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1、 新东方考研讲义系列新东方考研讲义系列 新东方考研 卓越可以依赖 1 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 20112011 考研考研冲刺冲刺班班概率论与数理统计讲义概率论与数理统计讲义 主讲：主讲：姚孟臣姚孟臣 目目 录录 一、概率论部分.2 1.“几何概型”问题.2 2.“图解法”问题.4 3.“事件独立性”问题.5 4.“全概公式”问题.6 5.“事件关系与运算”问题.8 6.“协方差与相关系数”问题.8 7.“独立与相关”问题 1.9 8.“独立与相关”问题 2（既不相关又不独立总结）.10 9.“结论”问题.11 10.“几何分布”问题.13 11.“正态分布几个结
2、论”问题.14 12.“离散型”问题.15 二、数理统计部分.17 1.点估计：矩法、最大似然法.17 2.区间估计与假设检验.19 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 2 两部分：概率和统计 配套讲义概率论与数理统计讲义（提高篇）解题步骤：正确理解题意 分析考核点（重点，涉及）适当选择方法 作题格式 一、概率论部分一、概率论部分 1.“几何概型”问题“几何概型”问题 例例 1 1 在长 l 的线段 AB 上任意投掷两个质点 M 和 N，则点 A 离点 M 比离点 N 近
3、的概率为()A81 B41 C21 D1 解解 事件 A点 A 离点 M 比离点 N 近，并且设|AM|x，|AN|y，则 0 xl，0yl，因此(x，y)|0 xl，0yl，A(x，y)|0 xyl，2121)()()(22llLALAP 故选择 C.例例 2 2 设平面区域 D 是由 x1，y0，yx 所围成，今向 D 内随机地投入 10 个点，求这 10 个点中至少有 2 个点落在由曲线 yx2与 yx 所围成的区域 D1内的概率 解解 分两步进行第一步：先计算任投一点落入 D1的概率根据几何概型，有 11()123()1()32L AP AL 第二步：设 X落入 D1内的点数，有),3
4、1,10(BX于是 P(X2)1P(X0)P(X1).)32)(31()32(1911010C 例例 3 3 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在正方形 G(x，y)：1x3，1y3上均匀分布，试求随机变量 U|X 新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 3 Y|的概率密度 p(u).解解 由条件知 X 和 Y 的联合密度为.,0,31,31,41),(其他若yxyxf 以 F(u)P(Uu)(u)表示随机变量 U 的分布函数.显然，当 u0 时，F(u)0；当 u2 时，F(u)1.设 0u2，则|1()(,)d dd d4x y ux yu
5、GF uf x yx yx y,)2(411)2(44122uu 于是，随机变量的密度为.,0,20),2(21)(其他若uuup 例例 4 4 在长为 l 的线段上，任意选取两点 M 和 N，求 E|MN|，D|MN|解解 令 Z|MN|，先求 p(z)F(z)P(Zz)P(|MN|z)222)(lzll，p(z)F(z)再求 E(Z)和 D(Z).例例 5 5（1 1）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则 PmaxX，Y1_.答案是：91.分析分析 本题主要考查“二维均匀分布”中有关概率的计算问题.由题设，可知(X，Y)U(D)，其中 D(x，y)|0 x3
6、，0y3.解法解法 1 Pmax(X，Y)1P(X1，Y1)P(X1)P(Y1)91)d31()d31(1010yx 解法解法 2 由几何概型可知 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 4.9111,11),max(DSYXPYXP （2 2）在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于21的概率为_.答案是：43.分析分析 本题主要考查“二维均匀分布或几何概型”.解解 设随机取到的两个数为 X 与 Y，则(X，Y)服从正方形区域上的均匀分布.一方面我们可以
7、利用二重积分计算 DyxfYXp.d),()21|(|另一方面我们也可以根据几何概型来计算，如图，即 43121212121)()()21|(|)(LALYXPAP 2.“图解法”问题“图解法”问题 例例 1 设事件 A、B、C 满足 P(B)2P(A)，P(C)3P(A)，并且 P(AB)P(BC)，则 P(A)的取值范围是()A 1,0 B21,0 C31,0 D41,0 解解 由于 AAB，于是有 xP(A)P(AB)yP(BC)利用加法公式，有 1P(BC)P(B)P(C)P(BC)3x2xy3x2xx4x0 即 04x1 0 x41.故选择 D.例例 2 设两个随机事件 A，B 相互
