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1、1 / 20【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-59-5 椭圆教师用书理苏教椭圆教师用书理苏教1.椭圆的概念平面内到两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合 PM|MF1MF22a，F1F22c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数：(1)若 ac，则集合 P 为椭圆；(2)若 ac，则集合 P 为线段；(3)若 ab0)1y2 a2x2 b2(ab0)图形范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴
2、对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为 2a；短轴B1B2的长为 2b性质焦距F1F22c2 / 20离心率e (0,1)c aa，b，c的关系a2b2c2【知识拓展】点 P(x0，y0)和椭圆的关系(1)点 P(x0，y0)在椭圆内1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成PF1F2 的周长为 2a2c(其中 a 为椭圆的长半轴
3、长，c 为椭圆的半焦距).( )(3)椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆.( )(4)方程 mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( )(5)1(ab)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( )(6)1(ab0)与1(ab0)的焦距相等.( )1.(教材改编)椭圆1 的焦距为 4，则 m_.答案 4 或 8解析 由题意知Error!或Error!解得 m4 或 m8.2.(2016苏州检测)在平面直角坐标系 xOy 内，动点 P 到定点F(1,0)的距离与 P 到定直线 x4 的距离的比值为.则动点 P 的轨迹 C 的方程为_.3 / 20答案 1解析 设点 P(x，y)，由题意知，化简
4、得 3x24y212，所以动点 P 的轨迹 C 的方程为1.3.(2016全国乙卷改编)直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为_.答案 1 2解析 如图，由题意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在 RtFOB 中，OFOBBFOD，即 cbab，解得 a2c，故椭圆离心率 e.4.如果方程 x2ky22 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为1，因为焦点在 y 轴上，则2，即 k0，所以 00，所以x，所以 P 点坐标为或.题型一 椭圆的定义及标准方程4 / 20命题点 1
5、利用定义求轨迹例 1 (2016徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是_.答案 椭圆解析 由条件知 PMPF，POPFPOPMOMROF.P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆.命题点 2 利用待定系数法求椭圆方程例 2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，并且过点 P(3,0)，则椭圆的方程为_.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1(，1)，P2(，)，则椭圆的方程为_.答案 (1)y21
6、或1(2)1 解析 (1)若焦点在 x 轴上，设方程为1(ab0).椭圆过 P(3,0)，1，即 a3，又 2a32b，b1，椭圆方程为y21.若焦点在 y 轴上，设方程为1(ab0).椭圆过点 P(3,0)，1，即 b3.又 2a32b，a9，椭圆方程为1.所求椭圆的方程为y21 或1.5 / 20(2)设椭圆方程为 mx2ny21(m0，n0 且 mn).椭圆经过点 P1，P2，点 P1，P2 的坐标适合椭圆方程.即Error!两式联立，解得Error!所求椭圆方程为1.命题点 3 利用定义解决“焦点三角形”问题例 3 已知 F1，F2 是椭圆 C：1(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C上
7、的一点，且.若PF1F2 的面积为 9，则 b_.答案 3解析 设 PF1r1，PF2r2，则Error!因为 2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又因为 1 22 1 219,2PF FSrrb所以 b3.引申探究1.在例 3 中，若增加条件“PF1F2 的周长为 18” ，其他条件不变，求该椭圆的方程.解 由原题得 b2a2c29，又 2a2c18，所以 ac1，解得 a5，故椭圆方程为1.2.在例 3 中，若将条件“” “PF1F2 的面积为 9”分别改为“F1PF260” “” ，结果如何？ 1 23 3PF FS解 PF1PF22a，又F1PF260，6 / 20所以
8、 PFPF2PF1PF2cos 60F1F，即(PF1PF2)23PF1PF24c2，所以 3PF1PF24a24c24b2，所以 PF1PF2b2，又因为 1 2121sin 602PF FSPF PFb232b23，所以 b3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数 2aF1F2 这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于 a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为 mx2ny21(m0，n0，mn)的形式
9、.(3)当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形” ，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF1PF2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016盐城模拟)已知两圆 C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切，和圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_.(2)(2016镇江模拟)设 F1、F2 分别是椭圆y21 的左、右焦点，若椭圆上存在一点 P，使()0(O 为坐标原点)，则F1PF2 的面积是_.7 / 20答案 (1)1 (2)1解析 (1)设圆 M 的半径为 r，则 MC1MC2(1
10、3r)(3r)168C1C2，所以 M 的轨迹是以 C1，C2 为焦点的椭圆，且 2a16,2c8，故所求的轨迹方程为1.(2)()()0，PF1PF2，F1PF290.设 PF1m，PF2n，则 mn4，m2n212,2mn4，题型二 椭圆的几何性质例 4 (1)已知点 F1，F2 是椭圆 x22y22 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|的最小值是_.(2)(2016全国丙卷改编)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B 分别为椭圆 C 的左，右顶点.P为 C 上一点，且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y轴交于点 E.
