键。(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。(3)共线向量即平
9、行向量，它们均与起点无关。- 5 -(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。解题时，不要把它与函数图象平移混为一谈。(5)非零向量a a与的关系：是a a方向上的单位向量。a a |a a|a a |a a|【变式训练】 下列命题中正确的是( )Aa a与b b共线，b b与c c共线，则a a与c c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a a与b b不共线，则a a与b b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【解析】 由于零向量与任一向量都共线，所以 A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，
10、而此时就构不成四边形，所以 B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以 D 不正确；对于 C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a a与b b不都是非零向量，即a a与b b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a a与b b共线，符合已知条件，所以有向量a a与b b不共线，则a a与b b都是非零向量，故选 C。【答案】 C考点二 平面向量的线性运算母题发散【典例 2】 (1)(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则( )BCCDA.B.AD1 3AB4 3ACAD1 3AB4 3ACC.D.AD4 3AB1 3A
11、CAD4 3AB1 3AC(2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC。若1 22 312(1，2为实数)，则12的值为_。DEABAC【解析】 (1) ()。故选ADACCDAC1 3BCAC1 3ACAB4 3AC1 3AB1 3AB4 3ACA。(2) ()，所以1 ，2 ，即DEDBBE1 2AB2 3BC1 2AB2 3BAAC1 6AB2 3AC1 62 312 。1 2【答案】 (1)A (2)1 2【母题变式】 若将本典例(2)的条件改为“2，” ，则ADDBCD1 3CACB- 6 -_。【解析】 ，CDCAADCDCBBD2。CDCACBADBD又2，
12、ADDB2CDCACB1 3AB ()CACB1 3CBCA。2 3CA4 3CB，即 。CD1 3CA2 3CB2 3【答案】 2 3反思归纳 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合三角形法则。(2)求已知向量的和。一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则。(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值。【拓展变式】 (2017惠州模拟)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则( )OP3OAOB2A点P在线段AB上B点P在线段A
13、B的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上【解析】 ()，即，OP3OAOB23 2OA1 2OBOA1 2OAOBOA1 2BAOPOAAP1 2BA所以点P在线段AB的反向延长线上。故选 B。【答案】 B考点三 共线定理的应用多维探究角度一：共线定理的简单运用- 7 -【典例 3】 设两个非零向量e e1和e e2不共线。(1)如果e e1e e2，3e e12e e2，8e e12e e2，求证：A，C，D三点共线；ABBCCD(2)如果e e1e e2，2e e13e e2，3e e1ke e2，且A，C，F三点共线，求k的值。ABBCAF【解析】 (1)证明：e
14、e1e e2，3e e12e e2，ABBC4e e1e e2，又8e e12e e2，ACABBCCD2，与共线。CDACACCD又与有公共点C，A，C，D三点共线。ACCD(2)e e1e e2，2e e13e e2，ABBC3e e12e e2。ACABBCA，C，F三点共线，从而存在实数，使得。ACAFACAF3e e12e e23e e1ke e2。又e e1，e e2是不共线的非零向量，Error!因此k2。实数k的值为 2。【答案】 (1)见解析 (2)2角度二：利用共线定理解决几何问题【典例 4】 (2016江西九校联考)已知P是ABC内一点，且，PBCAP1 3AB7 18A
15、C的面积是 2 015，则PAB的面积是_。【解析】 设SABCS，SBPCS12 015，SAPBS2。(恰当切入，从“三点共线”突破)如图，延长AP交BC于D，由平面几何知识，得。S1 S|PD|AD|由A，P，D三点共线，可得(R R)。ADAP1 3AB7 18AC由B，D，C三点共线，可得(1)(R R)。ADABAC联立和，有Error!解得Error!- 8 -则，ADAP18 13APPDADAP5 13AP那么，于是SS1。|PD|AD|5 1818 5同理，延长CP交AB于E，计算可得，|PE|CE|7 18所以S2S。7 18于是S2SS1S1 2 0152 821。7
16、187 1818 57 57 5【答案】 2 821反思归纳 利用共线向量定理解题的方法(1)证明向量共线，对于向量a a，b b(b b0)，若存在实数，使a ab b，则a a与b b共线。(2)证明三点共线，若存在实数，使，则A，B，C三点共线。ABAC(3)利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决。微考场 新提升1(2016开封一模)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为( )ANABACA. B.1 21 3C. D11 4解析 依题意，因为M，B，C三点共线，所以 。故选1 2AMANABAC1 2A。答案 A2
17、下列各式不能化简为的是( )ADA() ABCDBC- 9 -B()()ADMBBCCMC. MBADBMD.OCOACD解析 对于 A，()()；对于 B，()(ABCDBCABBCCDACCDADADMBBC)()；对于 C，2；对于 D，CMADMBBCCMADMBADBMADMBOCOACDAC。故选 C。CDAD答案 C3设P为锐角ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，k()(kR R)，若APABACcosBAC ，则k( )2 5A. B.5 142 14C. D.5 73 7解析 取BC的中点D，连接PD，AD，则PDBC，2，k()(kR R)，ABACADAPABAC2k，A
18、PADA，P，D三点共线，ABAC，cosBACcosDPC ，DP PCDP PA2 5APAD，2k ，解得k。故选 A。5 75 75 14答案 A4已知a a，b b是两个不共线的非零向量，且a a与b b起点相同。若a a，tb b， (a ab b)三向量1 3的终点在同一直线上，则t_。解析 a a，tb b， (a ab b)三向量的终点在同一条直线上，且a a与b b起点相同。1 3a atb b与a a (a ab b)共线，1 3即a atb b与a ab b共线，2 31 3- 10 -存在实数，使a atb b，(2 3a a1 3b b)Error!解得 ，t ，3 21 2即t 时，a a，tb b， (a ab b)三向量的终点在同一条直线上。1 21 3答案 1 25.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_。ABAMACAN解析 ()。AO1 2ABACm 2AMn 2ANM，O，N三点共线， 1。m 2n 2mn2。答案 2