8、独立，已知仅有 A 发生的概率为41，仅有 B 发生的概率为41，则 P(A)_.解解 ()()P AP B 新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 5 1()()()()1()()1().4P ABP A P BP AP BP AP A 所以 1()2P A 例例 3 设 XN(2，2)，并且 P(2X4)0.3，则 P(X0)_.例例 4 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的(01)，数u满足 PXu.若 P|X|x，则 x 等于(A)2u (B)21u (C)21 u (D)u1 解解 由题设，可知 u满足 P(Xu).可
9、见，若要 P(|X|x)，即 P(|X|x)1，而 P(Xx)21，因此21ux 故选择 C.3.“事件独立性”问题“事件独立性”问题 定义定义 相互独立()()(),()()(),()()(),()()()(),P ABP A P BP BCP B P CP ACP A P CP ABCP A P B P C两两独立 等价定义等价定义 A.两两独立两两独立+ABABAB与C独立（三者之一）B.()()()P ABP A P B +()0P C 或 1 例例 设事件 A、B、C 满足 P(AB)P(A)P(B)，并且 P(C)P(C)2，则 A、B、C()20112011 考研冲刺班概率论与数
10、理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 6 A一定不是两两独立；B不一定是两两独立；C一定是相互独立；D一定不是相互独立.解解 由 P(C)P(C)2，我们有 P(C)0 或 1)()()()()()()()()()()()()(10)()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCPBPAPABP或 故选择 C.证明：(1)对于任意的 A，由于 ACC，P(AC)P(C)0 P(AC)0P(A)P(C)，即 A 与 C 相互独立(2)(CC)AA，P(CA)P(A)P(AC)P(A
11、)P(A)P(C)P(A)(1P(C)P(A)P(C)结论：结论：零(或 1)概率事件与任何事件都是相互独立的.4.“全概公式”问题“全概公式”问题 例例 1 1 袋中装有 n 只球，每次从中随意取出一球，并放入一个白球，如此交换共进行n 次.已知袋中白球数的数学期望为 a，那么第 n1 次从袋中任取一球为白球的概率是_.解解 依题意袋中白球数 X 是个随机变量，X 可取 1，2，n，且nk 1kPXka.若记 B“第 n1 次从袋中任取一球为白球”，Ak“第 n 次交换后袋中有 k 个白球”(k1，2，n).由全概率公式，得 nkkXPABPAPBPnkkknk)|()()(11.)11na
12、kXkPnnk 例例 2 2（1 1）有两个箱子，第一个箱子中有 3 个白球 2 个红球，第二个箱子中有 4 个白球 4 个红球，先从第一箱当中随机取一个球放入第二个箱子当中.再从第二箱当中取 1 个球，问它是白球的概率是多少？解解 iA表示第i次从第i个箱子取出的白球.53)(1AP 52)(1AP 95)|(12AAP 94)|(12AAP 4523)|()()|()()(1211212AAPAPAAPAPAP.（2 2）设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为7.03.021X，而Y的概率密度为()f y，求随机变量UXY的概率密度()g u.分析分析 离散型随机变量X和一个连续型随机变
13、量Y的和是不能确定的，但是本题已知随机变量X与Y独立，并且X只有两个正概率点，这时可以利用全概率公式求UXY的概率密度 解解 为求出概率密度()g u，一般应先求分布函数()G uP UuP XYu，新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 7 先验概率：10.3P X，20.7P X 所以UXY的分布函数为 )(uYXPuG 1122P XP XYu XP XP XYu X 0.3 10.72P XYu XP XYu X 0.3 110.722P YuXP YuX.由于X和Y相互独立，可见()0.3 1 0.7 2G uP YuP Yu0.3(
