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1、- 1 -第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。2016，全国卷，2,5 分(复数的四则运算)2016，全国卷，1,5 分(复数的几何意义)2016，全国卷，2,5 分(复数的四则运算)2015，全国卷，1,5 分(复数的乘除，模)2015，全国卷，2,5 分(复数的乘法，相等)每年平均有一个小题，难度较低，重点考查复数的代数形式的四则运算(特别是乘、除法)，也涉
2、及复数的概念及几何意义等知识。微知识 小题练自|主|排|查1复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b0，则abi 为实数；若b0，则abi 为虚数；若a0，且b0，则abi 为纯虚数。(2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR R)。(3)共轭复数：abi 与cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR R)。(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴除去原点叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。(5)复数的模：向量的模r叫做复
3、数zabi(a，bR R)的模，记作|z|或|abi|，即OZ|z|abi|。a2b22复数的几何意义- 2 -(1)复数zabi 复平面内的点Z(a，b)(a，bR R)。一一对应(2)复数zabi 平面向量(a，bR R)。一一对应OZ3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR R)则：加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0)。z1 z2abi cdiacbdbcadi c2d2(2)复数加法的运算
4、定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)。微点提醒 1i 的乘方具有周期性inError!(kZ Z)。2复数的模与共轭复数的关系：z|z|2|2。zz3两个注意点：(1)两个虚数不能比较大小。(2)利用复数相等abicdi 列方程时，注意a，b，c，dR R 的前提条件。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 22P106A 组 T2改编)若复数(a23a2)(a1)i 是纯虚数，则实数a的值为( )A1 B2 C1 或 2 D1【解析】 依题意，有Error!解得a2。故选 B。【答案】 B2(选修 22P112A
5、 组 T5(3)改编)复数2的共轭复数是( )(5 2i)- 3 -A2i B2iC34i D34i【解析】 22(2i)234i 所以其共轭复数是 34i。(5 2i)52i 2i2i故选 C。【答案】 C二、双基查验1(2016全国卷)已知z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)【解析】 由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以Error!解得3m1。故选 A。【答案】 A2已知aR R，i 为虚数单位，若(12i)(ai)为纯虚数，则a的值等于( )A6 B2C2 D6【解析】 由
6、(12i)(ai)(a2)(12a)i 是纯虚数，得Error!由此解得a2。故选 B。【答案】 B3若a，bR R，i 为虚数单位，且(ai)ibi，则( )Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【解析】 由(ai)ibi，得1aibi，根据两复数相等的充要条件得a1，b1。故选 D。【答案】 D4若复数z满足2i，则z对应的点位于第_象限。z 1i【解析】 z2i(1i)22i，因此z对应的点为(2,2)，在第二象限内。【答案】 二5若复数z满足zi，则|z|_。3i i【解析】 因为zi13ii14i，则|z|。3i i17【答案】 17- 4 -微考点 大课堂考点一 复数
7、的有关概念【典例 1】 (1)设xR R，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i 为纯虚数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件(2)若abi(i 是虚数单位，a，bR R)，则ab( )5 12iA2 B1 C1 D2(3)设复数z1i(i 为虚数单位)，z的共轭复数为 ，则|(1z) |( )zzA. B2 10C. D12【解析】 (1)由纯虚数的定义知：Error!x1，故选 C。(2)abi12i，所以a1，b2，ab2。5 12i故选 A。(3)依题意得(1z) (2i)(1i)3i，则|(1z) |3i|zz。故选 A。321210【
