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1、中国人民大学在职研究生1、概念网络图2、重要公式和结论（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验
2、在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零
3、，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表
4、示A不发生的事件。互斥未必对立。运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)= =（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此
5、随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B)（12）条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)
6、0，则有。（14）独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件满足1两两互不相容，2，则有。（16）贝叶斯公式设事件，及满足1 ，两两互不相容，0，1，2，2 ，则，i=1，2，n。此公
7、式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫先验概率。，（，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足u 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；u 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。例11：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？例12：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮
8、船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic号，问有多少种走法？例13：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic号，问有多少种走法？例14：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。例15：两线段MN和PQ不相交，线段MN上有6个点A1，A2，A6，线段PQ上有7 个点B1，B2，B7。若将每一个Ai和每一个Bj连成不作延长的线段AiBj(i=1,2,6;j=1,2,7),则由这些线段 AiBj相交而得到的交点（不包括A1，A6，B1，B713个点）最多有A 315个 B 316个 C 317个 D 318个例16：3封不同的
9、信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？例17：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。例18：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序） 例19：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序） 例110：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序） 例111：化简 (A+B)(A+)(+B)例112： 成立的充分条件为：(1)C (2) C例113：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例114：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例115：3白球，2黑球，任取2球，至少
10、一白的概率？例116：袋中装有个白球及个黑球。从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a，b）。从袋中任意地接连取出k+1（k+1+）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。上两题改成“放回”。例117：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。例118：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？例119：设O为正方形ABCD坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）中的一点，求其落在x2+y21的概率。例120：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求偶然遇到的一辆自行车，其
11、牌照号码中有数字8的概率。例121：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：两只球都是白色的概率；两只球颜色不同的概率；至少有一只白球的概率。例122：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。例123：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过3件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0123概 率0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求一批产品通过检验的概率。例124：某工厂
12、生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过3件，并具有如下的概率：一批产品中的次品数0123概 率0.10.20.30.4现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有件次品的概率。例125：A，B，C相互独立的充分条件：（1）A，B，C两两独立（2）A与BC独立例126：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标被射中的概率。例127：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成
13、功概率为0.9）？例128：假设实验室器皿中产生A类细菌与B类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了个细菌，则其中至少有一个A类细菌的概率是 。例129：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取a+b次球，每次放回，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a，b）。例130：有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？例131：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为，则在成功2次之前已经失败3次的概率为：ABCDE第二节 重点考核点事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型第三节 常见题型1、事件的
14、运算和概率的性质例132：(AB)-C=(A-C)B 成立的充分条件为：(1)AB= (2)C=例133：A,B,C为随机事件，“A发生必导致B、C同时发生”成立的充分条件为：(1) ABC=A (2)ABC=A例134：设A，B是任意两个随机事件，则= 。例135：假设事件A和B满足P（B | A）=1，则 （A） A是必然事件。（B）。 （C）。（D）。2、古典概型和几何概型例136：有两组数，都是1，2，3，4，5，6，分别任意取出一个，其中一个比另一个大2的概率？例137：52张扑克牌，任取5张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。例138：设有n个质点，每个以相同的概率落入N个盒子中。
15、设A=“指定的n个盒子中各有1个质点”，对以下两种情况，试求事件A的概率。（1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定N个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。（2）（费米-爱因斯坦统计）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。例139：袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球。从中任取3个，求这三个球中至少有1个是白球的概率。例140：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。例141：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，
16、如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？3、条件概率和乘法公式例142：从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？例143：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？4、全概和贝叶斯公式例144：在盛有10只螺母的盒子中有0只，1只，2只，10只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是A 6/11 B5/10 C5/11 D4/11例145：有5件产品，次品的比例为20，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例
