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1、-1-2011201120112011 考研数学基础班概率论与数理统计讲义考研数学基础班概率论与数理统计讲义第一章第一章随机事件和概率随机事件和概率第一节第一节基本概念基本概念1 1、排列组合初步、排列组合初步（1 1）排列组合公式）排列组合公式)!(!nmmPnm=从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm=从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。例 11：方程xxxCCC76510711=的解是A4B 3C 2D 1例 12：有 5 个队伍参加了甲 A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)(2)加法原理（两种方法均能完成此事加法原理（两
2、种方法均能完成此事）：m+nm+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n种方法来完成。(3)(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m mn n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。例 13：从 5 位男同学和 4 位女同学中选出 4 位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例 14：6 张同排连号的电影票，分给 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相间而坐，则不同的
3、分法数为多少？例 15：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A120 种B140 种C160 种D180 种(4)(4)一些常见排列一些常见排列1特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例 16：晚会上有 5 个不同的唱歌节目和 3 个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不-2-同的节目单？3 个舞蹈节目排在一起；3 个舞蹈节目彼此隔开；3 个舞蹈节目先后顺序一定。例 17：4 幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例 18：5 辆车排成 1 排，1 辆黄色，1 辆蓝色，3 辆红色，且 3 辆红车不可分
4、辨，问有多少种排法？2重复排列和非重复排列（有序）例 19：5 封不同的信，有 6 个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？3对立事件例 110：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例 111：15 人中取 5 人，有 3 个不能都取，有多少种取法？例 112：有 4 对人，组成一个 3 人小组，不能从任意一对中取 2 个，问有多少种可能性？4顺序问题例 113：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的种数？（有序）例 114：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的种数？（有序）例 115：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的种数？（无序）2 2、随
5、机试验、随机事件及其运算、随机试验、随机事件及其运算（1 1）随机试验和随机事件）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午 9 时到 10 时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为 0.1 米、0.5 米及 1 米到 3 米之间都是随机事件（正态分布）。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这
6、样一组事件，它具有如下性质：（1）每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；（2）任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示，例如nL,21（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。如果某个是事件A的组成部分，即这个在事件A中出现，记为A。如果在一次试验中所出现的有A，则称在这次试验中事件A发生。如果不是事件A的组成部分，就记为A。在一次试验中，所出现的有A，则称此次试验A没有发生。为必然事件，为不可能事件。（2 2）事件的关
7、系与运算）事件的关系与运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AUB，或者A+B。-3-属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AIB，或者AB。AIB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立
8、。运算：结合率：A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：UI=11iiiiAABABAIU=，BABAUI=例 116：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间。若表示取到的两只球是白色的事件，表示取到的两只球是红色的事件，试用、表示下列事件：（1）两只球是颜色相同的事件C，（2）两只球是颜色不同的事件D，（3）两只球中至少有一只白球的事件E。例 117：硬币有正反两面，连续抛三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用 Ai表示下列事件：（
9、1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C，（2）至少有一次正面朝上的事件D，（3）前两次正面朝上的事件E。3 3、概率的定义和性质、概率的定义和性质（1 1）概率的公理化定义）概率的公理化定义设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=13 对于两两互不相容的事件1A，2A，有=11)(iiiiAPAPU常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件A的概率。（2 2）古典概型（等可能概型）古典概型（等可能概型）1nL21,=，2nPPPn1)()()(21=L。设任一事件A，它是由mL21,组成的，则有P(A)=)()()
10、(21mULUU=)()()(21mPPP+Lnm=基本事件总数所包含的基本事件数A=-4-例 118：集合 A 中有 100 个数，B 中有 50 个数，并且满足 A 中元素与 B 中元素关系 a+b=10 的有 20 对。问任意分别从 A 和 B 中各抽取一个，抽到满足 a+b=10 的 a,b 的概率。例 119：5 双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？例 120：在共有 10 个座位的小会议室内随机地坐上 6 名与会者，则指定的 4 个座位被坐满的概率是A141B131C121D111例 121：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序）例 122
11、：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序）例 123：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（无序）注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。4 4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）（1 1）加法公式）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)例 124：从 0，1，9 这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A“三个数字中不含 0 或者不含 5”。（2 2）减法公式）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P