8、答案】 (1)C (2)A (3)A反思归纳 1.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可。2解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR R)的形式，以确定实部和虚部。【变式训练】 (1)设 i 是虚数单位，若复数a(aR R)是纯虚数，则a的值为( )10 3iA3 B1 C1 D3(2)若复数z1i(i 为虚数单位)， 是z的共轭复数，则z22的虚部为( )zzA0 B1 C1 D2【解析】 (1)aa(a3)i 为纯虚数，a30，10 3i103i 3i3i- 5 -即a3。故选 D。(2
9、)z22(1i)2(1i)20，z22的虚部为 0。故选 A。zz【答案】 (1)D (2)A考点二 复数的几何意义【典例 2】 (1)(2016太原模拟)复数z(i 为虚数单位)，z在复平面内i 2i2所对应的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2015陕西高考)设复数z(x1)yi(x，yR R)，若|z|1，则yx的概率为( )A. B. 3 41 21 21 C. D. 1 21 1 41 2【解析】 (1)因为zi，所以i 2i2i 44i1i 34ii34i 254 253 25z在复平面内所对应的点在第一象限。故选 A。(4 25，3 25)(2)由|z
10、|1 知复数z在复平面内对应的点构成的区域是以(1,0)为圆心，以 1 为半径的圆及其内部，右图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足yx的区域，该区域的面积为 11 ，故满足yx的概率为 。故选1 41 21 41 21 41 2 121 41 2D。【答案】 (1)A (2)D反思归纳 1.复数z、复平面上的点Z及向量一一对应，即OZzabi，(a，bR R)Z(a，b)。OZ2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。【变式训练】 (1)如图，若向量对应的复数为z，则z 表示的复数为OZ4 z(
11、)A13i B3i- 6 -C3i D3i(2)已知复数zxyi(x，yR R，x0)且|z2|，则 的取值范围为_。3y x【解析】 (1)由图可得Z(1，1)，即z1i，所以z 1i1i4 z4 1i1i1i22i3i。故选 D。41i 1i1i44i 2(2)因为|z2|x2yi|，|z2|，3所以(x2)2y23。设 k，则ykx。联立Error!y x化简为(1k2)x24x10。因为直线ykx与圆有公共点，所以 164(1k2)0，解得k，所以33的取值范围为，。y x33【答案】 (1)D (2)，33考点三 复数的运算【典例 3】 (1)(2016全国卷)若z43i，则( )z
12、|z|A1 B1C. i D. i4 53 54 53 5(2)(2016全国卷)若z12i，则( )4iz z1A1 B1 Ci Di(3)(2016全国卷)设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则|xyi|( )A1 B. 2C. D23【解析】 (1) i。故选 D。z|z|43i42324 53 5(2)i。4iz z14i 12i12i1(3)因为(1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，故选 B。12122- 7 -【答案】 (1)D (2)C (3)B反思归纳 (1)复数的乘法。复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另
13、一类同类项，分别合并即可。(2)复数的除法。除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式。(3)利用复数相等求参数。abicdiac，bd(a，b，c，dR R)。【变式训练】 (1)( )1i3 1i2A1i B1iC1i D1i(2)设复数z满足(z2i)(2i)5，则z( )A23i B23iC32i D32i【解析】 (1)1i，故选 D。1i3 1i21i3i3 2i22i 2i(2)z2i2i2i2i23i。5 2i52i 2i2i故选 A。【答案】 (1)D (2)A微考场 新提升1(2016山东高考)若复数z，其中 i 为虚数单位，则( )2
14、1izA1i B1iC1i D1i解析 易知z1i，所以1i。故选 B。z答案 B2(2016全国卷)设复数z满足zi3i，则( )zA12i B12iC32i D32i解析 易知z32i，所以32i。故选 C。z答案 C- 8 -3设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A若|z1z2|0，则12zzB若z12，则1z2zzC若|z1|z2|，则z11z22zzD若|z1|z2|，则zz2 12 2解析 对于 A，|z1z2|0z1z212，是真命题；对于 B，C 易判断是真命题；zz对于 D，若z12，z21i，则|z1|z2|，但z4，z22i，是假命题。故选32 12 23D。答案 D4(2017浙江模拟)已知 i 是虚数单位，若bi(a，bR R)，则ab的值为a3i i_。解析 由bi，得3aibi，所以b3，a1，a3i ia3i iia3i i2则ab3。答案 35已知aR R，若为实数，则a_。1ai 2i解析 i，1ai 2i1ai2i 2i2i2i2aia 52a 512a 5为实数，0，a 。1ai 2i12a 51 2答案 12