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1、- 1 -第二节第二节 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。2015，北京卷，13,5 分(平面向量基本定理)2015，江苏卷，6,5 分(平面向量坐标运算)2013，北京卷，13,5 分(平面向量基本定理)1.以考查平面向量的坐标运算为主，平面向量基本定理的应用也是考查的热点；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，主要与平面向量的数量积结合考查。微知识 小题练自|
2、主|排|查1平面向量基本定理(1)基底：不共线的向量e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。(2)定理：如果e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a a，有且只有一对实数1，2，使a a1e e12e e2。2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i i，j j作为基底，该平面内的任一向量a a可表示成a ax i iyj j，由于a a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a a的坐标，记作a a(x，y)，其中a a在x轴上的坐标是x，a a在y轴上的坐标是y。3平面向量的坐标
3、运算向量的加法、减法设a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab b(x1x2，y1y2)，a ab b(x1x2，y1y2)向量的数乘设a a(x，y)，R R，则a a(x，y)- 2 -向量坐标的求法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)AB4向量共线的坐标表示若a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，则a ab bx1y2x2y10。微点提醒 1能作为基底的两个向量必须是不共线的。2向量的坐标与点的坐标不同，向量平移后，其起点和终点的坐标都变了，但由于向量的坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变。3若a a(x1，y1)，b b(x2，y
4、2)，则a ab b的充要条件不能表示成，因为x2，y2x1 x2y1 y2有可能等于 0，应表示为x1y2x2y10。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 4P99例 8 改编)设P是线段P1P2上的一点，若P1(1,3)，P2(4,0)且P是P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为( )A(2,2) B(3，1)C(2,2)或(3，1) D(2,2)或(3,1)【解析】 由题意得或，(3，3)。P1P1 3P1P2P1P2 3P1P2P1P2设P(x，y)，则(x1，y3)，P1P当时，(x1，y3) (3，3)，P1P1 3P1P21 3所以x2，y2 时，即P(2,2)。当时，(x1，y
5、3) (3，3)，P1P2 3P1P22 3所以x3，y1，即P(3,1)。故选 D。【答案】 D2(必修 4P108A 组 T7改编)已知向量a a(2,3)，b b(1,2)，若ma anb b与a a2b b共线，则 ( )m nA B.1 21 2C2 D2【解析】 由向量a a(2,3)，b b(1,2)，得ma anb b(2mn,3m2n)，- 3 -a a2b b(4，1)。由ma anb b与a a2b b共线，得，所以 。故选 A。2mn 43m2n 1m n1 2【答案】 A二、双基查验1若向量(1,2)，(3,4)，则( )ABBCACA(4,6) B(4，6)C(2，
6、2) D(2,2)【解析】 ，ACABBC(1,2)(3,4)(4,6)。故选 A。AC【答案】 A2已知向量a a(2,1)，b b(x，2)，若a ab b，则a ab b等于( )A(2，1) B(2,1)C(3，1) D(3,1)【解析】 由a ab b可得 2(2)1x0，故x4，所以a ab b(2，1)。故选 A。【答案】 A3已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与同向的单位向量是( )ABA. B.(3 5，4 5)(3 5，4 5)C. D.(4 5，3 5)(4 5，3 5)【解析】 A(4,1)，B(7，3)，(3，4)。AB与同向的单位向量为。故选 A。ABAB|AB
7、|(3 5，4 5)【答案】 A4梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设a a，b b。若ABADma anb b，则 _。MNn m- 4 -【解析】 a ab ba aa ab b，MNMDDAAN1 41 21 4m ，n1。 4。1 4n m【答案】 45在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为ABACBD_。【解析】 设(x，y)，因为，ADACABAD所以(1,3)(2,4)(x，y)，所以Error!即Error!所以(1，1)，AD所以(1，1)(2,4)(3，5)。BDADAB【答案】 (3，5)微考点 大课堂考点
8、一 平面向量基本定理及其应用母题发散【典例 1】 (1)如果e e1，e e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )Ae e1与e e1e e2Be e12e e2与e e12e e2Ce e1e e2与e e1e e2De e12e e2与e e12e e2(2)(2017福州模拟)在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，CP2 3CA1 3CBAQ与CP的交点为M，又t，则实数t的值为_。CMCP【解析】 (1)选项 A 中，设e e1e e2e e1，则Error!无解；选项 B 中，设e e12e e2(e e12e e2)，
9、则Error!无解；选项 C 中，设e e1e e2(e e1e e2)，则Error!无解；- 5 -选项 D 中，e e12e e2(e e12e e2)，所以两向量是共线向量。故选 D。(2)因为，CP2 3CA1 3CB所以 32，CPCACB即 22，CPCACBCP所以 2。APPB即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设。AMAQ所以CMAMACAQAC，(1 2AB12AC)AC 2AB2 2AC又tt()CMCPAPACtt。(1 3ABAC)t 3ABAC故Error!解得Error!故t的值是 。3 4【答案】 (1)D (2)3 4【母题变式】
