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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-29-2 两条直线的位置关系教师用书理苏教两条直线的位置关系教师用书理苏教1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线 l1、l2，若其斜率分别为 k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线 l1、l2 的斜率存在，设为 k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时，l1l2.(2)两条直线的交点直线
2、l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组的解.2.几种距离(1)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2.(2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离d.(3)两条平行线 AxByC10 与 AxByC20(其中 C1C2)间的距离 d.【知识拓展】2 / 181.直线系方程(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBym0(mR且 mC).(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是 BxAyn0(nR).2.两直线平行或重合的充要条件直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2
3、yC20 平行或重合的充要条件是 A1B2A2B10.3.两直线垂直的充要条件直线 l1：A1xB1yC10 与直线 l2：A2xB2yC20 垂直的充要条件是 A1A2B1B20.4.过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括 l2.5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x，y 的系数对应相等.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在
4、时，一定有 k1k2l1l2.( )(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( )(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.( )3 / 18(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为.( )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )(6)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k0)对称，则直线 AB 的斜率等于，且线段 AB 的中点在直线 l 上.( )1.(2016徐州模拟)过点(1,0)且与直线 x2y20 平行
5、的直线方程是_.答案 x2y10解析 直线 x2y20 可化为 yx1，所以过点(1,0)且与直线 x2y20 平行的直线方程可设为yxb，将点(1,0)代入得 b.所以所求直线方程为 x2y10.2.(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a_.答案 1解析 依题意得1.解得 a1或 a1.a0，a1.3.已知直线 l 过圆 x2(y3)24 的圆心，且与直线 xy10 垂直，则 l 的方程是_.答案 xy30解析 圆 x2(y3)24 的圆心为点(0,3)，又因为直线 l 与直线 xy10 垂直，所以直线 l 的斜率 k1.由点斜式得直线 l：y3x0，
6、化简得 xy30.4 / 184.(2016 苏州模拟)已知两点 A(1,2)，B(5,5)到直线 l 的距离分别是 3 和 2，则满足条件的直线共有_条.答案 3解析 以 A(1,2)为圆心，3 为半径的圆 A：(x1)2(y2)29，以 B(5,5)为圆心，2 为半径的圆 B：(x5)2(y5)24，根据题意所要满足的条件，则 l 是圆 A 与圆 B 的公切线，因为 A(1,2)，B(5,5)两点间的距离 d5，即 dr1r2，所以圆 A 与圆 B 相外切，所以有 3 条公切线.5.(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80 与(5a2)x(a4)y70 垂直，则 a_.答案 0 或
7、1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得 a0 或 a1.题型一 两条直线的平行与垂直例 1 (1)(2017苏北四市联考)已知 a，b 为正数，且直线axby60 与直线 2x(b3)y50 互相平行，则 2a3b 的最小值为_.答案 25解析 由得Error!所以 a.所以 2a3b3b43(b3)913225(当且仅当3(b3)，即 b5 时取等号).(2)已知直线 l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.试判断 l1 与 l2 是否平行；当 l1l2 时，求 a 的值.5 / 18解 方法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：
8、x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得 a1.综上可知，当 a1 时，l1l2.方法二 由 A1B2A2B10，得 a(a1)120，由 A1C2A2C10，得 a(a21)160，l1l2Error!a1，故当 a1 时，l1l2.方法一 当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 与 l2 不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 与 l2 不垂直；当 a1 且 a0 时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由()1a
9、.方法二 由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的6 / 18关系得出结论.已知两直线 l1：xysin 10 和 l2：2xsin y10，求 的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解 (1)方法一 当 sin 0 时，直线 l1 的斜率不存在，l2 的斜率为 0，显然 l1 不平行于 l2.当 sin 0 时，k1，k22sin .要使 l1l2，需2sin
10、，即 sin .所以 k，kZ，此时两直线的斜率相等.故当 k，kZ 时，l1l2.方法二 由 A1B2A2B10，得 2sin210，所以 sin ，所以 k，kZ.又 B1C2B2C10，所以 1sin 0，即 sin 1.故当 k，kZ 时，l1l2.(2)因为 A1A2B1B20 是 l1l2 的充要条件，所以 2sin sin 0，即 sin 0，所以 k，kZ.故当 k，kZ 时，l1l2.题型二 两条直线的交点与距离问题例 2 (1)(2016宿迁模拟)求经过两条直线 l1：xy40 和l2：xy20 的交点，且与直线 2xy10 垂直的直线方程为_.(2)直线 l 过点 P(1
