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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-69-6 双曲线教师用书理苏教双曲线教师用书理苏教1.双曲线定义平面内到两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点 F1，F2 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合 PM|MF1MF2|2a，F1F22c，其中 a，c 为常数且a0，c0.(1)当 2aF1F2 时，P 点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1x2 a2y2 b2(a0，b0)1y2 a2x2 b2(a0，b0)图
2、形范围xa或xa，yR RxR R，ya或ya对称性对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxb ayxa b离心率e ，e(1，)，其中cc aa2b2性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲2 / 18线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲
3、线.( )(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( )1.(教材改编)若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为_.答案 5解析 由题意得 b2a，又 a2b2c2，5a2c2.e25，e.2.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x的准线交于 A，B 两点，AB4，则 C 的实轴长为_.答案 43 / 18解析 由题设 C：1.抛物
4、线 y216x 的准线为 x4，联立1 和 x4，得A(4，)，B(4，)，AB24，a2，2a4.C 的实轴长为 4.3.(2016无锡一模)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为yx，那么双曲线的离心率为_.答案 103解析 根据题意，设双曲线的方程为1，则，所以 ，即双曲线的离心率为.4.(2016江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线1 的焦距是_.答案 210解析 由已知，a27，b23，则 c27310，故焦距为 2c2.5.双曲线y21 的顶点到其渐近线的距离等于_.答案 2 55解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是 yx，即 x2y0，则顶点到渐近线
5、的距离 d.题型一 双曲线的定义及标准方程命题点 1 利用定义求轨迹方程例 1 已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.4 / 18答案 x21(x1)解析 如图所示，设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件，得 MC1AC1MA，MC2BC2MB，因为 MAMB，所以 MC1AC1MC2BC2，即 MC2MC1BC2AC12，所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 C1C26.又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与
6、 C2 的距离大，与 C1 的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x21(x1).命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 12，离心率为；(2)焦距为 26，且经过点 M(0,12)；(3)经过两点 P(3,2)和 Q(6，7).解 (1)设双曲线的标准方程为1 或1(a0，b0).x2 a2由题意知，2b12，e.b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1 或1.(2)双曲线经过点 M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦5 / 18点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，c13，b2c2a22
7、5.双曲线的标准方程为1.(3)设双曲线方程为 mx2ny21(mn0).解得Error!双曲线的标准方程为1.命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题例 3 已知 F1，F2 为双曲线 C：x2y22 的左，右焦点，点 P 在 C上，PF12PF2，则 cosF1PF2_.答案 3 4解析 由双曲线的定义有 PF1PF2PF22a2，PF12PF24，则 cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1PF2.引申探究1.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“F1PF260” ，则F1PF2 的面积是多少？解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则 PF1PF22a2，在F1PF2 中
8、，由余弦定理，得cosF1PF2PF2 1PF2 2F1F2 2 2PF1PF2，所以 PF1PF28，所以PF1PF2sin 602. 12F PFS6 / 182.本例中，若将条件“PF12PF2”改为“0” ，则F1PF2 的面积是多少？解 不妨设点 P 在双曲线的右支上，则 PF1PF22a2，由于0，所以，所以在F1PF2 中，有 PFPFF1F，即 PFPF16，所以 PF1PF24，所以PF1PF22. 12F PFS思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合
9、|PF1PF2|2a，运用平方的方法，建立与 PF1PF2 的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0)，再由条件求出 的值即可.(1)已知 F1，F2 为双曲线1 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则 APAF2 的最小值为_.(2)设 F1，F2 分别为双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，双曲线上存在一点 P 使得 PF1PF23b，PF1PF2ab，则该双曲线的离
10、心率为_.答案 (1)2 (2)5 3解析 (1)由题意知，APAF2APAF12a，要求 APAF2 的最小7 / 18值，只需求 APAF1 的最小值，当 A，P，F1 三点共线时，取得最小值，则 APAF1PF1，APAF2 的最小值为 APAF12a2.(2)不妨设 P 为双曲线右支上一点，PF1r1，PF2r2.根据双曲线的定义，得 r1r22a，又 r1r23b，故 r1，r2.又 r1r2ab，所以ab，解得(负值舍去)，故 e.题型二 双曲线的几何性质例 4 (1)(2016盐城三模)若圆 x2y2r2 过双曲线1 的右焦点 F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为
11、A，B，当四边形 OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为_.(2)(2015山东)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为_.答案 (1)2 (2)3 2解析 (1)若四边形 OAFB 为菱形，且点 A 在圆 x2y2r2 上，则点A 坐标为(，c)，此时 rc.又点 A 在渐近线上，所以 c，即，所以 e 2.(2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 yx，直线 OB 的方程为 yx.由得 x22p x，x，y，A.设抛物线 C2 的焦点为 F，则 F，kAF.O
12、AB 的垂心为 F，AFOB，kAFkOB1，8 / 18即1，.设 C1 的离心率为 e，则 e21.e. 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k满足关系式 e21k2.(2016全国甲卷改编)已知 F1，F2 是双曲线 E：1 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sinMF2F1，则 E 的离心率为_.答案 2解析 离心率 e，由正弦定理得 e.题型三 直线与双曲线的综合问题例 5 (2016苏州模拟)已知椭圆 C1 的方程为y21，双曲线 C2的左，右焦点分别是 C1 的左，右顶点，而
13、 C2 的左，右顶点分别是C1 的左，右焦点.(1)求双曲线 C2 的方程；(2)若直线 l：ykx与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B，且2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围.解 (1)设双曲线 C2 的方程为1(a0，b0)，则 a2413，c24，再由 a2b2c2，得 b21.故 C2 的方程为y21.(2)将 ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线 l 与双曲线 C2 有两个不同的交点，得9 / 18k2且 k22，得 x1x2y1y22，2，即0，解得0，b0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的方程为_.答案 1解析
14、依题意解得双曲线 C 的方程为1.2.(2016全国乙卷改编)已知方程1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是_.答案 (1,3)解析 方程1 表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m20，b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是_.答案 (1,2)解析 由题意易知点 F 的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，ABE 是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得 3e22ee4，e(e33e31)1，e(1,2).6.