14、1)0.7(2).F uF u 又因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(uFuFuGug0.3(1)0.7(2).f uf u 例例 3 从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为X,再从X,2,1中任取一个数，记为Y,则 2P Y=_.解解 由全概率公式：2YP=121XYPXP+222XYPXP +323XYPXP+424XYPXP X表示从数 1,2,3,4 中任取一个数，故X是等可能取到 1,2,3,4。所以 1()4P Xi，1,2,3,4i 而Y表示从X,2,1中任取一个数，也就是说Y是等可能取到X,2,1 也就是说
15、YX在的条件下等可能取值，即 210P YX（X取 1 的条件下，Y取 2 是不可能事件）1222P YX（X取 2 的条件下，Y在 1，2 等可能取值）1233P YX（X取 3 的条件下，Y在 1，2，3 等可能取值）1244P YX（X取 4 的条件下，Y在 1，2，3，4 等可能取值）故2YP=121XYPXP+222XYPXP +323XYPXP+424XYPXP 111113(0).423448 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 8 例例4 设 随 机 变
16、量X与Y相 互 独 立，且X服 从 标 准 正 态 分 布0,1N，Y的 概 率 分 布 为1012P YP Y，记 ZFz为随机变量ZXY的分布函数，则函数 ZFz的 间断点个数为（）A0.B1.C2.D3.解解 本题主要考查“二维随机变量函数的分布”，涉及“全概公式”.()()(0)(0)(1)(1)ZFzP XYzP XYz YP YP XYz YP Y 11(0)(1)(00)(1)22P XYz YP XYz YP Xz YP Xz Y ,X Y独立，1()(0)()2ZFzP XzP Xz.0),(1 21,0),(21zzzz 可见 z0 为 F(z)的间断点，故选（B）5.“事
17、件关系与运算”问题“事件关系与运算”问题 例例 设随机变量 X 与 Y 独立同分布，其分布密度为其他02083)(2xxxp 令 AXa，BYa，并且 P(AB)43，则 a()A2 B34 C32 D1 解解 由于pBPAP)()(，而2)()(41)(pBPApBAp，所以21p 即.4,2181,21d833320aaxxa 故选择 B.6.“协方差与相关系数”问题“协方差与相关系数”问题 例例 1 1 设随机变量 X 的概率分布如下：xi 1 0 2 pi 31 21 61 并且 Y2X1，则(X，Y)的相关阵为_.解解 矩阵YYYXXYXXR称为 X，Y 的相关阵相关阵 由于 Y2X
18、1，可知 XYYX1 新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 9 因此(X，Y)的相关阵为 1111R.例例 2 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 ZX0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为_.解解 D(Z)D(X0.4)D(X)，YZE(YE(Y)(ZE(Z)E(YE(Y)(X0.4E(X0.4)E(YE(Y)(XE(X)XY，因此 ,)()()()(XYXYYZYZXDYDZDYD 故 YZXY0.9.例例 3 3 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和 Y 的相关系数等于 A1
19、B0 C21 D1 解解 由题设可知：由于X正面向上的次数；Y反面向上的次数，故有XYn，并且XB21,n，YB21,n.于是,2)()(nYEXE;4)()(nYDXD XYE(XY)E(X)E(Y)22()4nE nXX4)44(2222nnnn,4n 因此 1444)()(nnnYDXDXYXY 注意 本题也可根据负相关的定义，由 XYn，导出 YXn，可见 1.例例 4 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 XY 与 XY 不相关的充分必要条件为 AE(X)E(Y)BE(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)2 CE(X2)E(Y2)DE(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)