11、,2)且到点 A(2,3)和点 B(4,5)的距离相等，则直线 l 的方程为_.答案 (1)x2y70 (2)x3y50 或 x17 / 18解析 (1)由得Error!l1 与 l2 的交点坐标为(1,3).设与直线 2xy10 垂直的直线方程为 x2yc0，则 123c0，c7.所求直线方程为 x2y70.(2)方法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为y2k(x1)，即 kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线 l 的方程为 y2(x1)，即 x3y50.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或
12、x1.方法二 当 ABl 时，有 kkAB，直线 l 的方程为 y2(x1)，即 x3y50.当 l 过 AB 的中点时，AB 的中点为(1,4).直线 l 的方程为 x1.故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：点 P(x0，y0)到直线 xa 的距离d|x0a|，到直线 yb 的距离 d|y0b|；两平行线间的距离8 / 18公式要把两直线方程中 x，y 的系数化为相等.(1)(2016济南模拟)若动点 P1(x1，y1)，
13、P2(x2，y2)分别在直线 l1：xy50，l2：xy150 上移动，则 P1P2 的中点 P 到原点的距离的最小值是_.答案 52解析 设 P1P2 的中点为 P(x，y)，则 x，y.x1y150，x2y2150.(x1x2)(y1y2)20，即 xy10.yx10，P(x，x10)，P 到原点的距离 dx2x1025.(2)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30 所截的线段的中点在直线l3：xy10 上，求其方程.解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为 x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过
14、点(1,1)，(1)(1)(2)120.解得 .所求直线方程为 2x7y50.题型三 对称问题命题点 1 点关于点中心对称例 3 (2016苏州模拟)过点 P(0,1)作直线 l，使它被直线l1：2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_.9 / 18答案 x4y40解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P的对称点 B(a,2a6)在 l2 上，代入 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为x4y40.命题点 2 点关于直线对称例 4 如图，已知
15、A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是_.答案 210解析 直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0).则光线经过的路程为CD2.命题点 3 直线关于直线的对称问题例 5 (2016泰州模拟)已知直线 l：2x3y10，求直线m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程.解 在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M必在直线 m上.设对称点 M(a，
16、b)，则解得Error!M.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由Error!得 N(4,3).又m经过点 N(4,3).10 / 18由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称点 P(x，y)关于 Q(a，b)的对称点 P(x，y)满足Error!直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称点 A(a，b)关于直线 AxByC0(B0)的对称点 A(m，n)，则有Error!直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.已知直线 l：3xy30，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点；(2)直线 xy20 关
17、于直线 l 对称的直线方程；(3)直线 l 关于(1,2)的对称直线.解 (1)设 P(x，y)关于直线 l：3xy30 的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又 PP的中点在直线 3xy30 上，330.由得Error!把 x4，y5 代入得 x2，y7，P(4,5)关于直线 l 的对称点 P的坐标为(2,7).(2)用分别代换 xy20 中的 x，y，得关于 l 的对称直线方程为20，化简得 7xy220.(3)在直线 l：3xy30 上取点 M(0,3)关于(1,2)的对称点11 / 18M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1).l 关于(1,2)的对称直线平行于直线 l，
18、k3，对称直线方程为 y13(x2)，即 3xy50.20.20.妙用直线系求直线方程妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例 1 求与直线 3x4y10 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程.思想方法指导 因为所求直线与 3x4y10 平行，因此，可设该直线方程为 3x4yc0(c1).规范解答解 依题意，设所求直线方程为 3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2)，所以 3142c0，解得 c11.因此，所求直线方程为 3x4y110.二、垂直直线系由于直线 A1xB1yC10
19、与 A2xB2yC20 垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解.典例 2 求经过 A(2,1)，且与直线 2xy100 垂直的直线 l 的方程.思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解.12 / 18规范解答解 因为所求直线与直线 2xy100 垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有 221C10，解得C10，即所求直线方程为 x2y0.三、过直线交点的直线系典例 3 求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线
20、l 的方程.思想方法指导 可分别求出直线 l1 与 l2 的交点及直线 l 的斜率 k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解.规范解答解 方法一 解方程组得 P(0,2).因为 l3 的斜率为，且 ll3，所以直线 l 的斜率为，由斜截式可得 l 的方程为 yx2，即 4x3y60.方法二 设直线 l 的方程为 x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得 11.直线 l 的方程为 4x3y60.1.(2016常州模拟)过点 M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_.答案 4x3y0 或 xy10解析