10、 在本典例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？【解析】 由(2)的解析及 ，2知，()CM 2AB2 2AC1 2CBCQCM1 2CBCA2 2CA(1) 2CBCA(1)。CQCACQCA2因此点M是AQ的中点。【答案】 点M是AQ的中点反思归纳 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：(1)运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求- 6 -解。考点二 平面向量的坐标运算【典例 2】 已知A(2,4)，B(3，1)
11、，C(3，4)。设a a，b b，c c，且ABBCCA3c c，2b b。CMCN(1)求 3a ab b3c c；(2)求满足a amb bnc c的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标。MN【解析】 由已知得a a(5，5)，b b(6，3)，c c(1,8)。(1)3a ab b3c c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)。(2)mb bnc c(6mn，3m8n)，Error!解得Error!(3)3c c，CMOMOC3c c(3,24)(3，4)(0,20)。OMOCM(0,20)。又2b b，CNONOC2b b(12,6)(3，4)(
12、9,2)。ONOCN(9,2)。(9，18)。MN【答案】 (1)(6，42) (2)m1，n1(3)M(0,20) N(9,2) (9，18)MN反思归纳 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则。【变式训练】 (1)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2,4)，(1,3)，ABAC则_。BD- 7 -(2)设向量a a，b b满足|a a|2，b b(2,1)，且a a与b b的方向相反，则a a的坐标为5_。【解析】 (1)(1，1)，(2，4)(1，1)ADBCACAB
13、BDBAAD(3，5)。(2)设a a(x，y)，x0，b0，O为坐标原点，若A，B，COAOBOC三点共线，则 的最小值为_。1 a1 b【解析】 (1)ma a4b b(2m4,3m8)，a a2b b(4，1)，由于ma a4b b与a a2b b共线，(2m4)4(3m8)，解得m2。(2)由题意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)ABACABAC(b2，4)，即Error!整理得 2ab2，所以 (2ab)(当且仅当ba时，1 a1 b1 2(1 a1 b)1 2(32a bba)1 2(32 2a bba)32 222等号成立)。【答案】 (1)2 (2)32 22-
14、 9 -微考场 新提升1在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a a，b b，则( )ABADBEAb ba a Bb ba a1 21 2Ca ab b Da ab b1 21 2解析 a ab ba ab ba a。故选 A。BEBAADDE1 21 2答案 A2已知a a(1,1)，b b(1，1)，c c(1,2)，则c c等于( )Aa ab b B.a ab b1 23 21 23 2Ca ab b Da ab b3 21 23 21 2解析 设c ca ab b，(1,2)(1,1)(1，1)，Error!Error!c ca ab b。故选 B。1 23 2答案 B3设向
15、量a a(1，3)，b b(2,4)，c c(1，2)，若表示向量 4a,a,4b b2c,c,2(a ac c)，d d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d d( )A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析 设d d(x，y)，由题意知 4a a(4，12)，4b b2c c(6，20)，2(a ac c)(4，2)，又 4a a4b b2c c2(a ac c)d d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d d(2，6)。故选 D。答案 D4Pa a|a a(1,1)m(1,2)，mR R，Qb b|b b(1，2)n(2,
16、3)，nR R是两个向量集合，则PQ等于_。解析 P中，a a(1m,12m)，- 10 -Q中，b b(12n，23n)。则Error!得Error!此时a ab b(13，23)。答案 (13，23)5若三点A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数a的值为_。解析 (a1,3)，(3,4)，ABAC据题意知，4(a1)3(3)，即 4a5，ABACa 。5 4答案 5 4微专题 巧突破向量问题坐标化向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出
17、了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础。在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷。【典例】 (2016四川高考)已知正三角形ABC的边长为 2，平面ABC内的动点P，M3满足|1，则|2的最大值是( )APPMMCBMA. B.43 449 4C. D.376 34372 334- 11 -【解析】 建立平面直角坐标系如图所示，则B(，0)，3C(，0)，A(0,3)，则点P的轨迹方程为x2(y3)21。设P(x，y)，3M(x0，y0)，则x2x0，y2y0，3代入圆的方程得22 ，所以点M的轨迹方程为(x032)(y03
18、 2)1 422 ，它表示以为圆心，以 为半径的圆，所以(x32)(y3 2)1 4(32，32)1 2|max ，所以|2max。故选 B。BM(32 3)2(320)21 27 2BM49 4【答案】 B【变式训练】 给定两个长度为 1 的平面向量和，它们的夹角OAOB为。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动。若xy，其2 3ABOCOAOB中x，yR R，求xy的最大值。【解析】 以O为坐标原点、所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，OA如图所示，则A(1,0)，B。(1 2，32)- 12 -设AOC，则C(cos，sin)。(0，2 3)由xy，OCOAOB得Error!所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，332 333( 6)又，所以当时，xy取得最大值 2。0，2 3 3【答案】 2