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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-89-8 曲线与方程教师用书理苏教曲线与方程教师用书理苏教1曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程f(x，y)0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线2求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1 “曲线 C 是方程 f(x，y)0 的曲线”是“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”的充分不必要条件2曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即
2、两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件( )(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线( )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y2.( )(4)方程 y与 xy2 表示同一曲线( )(5)ykx 与 xy 表示同一直线( )2 / 161(教材改编)已知点 F(，0)，直线 l：x，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂
3、直平分线交于点 M，则点M 的轨迹是_答案 抛物线解析 由已知 MFMB，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线2(2016苏州模拟)方程(2x3y1)(1)0 表示的曲线是_答案 一条直线和一条射线解析 原方程可化为或10，即 2x3y10(x3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线3(2016南通模拟)已知 A(2,0)，B(1,0)两点，动点 P 不在 x 轴上，且满足APOBPO，其中 O 为原点，则 P 点的轨迹方程是_答案 (x2)2y24(y0)解析 由角的平分线性质定理得 PA2PB，设 P(x，y)，则2，整理得(x2)2y
4、24(y0)4过椭圆1(ab0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方程是_答案 1解析 设 MN 的中点为 P(x，y)，则点 M(x,2y)在椭圆上，1，即1(ab0)3 / 165(2016镇江模拟)若点 P 在椭圆y21 上，F1，F2 分别为椭圆的左，右焦点，且满足t，则实数 t 的取值范围是_答案 7,1解析 设 P(x，y)，F1(2，0)，F2(2，0)，(2x，y)，(2x，y)，(2x)(2x)(y)PF12x2y28.P 在椭圆y21 上，y21，tx2y28x27，0x29，7t1，故实数 t 的取值范围为7,1. 题型一 定义法求轨迹
5、方程例 1 如图，动圆 C1：x2y2t2,1b0)的左，右焦点已知F1PF2 为等腰三角形(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足2，求点 M 的轨迹方程解 (1)设 F1(c,0)，F2(c,0)(c0)由题意，可得 PF2F1F2，即2c，整理得 2210，得1(舍去)或.所以 e.(2)由(1)知 a2c，bc，可得椭圆方程为 3x24y212c2，直线PF2 的方程为 y(xc)6 / 16A，B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理，得 5x28cx0.解得 x10，x2c，得方程组的解Error!Er
6、ror!不妨设 A，B(0，c)设点 M 的坐标为(x，y)，则，(x，yc)由 y(xc)，得 cxy.于是，(x，x)，由2，即xx2，化简得 18x216xy150.将 y代入 cxy，得 c0.所以 x0.因此，点 M 的轨迹方程是 18x216xy150(x0)题型三 相关点法求轨迹方程例 3 (2016盐城模拟)如图所示，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点 M(x0，y0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 O 时，A，B 重合于 O)当x01时，切线 MA 的斜率为.(1)求 p 的值；(2)当 M 在 C2 上运动时，求线段
7、AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于O 时，中点为 O)解 (1)因为抛物线 C1：x24y 上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线 MA 的斜率为，7 / 16所以点 A 的坐标为(1，)，故切线 MA 的方程为 y(x1).因为点 M(1，y0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，所以 y0(2)，y0.由得 p2.(2)设 N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1x2.由 N 为线段 AB 的中点，知x，y.所以切线 MA，MB 的方程分别为y(xx1)，y(xx2).由得 MA，MB 的交点 M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点 M(x0，y0)在 C2 上，即 x
8、4y0，所以 x1x2.由得 x2y，x0.当 x1x2 时，A，B 重合于原点 O，AB 的中点 N 为点 O，坐标满足 x2y.因此 AB 的中点 N 的轨迹方程是 x2y.思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨8 / 16迹方程设直线 xy4a 与抛物线 y24ax 交于两点 A，B(a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求ABC 的重心的轨迹方程解 设ABC 的重心为 G(x，y)，点 C 的坐标为(x0，y0)，A(x1，
9、y1)，B(x2，y2)由方程组Error!消去 y 并整理得x212ax16a20.x1x212a，y1y2(x14a)(x24a)(x1x2)8a4a.G(x，y)为ABC 的重心，Error!又点 C(x0，y0)在抛物线上，将点 C 的坐标代入抛物线的方程得(3y4a)24a(3x12a)，即(y)2(x4a)又点 C 与 A，B 不重合，x0(62)a，ABC 的重心的轨迹方程为(y)2(x4a)(x(6)a)分类讨论思想在曲线方程中的应用分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (16 分)已知抛物线 y22px 经过点 M(2，2)，椭圆1 的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.