20、2 解解 由，不相关的充要条件是 D()D()D()，有 D()D(XYXY)4D(X)，D()D()2D(X)2D(Y)，即 D(X)D(Y)，于是有 E(X2)(E(X)2E(Y2)(E(Y)2.故选择 B.7.“独立与相关”问题“独立与相关”问题 1 例例 1 1 设 X 与 Y 相互独立同分布，令 UXY，VXY，则 U 与 V 一定是()A不独立 B独立 C相关 D不相关 解解 由于 E(UV)E(XY)(XY)E(X2Y2)E(X2)E(Y2)0 E(U)E(V)E(XY)E(XY)(E(X)E(Y)(E(X)E(Y)0 E(UV)E(U)E(V)，UV0UV0，故选择 D.举例说
21、明 B不成立 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 10 令 P(X0)P(Y0)21，P(X1)P(Y1)21 则由 P(U1)P(X0，Y1)41，P(V2)P(X1，Y1)41 而 P(U1，V2)P()0P(U1)P(V2)161 因此 U 与 V 不独立.例例 2 2 设 X 与 Y 相互独立都服从 P()，令 U2XY，V2XY.求随机变量 U 和 V 的相关系数 UV.解解 由于 X，YP()，因此有 E(X)E(Y)D(X)D(Y)，E(X2)E(Y2)D(
22、X)(E(X)22，于是 D(U)D(V)4D(X)D(Y)5，而 cov(U，V)cov(2XY，2XY)4D(X)D(Y)3，因此.5353)()(),cov(VDUDVUUV 8.“独立与相关”问题“独立与相关”问题 2（既不相关又不独立总结）（既不相关又不独立总结）例例 1 1 设随机变量(X，Y)U(D)，其中 D：x2y2R2，求：(1)xy；(2)X 与 Y 是否独立.解解 D 是以原点为圆心、1 为半径的圆，其面积等于，故(X，Y)的密度函数为.,0;1,1),(22其他yxyxp 于是 yxyxpxXEdd),()(yxxyxdd1122ddcos11020rrr 10220
23、ddcos1rr0.同样地，E(Y)0.而 yxyxpyEyxExXYdd),()()(202101ddcossin1dd122rrryxxyyx.0ddcossin110320rr 由此得 XY0.下面讨论独立性.当|x|1 时，22112.12d1)(xxXxyxp 当|y|1 时，22112.12d1)(yyYyxxp 显然 pX(x)pY(y)p(x，y)，故 X 和 Y 不是相互独立的.这说明 XY0 不是 X，Y 相互独立的充分条件.新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 11 例例 2 设随机变量2(0,1),(1),(2).xy
24、XNYXxy求讨论 与 是否独立 解解 ,0Cov X YE XYE X E Y，所以 0XY（2 2）由于2YX，说明,X Y有非线性关系，因此不独立。例例 3 设随机变量12(,),sin,cos.XuYX YX判断12,Y Y的相关性和独立性。解解 1 21 2121212(),(),(),()00,.YYYYE YE YD YD YY Y不相关（2 2）2212121,YYY Y 不独立.9.“结论”问题“结论”问题 一个重要的结论：一个重要的结论：设 X 具有连续的分布函数 F x，则0,1YF XU 例例 1 1 设 XE(4)，证明 Y1e4XU(0，1).解解 由于 41,00
25、,xexF x 其他 为)4(E的分布函数，有 F()0，F()1 由分布函数的定义,1,1,10*,0,0)(yyyyF 当 0y1 时，有 F(y)P(Yy)P(1e4Xy)1ln(41yXP)1ln(41yFX)1ln(4141ye,)1(1yy 因此 0,0,(),01,1,1,yF yyyy 1,01,()0,.yp y其他 即 YU(0，1).（9595 年数四）年数四）假设随机变量X服从参数为 2 的指数分布。证明：21XYe 在区间(0,1)上服从均匀分布。方 法方 法 1：21XYe 是0,上 的 单 调 函 数 且 其 反 函 数 为 112xh ylny.在 区 间(0,
26、1)上 102 1hy.y 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 12 应用单调函数公式法，Y的概率密度为 010XYhyfh y,y,fy,其它，212011012 100h ye,y,y,y,其它，其它，由计算可知 Yfy恰是(0,1)上均匀分布的密度函数.方法方法 2：用分布函数法求Y的分布函数.当0y 时，0YFy；当1y 时，1YFy；当01y时，1102lny，112YFyP YyP Xlny12121112lnyXFlnyey 计算可知Y的分布函数为 1100