11、若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为_.答案 (1)2 (2)1 3解析 (1)设 P(x0，y0)，则(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，PF2|4x2 04y2 0222y2 0y2 02.点 P 在椭圆上，0y1，当 y1 时，|取最小值 2.8 / 20(2)设 M(c，m)，则 E，OE 的中点为 D，则 D，又 B，D，M 三点共线，所以，a3c，e.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中 x，y 的范围，离心率的范围等不等关系.利用椭圆
12、几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于 a，b，c的等式或不等式，利用 a2b2c2 消去 b，即可求得离心率或离心率的范围.(2016江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆1(ab0)的右焦点，直线 y与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_.答案 63解析 联立方程组解得 B，C 两点坐标为B，C，又 F(c,0)，则，又由BFC90，可得0，代入坐标可得c2a20，又因为
13、 b2a2c2.代入式可化简为，则椭圆离心率为 e.9 / 20题型三 直线与椭圆例 5 (2016天津)设椭圆1(a)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围.解 (1)设 F(c,0)，由，即，可得 a2c23c2.又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24.所以椭圆的方程为1.(2)设直线 l 的斜率为 k(k0)，则直线 l 的方程为 yk(x
14、2).设 B(xB，yB)，由方程组消去 y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得 x2 或 x.由题意，得 xB，从而 yB.由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)，有(1，yH)，.由 BFHF，得0，所以0，解得 yH.因此直线 MH 的方程为 yx.设 M(xM，yM)，由方程组消去 y，解得 xM.在MAO 中，MOAMAOMAMO，10 / 20即(xM2)2yxy，化简得 xM1，即1，解得 k或 k.所以直线 l 的斜率的取值范围为.(，64思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与
15、系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB1k2x1x224x1x2 (k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆 O：y21 的右焦点为 F，B，C 分别为椭圆 O 的上，下顶点，P 是直线 l：y2 上的一个动点(与 y 轴交点除外)，直线 PC 交椭圆 O 于另一点 M.(1)当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积；(2)记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为
16、定值；求的取值范围.(1)解 由题意知 B(0,1)，C(0，1)，焦点 F(，0)，当直线 PM 过椭圆 O 的右焦点 F 时，直线 PM 的方程为1，即 yx1.联立解得或(舍去)，即点 M 的坐标为(，).连结 BF，则直线 BF 的方程为1，11 / 20即 xy0.又 BFa2，点 M 到直线 BF 的距离为d，故FBM 的面积为 SMBFBFd2.(2)方法一 证明 设 P(m，2)，且 m0，则直线 PM 的斜率为k，则直线 PM 的方程为 yx1.联立消去 y，得(1)x2x0，解得点 M 的坐标为(，)，所以 k1m，k2，所以 k1k2m为定值.解 由知，(m,3)，(m，
17、2)PM(，)，所以(m,3)(，).令 m24t4，则t8t1 tt7.因为 yt7 在 t(4，)上单调递增，所以t7479，故的取值范围为(9，).方法二 证明 设点 M 的坐标为(x0，y0)(x00)，则直线 PM 的方程为 yx1，12 / 20令 y2，得点 P 的坐标为(，2)，所以 k1，k2，所以 k1k23y2 01 x2 0为定值.解 由知，(，3)，(x0，y02)，所以(x0)3(y02)3(y02)3(y02).令 ty01(0,2)，则t7.因为 yt7 在 t(0,2)上单调递减，所以t7279，故的取值范围为(9，).8.8.高考中求椭圆的离心率问题高考中求
18、椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于 a，b，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的 b 用 a，c 表示，转化为关于离心率 e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例 1 (2015福建改编)已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若 AFBF4，点 M 到直线 l 的距离不小于，则椭圆 E 的离心率的取值范围是_
19、.13 / 20解析 左焦点 F0，连结 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边形.AFBF4，AFAF04，a2.设 M(0，b)，则，1b2.离心率 e .答案 (0，32典例 2 (14 分)(2016浙江)如图，设椭圆y21(a1).(1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)；(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.规范解答解 (1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM，由得(1a2k2)x22a2kx0，故 x10，x2，因此 AM|x1x2|.6 分(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性
20、可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足 APAQ.记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2.8 分由(1)知 AP，AQ，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由 k1k2，k1，k20，得 1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，14 / 20因为式关于 k1，k2 的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a.12 分因此，任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a，由 e，得 0b0)，由已知可得抛物线的焦点为(1,0)，所以 c1，又离心率 e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程