10、(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若 P 为椭圆上一个动点，Q 为过点 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，(0)，试求 Q 的轨迹9 / 16思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据 x2，y2 的系数与 0 的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题规范解答解 (1)因为抛物线 y22px 经过点 M(2，2)，所以(2)24p，解得 p2.2 分所以抛物线的方程为 y24x，其焦点为 F(1,0)，即椭圆的右焦点为 F(1,0)，得 c1.又椭圆的离心率为，所
11、以 a2，可得 b2413，4 分故椭圆的方程为1.5 分(2)设 Q(x，y)，其中 x2,2，设 P(x，y0)，因为 P 为椭圆上一点，所以1，解得 y3x2.7 分由 可得2，故2，得(2)x22y23，x2,210 分当 2，即 时，得 y212，点 Q 的轨迹方程为 y2，x2,2，此轨迹是两条平行于 x 轴的线段；12 分当 2，即 时，得到1.此轨迹表示长轴在 x 轴上的椭圆满足 x2,2的部分16 分 1(2016无锡质检)设定点 M1(0，3)，M2(0,3)，动点 P 满足条件 PM1PM2a(其中 a 是正常数)，则点 P 的轨迹是_答案 椭圆或线段解析 a 是正常数，
12、a26.当 PM1PM26 时，点 P 的轨迹是线段 M1M2；当 a6 时，点 P 的轨迹是椭圆2(2016南京模拟)已知点 M 与双曲线1 的左，右焦点 F1，F2的距离之比为 23，则点 M 的轨迹方程为_答案 x2y226x250解析 F1(5,0)，F2(5,0)，设 M(x，y)，则，化简得x2y226x250.3已知点 P 是直线 2xy30 上的一个动点，定点 M(1,2)，Q是线段 PM 延长线上的一点，且 PMMQ，则 Q 点的轨迹方程是_答案 2xy50解析 由题意知，M 为 PQ 中点，设 Q(x，y)，则 P 为(2x,4y)，代入 2xy30，得 2xy50.4已知
13、圆锥曲线 mx24y24m 的离心率 e 为方程 2x25x20 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为_答案 3解析 e 是方程 2x25x20 的根，11 / 16e2 或 e.mx24y24m 可化为1，当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时，有，m3；当它表示焦点在 y 轴上的椭圆时，有，m；当它表示焦点在 x 轴上的双曲线时，可化为1，有2，m12.满足条件的圆锥曲线有 3 个5已知点 A(1,0)，直线 l：y2x4，点 R 是直线 l 上的一点，若，则点 P 的轨迹方程为_答案 y2x解析 设 P(x，y)，R(x1，y1)，由知，点 A 是线段 RP 的中点，即Error!点 R(x1，
14、y1)在直线 y2x4 上，y12x14，y2(2x)4，即 y2x.6平面直角坐标系中，已知两点 A(3,1)，B(1,3)，若点 C 满足12(O 为原点)，其中 1，2R，且 121，则点C 的轨迹是_答案 直线解析 设 C(x，y)，则(x，y)，(3,1)，(1,3)，12，Error!又 121，x2y50，表示一条直线7曲线 C 是平面内与两个定点 F1(1,0)和 F 2(1,0)的距离的积等12 / 16于常数 a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2 的面积不大于 a2.其中，所有正确结
15、论的序号是_答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(1,0)，F2(1,0)的距离的积是 1，且 a1，所以曲线 C 不过原点，即错误；因为 F1(1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以 PF1PF2a2 对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为PF1PF2sinF1PF2PF1PF2a2，即F1PF2 的面积不大于 a2，所以正确 12F PFS8(2017南通月考)已知ABC 的顶点 A，B 坐标分别为(4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足 sin Bsin Asin C，则 C 点的轨迹方程为_ _答案 1(x5)解析 由 sin Bsin Asin C 可知 bac10，则 A