27、01Y,y,Fy,y,yy.，上式恰好是区间(0,1)上均匀分布随机变量的分布函数.（03 年数三）年数三）设随机变量X的概率密度为;,8,1,0,31)(32其他若 xxxf，()F x是X的分布函数.求随机变量()YF X的分布函数.解解 当1x时，()0F x;当8x 时，()1F x.对于8,1 x，有 .131)(3132xdttxFx 设()G y是随机变量()YF X的分布函数.显然，当0y时，()G y=0；当1y时，()G y=1.对于)1,0y，有 )()(yXFPyYPyG 331(1)PXyP Xy3(1).Fyy 于是，()YF x的分布函数为 0,0,(),01,1
28、,1.yG yyyy若若若 新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 13 事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时()YF x仍服从均匀分布:当0y时，()G y=0;当 1y时，()G y=1;当 01 y时，)()(yXFPyYPyG=)(1yFXP=.)(1yyFF 10.“几何分布”问题“几何分布”问题 例例 1 1 设甲、乙、丙三人依次轮流掷骰子，用 X 表示他们第一个投中 6 时所用次数.求 X 的分布.进一步求 E（X），D（X）解解 设 Ai甲第 i 次投中 6 点；Bi乙第 i 次投中 6 点；Ci丙第 i 次投中 6 点
29、，(i1，2，).于是111111CBABAAPXPp3691616565616561 2322111221112111CBACBABACBAACBAPXPpq33691)65(13)1(3691)65()(kkpqkXP 因此，X 的分布为),2,1()(1kpqkXPk，其中33)65(,691qp 121691E Xp,232221253069191qD Xp 例例 2 2 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(0p1)，各产品合格与否相互独立.当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X 的数学期望 E(X)和 D(X).解解 令 q1p，
30、得 X 的分布为 P(Xk)qk1p(k1，2，)X 的数学期望)()(111kkkkqppkqXEpqqpqpkk11)(1 1122)(kkpqkXE11)1(kkpqkkk 1111)(kkpqpqqpqpq ppqq1)1(23ppp1)1(2222pp D(X)E(X2)(EX)22212ppp21pp 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 14 11.“正态分布几个结论”问题“正态分布几个结论”问题 一般情况下，(1)21XX 与独立且),(2111NX，),(
31、2222NX 则),(22212121NXXZ(2)X与Y不独立，只要221212(,)(,)X YN 则22121212(,2)ZXYN .（3）221212(,)(,)X YN 时，X与Y独立0 例例 1 1 设),(21XX服从二维正态分布.参数.10,1,0222121 令.21XXY求证：Y服从正态分布.分析分析 要证Y服从正态分布，只要求出Y的分布密度为正态分布的密度即可.这是求随机变量之和的分布密度问题.证明证明 记 Y 的分布函数为 FY(y)，则 FY(y)PYy2121dd),(21xxxxfyxx2211d),(d1xxxfxxy 21111d(,)dyxtxxf x t
32、xt 令111d),(dxxtxfty 将(X1，X2)的联合密度函数 f(x1，x2)代入上式，有,d121d)(1)()(2()1(2122111212xetyFxtxtxxyY 而 211121)()(2xtxtxx2121)1(2)1(2ttxx)1(2424)1(2222121ttttxx)1(41)2)(1(2221ttx.212)1(2221ttx 故 12212d212)(1(2)1(212121d)(xttxyYetyF 1)1(42112d121d221xeetttxy.d)1(2211)1(42xety 最后一个式子中，被积函数是 0，22(1)的正态密度.因此 Y 服从
33、正态分布且参数 0，22(1).例例 2 2 设二维随机变量(X，Y)的密度函数为),(),(21),(21yxyxyxf 新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 15 其中1(x，y)和2(x，y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为31和31，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1.(1)求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f1(x)和 f2(y)，及 X 和 Y 的相关系数(可以直接利用二维正态密度的性质)；(2)问 X 和 Y 是否独立？为什么？分析分析 本题主要考查二维随机变量的“函