21、若直线过原点，则 k，13 / 18所以 yx，即 4x3y0.若直线不过原点，设直线方程为1，即 xya，则 a3(4)1，所以直线的方程为 xy10.2.(2016泰州模拟)已知直线 l1：x2my30，直线 l2 的方向向量为 a(1,2)，若 l1l2，则 m 的值为_.答案 1解析 由直线 l2 的方向向量是 a(1,2)，知直线 l2 的斜率为k22.l1l2，直线 l1 的斜率存在，且 k1.由 k1k21，即21，得 m1.3.(2016山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为_.答案 x2y40解析
22、由直线与向量 a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为 y3(x2)，其与 y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式求得方程为 x2y40.4.一只虫子从点 O(0,0)出发，先爬行到直线 l：xy10 上的 P点，再从 P 点出发爬行到点 A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是_.答案 2解析 点 O(0,0)关于直线 xy10 的对称点为 O(1,1)，则虫子爬行的最短路程为OA2.5.若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，14 / 18则 PQ 的
23、最小值为_.答案 29 10解析 因为，所以两直线平行，由题意可知 PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以 PQ 的最小值为.6.(2016苏州模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则 mn_.答案 34 5解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线 y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是Error!解得Error!故 mn.7.(2016盐城模拟)正方形的中心为点 C(1,0)，一条边所在的直线方程是 x3y50，其他三边所在直线的方程分别为_、_、_.答案 x3y70
24、 3xy30 3xy90解析 点 C 到直线 x3y50 的距离d.设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点 C 到直线 x3ym0 的距离 d，解得 m5(舍去)或m7，所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是 x3y70.设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0，15 / 18则点 C 到直线 3xyn0 的距离 d，解得 n3 或 n9，所以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30和 3xy90.8.(2016徐州模拟)已知直线 l1：axy10，直线l2：xy30，若直线 l1 的倾斜角为，则 a_；若l1l2，则 a_；
25、若 l1l2，则两平行直线间的距离为_.答案 1 1 22解析 若直线 l1 的倾斜角为，则aktan 1，故 a1；若l1l2，则 a11(1)0，故 a1；若 l1l2，则 a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.9.如图，已知直线 l1l2，点 A 是 l1，l2 之间的定点，点 A 到l1，l2 之间的距离分别为 3 和 2，点 B 是 l2 上的一动点，作ACAB，且 AC 与 l1 交于点 C，则ABC 的面积的最小值为_.答案 6解析 以 A 为坐标原点，平行于 l1 的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B(a，2)，C(b,3).ACAB，ab60，ab6，b
26、.RtABC 的面积 Sb29 729a2144a26.10.在平面直角坐标系内，到点 A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.16 / 18答案 (2,4)解析 如图，设平面直角坐标系中任一点 P，P 到点 A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和为PAPBPCPDPBPDPAPCBDACQAQBQCQD，故四边形 ABCD 对角线的交点 Q 即为所求距离之和最小的点.A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)，直线 AC 的方程为 y22(x1)，直线 BD 的方程为y5(x1).由得 Q(2,4).11.已知
27、方程(2)x(1)y2(32)0 与点 P(2，2).(1)证明：对任意的实数 ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点 P 的距离 d 小于 4.证明 (1)显然 2 与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线.方程可变形为 2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为 M(2，2).(2)过 P 作直线的垂线段 PQ，由垂线段小于斜线段知 PQPM，当且仅当 Q 与 M 重合时，PQPM，kPM1，直线与 PM 垂直，此时对应的直线方程是 y2x2，即 xy40.但直线系方程唯独不能表示直线 xy40，M 与 Q 不
28、可能重合，而 PM4，PQ4，故所证成立.12.已知直线 l 经过直线 l1：2xy50 与 l2：x2y0 的交点.(1)若点 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值.17 / 18解 (1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点 A(5,0)到 l 的距离为 3，3，即 22520，2 或 ，l 的方程为 x2 或 4x3y50.(2)由Error!解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 dPA(当 lP
29、A 时等号成立).dmaxPA.*13.已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且 l1 与 l2 间的距离是.(1)求 a 的值；(2)能否找到一点 P，使 P 同时满足下列三个条件：点 P 在第一象限；点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的；点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是.若能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线 l2：2xy0，所以两条平行线 l1 与 l2 间的距离为d，所以，即，又 a0，解得 a3.(2)假设存在点 P，设点 P(x0，y0).若点 P 满足条件，则点 P 在与 l1，18 / 18l2 平行的直线 l：2xyc0 上，且，即 c或，所以直线 l的方程为 2x0y00 或 2x0y00；若点 P 满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以 x02y040 或 3x020；由于点 P 在第一象限，所以 3x020 不可能.联立方程Error!解得(舍去)；联立方程Error!解得Error!所以存在点 P 同时满足三个条件.