17、146：有5件产品，每件产品的次品率为20，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？例147：发报台以概率0.6和0.4发出信号“ ”和“”，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“ ”和“”时，收报台分别以概率0.2和0.1收到信号“”和“”。求收报台收到信号“”时，发报台确实发出信号“”的概率。例148：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取2次，问第2次取到白球的概率？例149：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。例150：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份
18、、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。5、独立性和伯努利概型例151：设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：，并且，求事件A的概率。例152：设P(A)0,P(B)0，证明（1） 若A与B相互独立，则A与B不互斥；（2） 若A与B互斥，则A与B不独立。例153：对行任意二事件A和B，（A） 若AB，则A，B一定独立。（B） 若AB，则A，B有可能独立。（C） 若AB=，则A，B一定独立。（D） 若AB=，则A，B一定不独立。例154：“A,B,C为随机事件，A -B与
19、C独立”的充分条件：(1) A,B,C两两独立 （2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）例155：设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0P（C）1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（A）与C。（B）与。（C）与。（D）与。例156：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件（A）相互独立。（B）相互独立。（C）两两独立。（D）两两独立。例157：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有10个乘客的条件下，中途有3个人下车的概率。例158：某种硬
20、币每抛一次正面朝上的概率为0.6，问连续抛5次，至少有4次朝上的概率。例159：A发生的概率是0.6，B发生的概率是0.5，问A,B都不发生的最大概率？例160：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1 。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A) 154倍 (B)254倍 (C)798倍 (D)1024倍第四节 历年真题数学一：1（87，2分）设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一
21、次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为。2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。3（88，2分）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为。4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为。5（89，2分）已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B | A）=
22、0.8，则和事件AB的概率P（AB）=。6（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。7（90，2分）设随机事件A，B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若表示B的对立事件，那么积事件A的概率P（A）=。8（91，3分）随机地向半圆0y(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为。9（92，3分）已知P（A）=P（B）=P（C）=，则事件A、B、C全不发生的概率为。10（93，3分）一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽
23、一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为。11（94，3分）已知A、B两个事件满足条件P（AB）=P（），且P（A）=p，则P（B）= 。12（96，3分）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 。13（97，3分）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是。14（98，3分）设A、B是两个随机事件，且0P(A)0, P(B | A)=P(B | )，则必有（A）P（A | B）= P(|
24、B)（B）P（A | B）P(|B)（C）P（AB）= P(A)P（B）（D）P（AB）P(A)P（B）15（99，3分）设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C），且已知，则P（A）=。16（00，3分）设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）=。17（06，4分） 设为随机事件，且，则必有（A）（B）（C）（D） 数学三：1（87，2分）若二事件A和B同时出现的概率P（AB）=0，则（A）A和B不相容（互斥）。（B）AB是不可能事件。（C）AB未必是不可能事件。（C）P（A）=0或P（B）=
25、02（87，8分）设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求（1） 先取出的零件是一等品的概率p;（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。3（88，2分）设P（A）=0.4, ，那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=。4（88，2分）（是非题）若事件A，B，C满足等式，则A=B（）。5（88，7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一
26、顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。6（89，3分）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 7（90，3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为。8（90，3分）设A、B为二随机事件，且，则下列式子正确的是（A）（B）（C）（D）9（90，4分）
27、从0，1，2，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含0和5；A2=三个数字中不含0或5。10（91，3分）设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）不相容。（B）相容。（C）。（D）11（92，3分）将C，C，E，E，I，N。S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为。12（92，3分）设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（A）（B）（C）（D）13（93，3分）设两事件A与B满足，则（A）A是必然事件。（B）。（C）。（D）。14（94，3分）设，则事件A和B（A）互不相容。（B）互相对立。（C
28、）不独立。（D）独立。15（95，8分）某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1） 全部能出厂的概率；（2） 恰有两台不能出厂的概率；（3） 至少有两台不能出厂的概率。16（96，3分）已知且，则下列选项成立的是（A）（B）（C）（D）17（96，6分）考虑一元二次方程其中B、C分别是将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。18（98，9分）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中
29、女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（3） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（4） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。19（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于 考试之星网 QQ:327917661 电话:13608959455 （A）（B）（C）（D）20（03，4分）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、