34、数的分布”、“独立性”及“相关系数”.解解 (1)由于二维正态密度函数的两个边缘密度都是正态密度函数，因此1(x，y)和2(x，y)的两个边缘密度为标准正态密度函数，故 yyxfxfd),()(1d),(d),(2121yyxyyx;21212121222222xxxeee 同理.21222yef 由于 XN(0，1)，YN(0，1)，可见 E(X)E(Y)0，D(X)D(Y)1.随机变量 X 和 Y 的相关系数 yxyxxyfdd),(yxyxxydd),(211dd),(2yxyxxy0313121.(2)由题设,283),()32(169)32(1692222yxyxyxyxeeyxf,
35、2121)()(2)(22212222yxyxeeeyfxf f(x，y)f1(x)f2(y)，所以 X 与 Y 不独立.例例 3 3 设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X 与 Y 一定独立；(B)(X，Y)服从二维正态分布；(C)X 与 Y 未必独立；(D)XY 服从一维正态分布.分析分析 本题主要考查随机变量“独立”与“不相关”.我们知道“对于任意二个随机变量来说，若 X 与 Y 相互独立，则它们一定不相关，反之不真”.另外，“对于二维正态分布来说，X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 与 Y 不相关”.这里 X 与 Y 都服从正态分布，并且它们不相关，不能导出
36、它们的联合分布一定是二维正态分布.因此，X 与 Y 不相关，不能推出 X 与 Y 一定独立，即 X 与 Y 未必独立.故选择 C.注意 本题还可以使用排除法.即若 B 成立，那么 A，D 一定成立，因此排除 A，B，D，即只有 C 成立.这里用到了一个重要结论“X 与 Y 都服从正态分布，并且(X，Y)服从二维正态分布，则 XY 服从一维正态分布”.12.“离散型”问题“离散型”问题 例例 1 1 袋中有编号为 1，2，3 的三个球，在(1)有放回地抽取 2 次,(2)无放回地抽取 2 次情况下，试讨论 至少有一次取到 2 号球的概率.在第一次取到 2 号球的条件下，求第二次取到 1 号球的概
37、率.20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 16 在第二次取到 1 号球的条件下，求第一次取到 2 号球的概率.解解 设 A至少有一次取到 2 号球,B第一次取到 2 号球,C第二次取到 1 号球(1)有放回：根据古典概型(考虑到元素是有序的)方法一 95312)(21112CCAP 方法二 95321)(1)(22APAP P(C|B)P(C)31(独立)P(B|C)P(B)31(独立)(2)无放回：A恰有一次恰有两次恰有一次 1112232()3C CP AC(组合无序)
38、11111221232()3C CC CP AP(排列有序).213161/)()()|(1311231111PCPCCBPCBPBCP(公式法)21)()|(1211CCCPBCPB(改变样本空间)设 D第一次取到 1 号球 P(B|C)逆概公式，先求 P(C)P(C)P(D)P(C|D)P(D)P(C|D)(全概)312132031.213161)()()|(CPCBPCBP(逆概)思考题思考题 袋中有 3 白球 2 红球，每次取一个，取后不放回，设 X 表示第一次取到白球的个数，Y 表示第二次取到红球的个数.(1)求 X，Y 的联合分布.(2)求(),()XYFx Fy.(3)讨论 X，
39、Y 的独立性和相关性.例例 3 袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 17（1）求10p XZ；（2）求二维随机变量,X Y联合概率分布。解解 （1）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 12113324(10)9CP XZCC（2）X，Y 取值范围为 0，1，2，故 11113323111166661112231111
40、66661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20CCCCP XYP XYCCCCCCCP XYP XYCCCCCCP XYP XYCCCCP XYCCP XYP XY X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 二、数理统计部分二、数理统计部分 1.点估计：矩法、最大似然法点估计：矩法、最大似然法 矩法：一阶原点矩、二阶原点矩（或中心矩）在实际问题中，往往先求 E（X）或 D（X），再用矩法 最大似然法：离散型、连续型 似然函数：单驼峰，单调递增，单调递减