21、为1.2.(2016苏北四市一模)已知椭圆1(ab0)，点 A、B1、B2、F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线 AB2 与直线 B1F的交点恰在直线 x上，则椭圆的离心率为_.答案 1 2解析 由题意知直线 AB2：1，直线 B1F：1，联立解得x，若交点在椭圆的右准线上，则，即 2c2aca20，所以2e2e10，解得 e.3.(2017青岛月考)已知 A1，A2 分别为椭圆 C：1(ab0)的左，右顶点，P 是椭圆 C 上异于 A1，A2 的任意一点，若直线 PA1，PA2 的斜率的乘积为，则椭圆 C 的离心率为_.答案 53解析 设 P(x0，y0)，则，15 / 20化简
22、得1，则，e .4.(2016南昌模拟)已知椭圆：x21，过点 P(，)的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为_.答案 9xy50解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆x21 上，所以Error!两式相减，得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点 P(，)平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式，得x1x20，得9，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB 的方程为y9(x)，即 9xy50.5.(2016宿迁模拟)已知 F1、F2 是椭圆y21 的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使 PF1PF2
23、 取得最大值的点 P 为_.答案 (0,1)或(0，1)解析 由椭圆定义得 PF1PF22a4，PF1PF2()24，当且仅当 PF1PF22，即 P(0，1)或(0,1)时，PF1PF2 取得最大值.*6.(2016苏州质检)设 A1，A2 为椭圆1(ab0)的左，右顶点，16 / 20若在椭圆上存在异于 A1，A2 的点 P，使得0，其中 O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围是_.答案 (，1)解析 A1(a,0)，A2(a,0)，设 P(x，y)，则(x，y)，(ax，y)，0，(ax)(x)(y)(y)0，y2axx20，0.又 00，b0)的焦点在 x 轴上，过点(2,1)
24、作圆x2y24 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为_.答案 1解析 设切点坐标为(m，n)，则1，17 / 20即 m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直线 AB 的方程为 2xy40.直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，2c40，b40，解得 c2，b4，a2b2c220，椭圆方程为1.8.已知 P 为椭圆1 上的一点，M，N 分别为圆(x3)2y21 和圆(x3)2y24 上的点，则 PMPN 的最小值为_.答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1，F2 分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而 PMPN 的最小值为 PF1
25、PF2127.9.(2017连云港质检)椭圆y21 的左，右焦点分别为 F1，F2，点P 为椭圆上一动点，若F1PF2 为钝角，则点 P 的横坐标的取值范围是_.答案 (，)解析 设椭圆上一点 P 的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y).F1PF2 为钝角，b0)的左顶点 A(a，0)作直线 l 交 y 轴于点 P，交椭圆于点 Q，若AOP 是等腰三角形，且2，则椭圆的离心18 / 20率为_.答案 2 55解析 AOP 是等腰三角形，A(a,0)，P(0，a).设 Q(x0，y0)，2，(x0，y0a)2(ax0，y0).解得Error!代入椭圆方程化简，可得，e .11.(2016南
26、京模拟)如图，椭圆 C：1(ab0)的右焦点为 F，右顶点，上顶点分别为 A，B，且 ABBF.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若斜率为 2 的直线 l 过点(0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，OPOQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.解 (1)由已知 ABBF，即a，4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知 a24b2，椭圆 C：1.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线 l 的方程为 y22(x0)，即 2xy20.由消去 y，得 x24(2x2)24b20，即 17x232x164b20.3221617(b24)0，解得 b.x1x
27、2，x1x2.19 / 20OPOQ，0，即 x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40.从而40，解得 b1，满足 b.椭圆 C 的方程为y21.12.(2015安徽)设椭圆 E 的方程为1(ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为(a,0)，点 B 的坐标为(0，b)，点 M 在线段 AB 上，满足BM2MA，直线 OM 的斜率为.(1)求 E 的离心率 e；(2)设点 C 的坐标为(0，b)，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB的对称点的纵坐标为，求 E 的方程.解 (1)由题设条件知，点 M 的坐标为，又 kOM，从而，进而得
28、 ab，c2b，故 e.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线 AB 的方程为1，点 N的坐标为.设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为，则线段 NS 的中点 T 的坐标为.又点 T 在直线 AB 上，且 kNSkAB1，从而有解得 b3.所以 a3，故椭圆 E 的方程为1.13.已知椭圆1(ab0)的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为20 / 20B，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点.过 F，B，A 三点的圆的圆心坐标为(p，q).(1)当 pq0 时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点 D(b1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，()的最小值为，求椭圆的方程.解 (1)设椭圆半焦距为 c.由题意 AF，AB 的中垂线方程分别为x，y(x)，于是圆心坐标为(，).所以 pq0，整理得 abbcb2ac0，即(ab)(bc)0，所以 bc，于是 b2c2，即 a2b2c22c2.所以 e2，即e1.(2)当 e时，abc，此时椭圆的方程为1，设 M(x，y)，则cxc，(cx，y)，(b1,0)，(x，y)，MF所以()x2xc2(x1)2c2.当 c时，上式的最小值为 c2，即 c2，得 c2；当 0c时，上式的最小值为(c)2cc2，即(c)2cc2，解得 c，不合题意，舍去.综上所述，椭圆的方程为1.