16、CBC108AB，满足椭圆定义令椭圆方程为1，则 a5，c4，b3，则轨迹方程为1(x5)x2 259.如图，P 是椭圆1 上的任意一点，F1，F2 是它的两个焦点，O为坐标原点，且，则动点 Q 的轨迹方程是_答案 1解析 由于，又22，13 / 16设 Q(x，y)，则(，)，即 P 点坐标为(，)，又 P 在椭圆上，则有1，即1.10已知圆的方程为 x2y24，若抛物线过点 A(1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是_答案 1(y0)解析 设抛物线的焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则 AA1BB12OO14，由抛物线定义得 AA1
17、BB1FAFB，FAFB42AB，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)轨迹方程为1(y0)11过点(1,0)的直线 l 与中心在原点，焦点在 x 轴上且离心率为的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 yx 过线段 AB 的中点，同时椭圆 C上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C 的方程解 由 e，得，从而 a22b2，cb.设椭圆 C 的方程为 x22y22b2，A(x1，y1)、B(x2，y2)，A、B 在椭圆 C 上，x2y2b2，x2y2b2，两式相减得(xx)2(yy)0，即.设 AB 中点坐标为(x0，y0)，则 kAB
18、，14 / 16又(x0，y0)在直线 yx 上，故 y0x0，于是1，即 kAB1，故直线 l 的方程为 yx1.右焦点(b,0)关于直线 l 的对称点设为(x，y)，则 解得Error!由点(1,1b)在椭圆上，得 12(1b)22b2，b，b2，a2.所求椭圆 C 的方程为1.12(2016连云港模拟)定圆 M：(x)2y216，动圆 N 过点F(，0)且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E.(1)求轨迹 E 的方程；(2)设点 A，B，C 在 E 上运动，A 与 B 关于原点对称，且 ACBC，当ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程解 (1)F(，0)在圆 M：(x)2y21
19、6 内，圆 N 内切于圆 M.NMNF4FM，点 N 的轨迹 E 为椭圆，且 2a4，c，b1，轨迹 E 的方程为y21.(2)当 AB 为长轴(或短轴)时，SABCOCAB2.当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 ykx，A(xA，yA)，联立方程得 x，y，OA2xy.将上式中的 k 替换为，可得 OC2.SABC2SAOCOAOC .15 / 1614k2k24 2，SABC，当且仅当 14k2k24，即 k1 时等号成立，此时ABC 面积的最小值是.2，ABC 面积的最小值是，此时直线 AB 的方程为 yx 或yx.*13. (2016河北衡水中学三调)如图，
20、已知圆 E：(x)2y216，点 F(，0)，P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于点 Q.(1)求动点 Q 的轨迹 的方程；(2)设直线 l 与(1)中轨迹 相交于 A，B 两点，直线 OA，l，OB 的斜率分别为 k1，k，k2(其中 k0)，OAB 的面积为 S，以 OA，OB 为直径的圆的面积分别为 S1，S2，若 k1，k，k2 恰好构成等比数列，求的取值范围解 (1)连结 QF，根据题意，QPQF，则 QEQFQEQP4EF2，故动点 Q 的轨迹 是以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆设其方程为1(ab0)，可知 a2，c，b1，点 Q 的轨迹 的方程为y21.(2)设直线 l 的方程为 ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)16 / 16联立方程整理得，(14k2)x28kmx4m240，16(14k2m2)0，x1x2，x1x2.k1，k，k2 构成等比数列，k2k1k2，整理得 km(x1x2)m20，m20，解得 k2.k0，k.此时 16(2m2)0，解得 m(，)又由 A，O，B 三点不共线得 m0，从而 m(，0)(0，)故 SABd|x1x2|m|1k2|m|m|.又yy1，则 S1S2(xyxy)(xx2)(x1x2)22x1x2为定值，当且仅当 m1 时等号成立综上，)