41、对于单驼峰：取对数求导求出有关的驻点 单调递增如下例题中第（3）问：例例 设随机变量 X 的分布函数为.,0,)(1),;(xxxxF 其中参数0，1设 X1，X2，Xn为来自总体 X 的简单随机样本(1)当1 时，求未知参数的矩估计量(2)当1 时，求未知参数的最大似然估计量 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 18(3)当2 时，求未知参数的最大似然估计量 分析分析 本题主要考查“矩法”“矩法”及“最大似然估计法”“最大似然估计法”解解 当1 时，X 的概率密度为.1
42、,0,1,);(1xxxxp(1)由于 11,1dd);()(xxxxxxpXE 令,1X解得,1XX所以，参数的矩估计量为.1XX(2)对于总体 X 的样本值 x1，x2，xn，似然函数为.,0),2,1(1,1)();()(211其他nixxxxxPLinnini 当 xi1(i1，2，n)时，L()0，取对数得 1ln()ln(1)ln,niiLnx 对求导数，得,lnd)(lnd1inixnL 令,0d)(lndL解得,ln1inixn的最大似然估计量为 iniXnln1(3)当2 时，X 的概率密度为.,0,2);(32xxxxp 对于总体 X 的样本值 x1，x2，xn，似然函数为
43、 231212,(1,2,),()(;)()0,nnniniixinLp xx xx其他 当 xi(i1，2，n)时，越大，L()越大，因而的最大似然估计值为 minx1，x2，xn，则的最大似然估计量为 minX1，X2，Xn 单调递减的例题 例例 设 XU(0，)，0，求的最大似然估计量 新东方考研教材系列 新东方考研 卓越可依赖 报名咨询电话：4456166 4456177 19 分析分析 由于 XU(0，)，有 1,0,(;)0,.xP x其他 于是 11,0(1,2,).()(;)0,niniixinLP x其他.又因为0，所以 L()随着减小而增大但1max,ii nx 故取 1m
44、ax ii nx 为的最大似然估计量 2.区间估计与假设检验区间估计与假设检验 区间估计的变形问题 例例 1 1 设总体 XN(3.4，62)，从中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值x位于区间1.4，5.4内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？附表 标准正态分布表teztzd21)(22 pu z 1.28 1.645 1.96 2.33 p(z)0.900 0.950 0.975 0.990 新表pueuupd2122 解解 以x表示该样本均值，则),1,0(64.3Nnx 从而有 P1.4x5.4P2x3.42，P|x3.4|26264.3|nnxP1)3(2n0.
45、975，故)3(n0.95.由此得3n1.96，即 n(1.963)234.57，所以 n 至少应取 35.假设检验的变形问题 例例 2 2 设总体 XN(，52)，在 0.05 的水平上检验 H0：0，如果所选取的拒绝域 R(|x|1.96)，问样本容量 n 应取多大？解解 这是一个已知方差，检验均值问题.因此选择的统计量为 nxnxU5520 20112011 考研冲刺班概率论与数理统计讲义考研冲刺班概率论与数理统计讲义 新东方考研 专业可信赖 报名咨询电话：0537-4456166 4456177 20 而其对应的样本函数为)1,0(20Nnxu 当 H0：0 成立时，UN(0，1).由
46、题意 P(|x|1.96)596.1|5|nnxP0.95 即 1.961.965nn25.假设检验中难题 例例 3 用机器包装某种饮料，已知每盒重量为 500g，误差不超过 10g.今抽查了 9 盒，测得平均重量为 490g，标准差为 16g，问这台自动包装机工作是否正常(显著性水平 0.05).解解 检查机器是否正常，需要同时检验重量X 的均值 与标准差 是否正常.(1)检验 0 H0：500；9/500SxT；查 t(8，0.975)得 2.306，采用双侧检验 R|t|2.306；T1.875；由于|T|2.306，故相容，即没有发现系统偏差，可以认为该自动打包机每盒重量均值为 500 克.(2)检验 0 H0：10；;108)1(22202SSnW 查 x2(8，0.95)得 15.507，采用单侧(右侧)检验 R(15.507，)；48.201001682W；由于W15.507 落入否定域，即 10.因此说明该打包机虽然没有发现系统误差，但是不稳定，因此工作不正常.