15、(2016浙江)设双曲线 x21 的左，右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双曲线上，且F1PF2 为锐角三角形，则 PF1PF2 的取值范围是_.答案 (2，8)解析 如图，由已知可得 a1，b，c2，从而 F1F24，由对称性不妨设 P 在右支上，设 PF2m，则 PF1m2am2，由于PF1F2 为锐角三角形，13 / 18结合实际意义需满足Error!解得1m3，又 PF1PF22m2，22m28.7.(2016南京三模)设 F 是双曲线的一个焦点，点 P 在双曲线上，且线段 PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_.答案 5解析 不妨设双曲线方程为1 (a0，b0
16、)，设 F(c,0)，线段PF 的中点为(0，b)，则 P(c,2b).由点 P 在双曲线上，得41，所以 e.8.设双曲线1 的左，右焦点分别为 F1，F2，P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且PF1F2 的面积为 6，则点 P 的坐标为_.答案 (，2)解析 由双曲线1 的左，右焦点分别为 F1，F2，所以 F1F26，设 P(x，y) (x0，y0)，因为PF1F2 的面积为 6，所以F1F2y6y6，解得 y2，将 y2 代入1 得 x.所以P(，2).9.已知 F1，F2 分别是双曲线1(a0，b0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点 M，使得()0(其中 O 为坐标原点)，
17、且|，则双曲线的离心率为_.答案 114 / 18解析 ，()()()0，即 220，|c，在MF1F2 中，边 F1F2 上的中线等于 F1F2 的一半，可得.|，可设|(0)，|，得()224c2，解得 c，|c，|c，根据双曲线定义得 2a|(1)c，双曲线的离心率 e1.10.(2015课标全国改编)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：y21 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点，若0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，点 P在双曲线的右支上，且 PF14PF2，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_.答案 5 3解析 由定义，知 PF1PF22a.又 PF14PF2，PF1a，
18、PF2a.在PF1F2 中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求 e 的最大值，即求 cosF1PF2 的最小值，当 cosF1PF21 时，得 e，即 e 的最大值为.12.(2015课标全国)已知 F 是双曲线 C：x21 的右焦点，P 是C 的左支上一点，A(0,6).当APF 的周长最小时，该三角形的面积为_.答案 126解析 设左焦点为 F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF 的周长为 AFAPPFAFAP2PF1，APF 周长最小即为 APPF1 最小，当 A、P、F1 三点在一条直线时最小，过 AF1 的直线方程为1，与 x21 联立，解得 P 点坐标为(2,2)，此时
19、 SAPFSAF1FSF1PF12.13.(2016江西丰城中学模拟)一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为的双曲线1(a0，b0)交于 P，Q 两点，直线 l 与 y 轴交于 R 点，16 / 18且3，3，求直线和双曲线的方程.解 e，b22a2，双曲线方程可化为 2x2y22a2.设直线 l 的方程为 yxm.由得x22mxm22a20，4m24(m22a2)0，直线 l 一定与双曲线相交.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1x22m，x1x2m22a2.3，xR0，x13x2，x2m，3xm22a2.消去 x2，得 m2a2.x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)OP
20、2x1x2m(x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直线 l 的方程为 yx1，双曲线的方程为 x21.*14.已知双曲线 C：1(a0，b0)的一个焦点是 F2(2,0)，且ba.(1)求双曲线 C 的方程；(2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为(m,1)，当直线 l 与双曲17 / 18线 C 的右支交于不同的两点 A，B 时，求实数 m 的取值范围，并证明AB 中点 M 在曲线 3(x1)2y23 上；(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，问是否存在实数 m，使得AOB 为锐角？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解
21、(1)由已知，得 c2，c2a2b2，ba，4a23a2，a21，b23，双曲线 C 的方程为 x21.(2)由题意，得直线 l：m(x2)y0，由Error!得(3m2)x24m2x4m230.由 0，得 4m4(3m2)(4m23)0，12m293m20，即 m210 恒成立.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2，x1x2.又Error!Error!m23，m(，)(，).，2m，AB 的中点 M(，)，3(1)236m2 m23218 / 18336m2 m23233，M 在曲线 3(x1)2y23 上.(3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在实数 m，使AOB 为锐角，则0，x1x2y1y20.y1y2(mx12m)(mx22m)m2x1x22m2(x1x2)4m2，(1m2)x1x22m2(x1x2)4m20，(1m2)(4m23)8m44m2(m23)0，即 7m2312m20，m23 矛盾，不存在实数 m，使得AOB 为锐角.