30、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件（A）相互独立。（B）相互独立。（C）两两独立。（D）两两独立。数学四：1（87，2分）对于任意二事件A和B，有P（A-B）=（A）P（A）-P（B）。（B）P（A）-P（B）+P（AB）。（C）P（A）-P（AB）。（D）P（A）+P（）-P（A）。2（87，8分）设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求：（1） 先取出的零件是一等品的概率p；（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q.3（8
31、8，2分）设P（A）=0.4, P(AB)=0.7，那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=。4（88，2分）（是非题）若事件A，B，C满足等式AC=BC，则A=B。（）5（88，7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1） 顾客买此箱玻璃杯的概率；（2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。6（89，3分）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：（A）“
32、甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。7（90，4分）从略，1，2，9等十个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含0和5；A2=三个数字中含0但不含5。8（91，3分）设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）= 。9（91，3分）设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）与不相容。（B）与相容。（C）P（AB）=P（A）P（B）（D）P（A-B）=P（A） 10（92，3分）设A，B，C为随机事件，P（A）=P（B）=
33、P（C）=，P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=，则A，B，C至少出现一个的概率为。11（92，3分）设当事件A与B同时发生时事件C也发生，则（A）P（C）=P（AB）。（B）P（C）=P（AB）（C）P（C）P（A）+P（B）-1。（D）P（C）P（A）+P（B）-1。 12（93，3分）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。13（94，3分）设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。14（94，3分）设0P（A）1，0P（B）1，P（A | B
34、）+P（| ）=1，则事件A和B（A）互不相容。（B）互相对立。（C）不独立。（D）独立。 15（95，8分）某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1） 全部能出厂的概率;（2） 恰有两台不能出厂的概率；（3） 至少有两台不能出厂的概率。16（96，3分）设A，B为随机事件且AB，P（B）0，则下列选项必然成立的是（A）P（A）P（A | B）。（B）P（A）P（A | B）。（C）P（A）P（A | B）。（D）P（A）P
35、（A | B）。 17（97，3分）设A，B是任意两个随机事件，则P（+B）（A+B）（+）（A+）=。18（98，3分）设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。19（98，3分）设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0P（C）1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（A）与C。（B）与。（C）与。（D）与。20（00，3分）设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是（A）A与BC独立。（B）AB与AC独立。（C）AB与AC独立。（D）AB与AC独立。21（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的
36、误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，设T（1）T（2）T（3）T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件（A）T（1）t0.（B）T（2）t0.（C）T（3）t0.（D）T（4）t0.22（01，3分）对于任意二事件A和B，与AB=B不等价的是（A）AB。（B）（C）。（D）。23（02，8分）设A，B是任意二事件，其中0P（A）1。证明：P（B | A）=P（B | ）是A与B独立的充分必要条件。24（03，4分）对行任意二事件A和B，（E） 若AB，则A，B一定独立。（F） 若AB，则A，B有
37、可能独立。（G） 若AB=，则A，B一定独立。（H） 若AB=，则A，B一定不独立。25（06，4分）设为两个随机事件，且，则有（ ）（A）（B）（C）（C）第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图 2、重要公式和结论（1）离散型随机变量的分布律设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1）， （2）。（2）连续型随机变量的分布密度设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有， 则称为连
38、续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1 。2 。（3）离散与连续型随机变量的关系积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数设为随机变量，是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ；2 是单调不减的函数，即时，有 ；3 ， ；4 ，即是右连续的；5 。对于离散型随机变量，；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在重贝努里试
39、验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。， 其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。当时，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量的分布律为，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上为常数，即axb 其他，则称随机变量在a，b上服从均匀分布，记为XU(a，
40、b)。分布函数为 axb 0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 ,0, ,其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 , x0。 记住积分公式：正态分布设随机变量的密度函数为， ，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。具有如下性质：1 的图形是关于对称的；2 当时，为最大值；若，则的分布函数为。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)。如果，则。 （6）分位数下分位表：；上分位表：。（7）函数分布离散型已知的分
41、布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。连续型先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。例21：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X()为“取白球的数”，求X的分布律。例22：给出随机变量的取值及其对应的概率如下：，判断它是否为随机变量的分布律。例23：设离散随机变量的分布列为，求的分布函数，并求，。例24： 是概率密度函数的充分条件是：（1）均为概率密度函数（2）例25：袋中装有个白球及个黑球，从袋中先后取a+b个球（放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（
42、a，b）。例26：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。例27：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例28：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取a+b个球，试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a，b）。例29：袋中装有个白球及个黑球，从袋中先后取a+b个球（不放回），试求其中含a个白球，b个黑球的概率（a，b）。例210：袋中装有个白球及个黑球，从袋中先后取a+b个球（放回），试求直到第a+b次时才取到白球的概率（a，b）。例211：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X()为