12、(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)例 125：若 P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求 P(A+B)和 P(A+B).例 126：对于任意两个互不相容的事件 A 与 B，以下等式中只有一个不正确，它是：(A)P(A-B)=P(A)(B)P(A-B)=P(A)+P(AB)-1(C)P(A-B)=P(A)-P(B)(D)P(AB)(A-B)=P(A)(E)pBA=P(A)-P(AB)（3 3）条件概率和乘法公式）条件概率和乘法公式定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率
13、，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)乘法公式：)/()()(ABPAPABP=更一般地，对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP=21|(AAAPn)1nA。例 127：甲乙两班共有 70 名同学，其中女同学 40 名，设甲班有 30 名同学，而女生 15 名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。例 128：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？-5-第一次打开；第
14、二次打开；第三次打开。（4 4）全概公式）全概公式设事件nBBB,21L满足1nBBB,21L两两互不相容，),2,1(0)(niBPiL=，2UniiBA1=，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=L。此公式即为全概率公式。例 129：播种小麦时所用的种子中二等种子占 2，三等种子占 1.5，四等种子占 1，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。例 130：甲盒内有红球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒
15、内有红球 5 只，黑球 3 只；丙盒内有黑球 2 只，白球2 只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：A0.5625B0.5C0.45D0.375E 0.225例 131：100 个球，40 个白球，60 个红球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？第 20 次取出白球的概率？（5 5）贝叶斯公式）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足11B，2B，nB两两互不相容，)(BiP0，=i1，2，n，2UniiBA1=，0)(AP，则=njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（1=i，
16、2，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1=i，2，n），通常称为后验概率。如果我们把A当作观察的“结果”，而1B，2B，nB理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。例 132：假定用甲胎蛋白法诊断肝癌。设C表示被检验者的确患有肝癌的事件，A表示诊断出被检验者患有肝癌的事件，已知95.0)/(=CAP，98.0)/(=CAP，004.0)(=CP。现有一人被检验法诊断为患有肝癌，求此人的确患有肝癌的概率)|(ACP。5 5、事件的独立性和伯努利试验、事件的独立性和伯努利试验（1 1）两个事件的独立性）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BP
17、APABP=，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=-6-所以这与我们所理解的独立性是一致的。若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。（证明）同时，与任何事件都互斥。（2 2）多个事件的独立性）多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(
18、B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。两两互斥互相互斥。两两独立互相独立？例 133：已知)/()/(ABPABP=，证明事件A、B相互独立。例 134：A，B，C 相互独立的充分条件：（1）A，B，C两两独立（2）A与BC独立例 135：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为 0.9，乙射中的概率为 0.8，求目标没有被射中的概率。（3 3）伯努利试验）伯努利试验定义 我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不
19、影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp=1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC=)(，nk,2,1,0L=。例 136：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 次球，每次放回，试求其中含 a个白球，b 个黑球的概率（a，b）。例 137：做一系列独立试验，每次试验成功的概率为 p，求在第 n 次成功之前恰失败 m 次的概率。-7-第二节第二节练习题练习题1 1、事件的运算和概率的性质、事件的运算和概率的性质例 138：化简(A+B)(A+B)(A+B)例 139：ABC=AB(
20、CB)成立的充分条件为：(1)ABC(2)BC例 140：已知 P(A)=x，P(B)=2x，P(C)=3x，P(AB)=P(BC)，求 x 的最大值。例 141：当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则下列结论正确的是（A）P（C）=P（AB）。（B）P（C）=P（AUB）。（C）P（C）P（A）+P（B）-1（D）P（C）P（A）+P（B）-1。2 2、古典概型、古典概型例 142：3 男生，3 女生，从中挑出 4 个，问男女相等的概率？例 143：电话号码由四个数字组成，每个数字可以是 0,1,2,9 中的任一个数，求电话号码是由完全不同的数字组成的概率。例 144：袋中有
21、6 只红球、4 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球，设取到一只红球得 2 分，取到一只黑球得 1分，则得分不大于 6 分的概率是A4223B74C4225D2113例 145：10 个盒子，每个装着标号为“16”的卡片。每个盒子任取一张，问 10 张中最大数是 4 的概率？例 146：将 n 个人等可能地分到 N（nN）间房间中去，试求下列事件的概率。A“某指定的 n 间房中各有 1 人”；B“恰有 n 间房中各有 1 人”C“某指定的房中恰有 m（mn）人”例 147：有 5 个白色珠子和 4 个黑色珠子，从中任取 3 个，问全是白色的概率？3 3、条件概率和乘法公式、条件概率和乘法公式例
22、148：假设事件 A 和 B 满足 P（B|A）=1，则（A）A 是必然事件。（B）BA。（C）BA。（D）0)(=BAP。例 149：设 A，B 为两个互斥事件，且 P（A）0,P(B)0，则结论正确的是（A）P（B|A）0。（B）P（A|B）=P（A）。（C）P（A|B）=0。（D）P（AB）=P（A）P（B）。例 150：某种动物由出生而活到 20 岁的概率为 0.7，活到 25 岁的概率为 0.56，求现龄为 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。例 151：某人忘记三位号码锁（每位均有 09 十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两个数码后，只能随机地试拨最后一个数码，每拨一次
23、算作一次试开，则他在第 4 次试开时才将锁打开的概率是A41B61C52D101例 152：在空战训练中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为 0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率是 0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率是 0.4，求在这几个回合中：甲机被击落-8-的概率；乙机被击落的概率。例 153：为防止意外事故，在矿井内同时安装两种报警系统 A 与 B，每种系统单独使用时，其有效率 A 为 0.92，B 为 0.93，在 A 失灵条件下 B 有效概率为 0.85。求：（1）这两种警报系统至少有一个有效的概率；（2）在 B 失灵条件下，A 有效的概率。4 4、全
24、概和贝叶斯公式、全概和贝叶斯公式例 154：甲文具盒内有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔，乙文具盒内也有 2 支蓝色笔和 3 支黑色笔现从甲文具盒中任取 2 支笔放入乙文具盒，然后再从乙文具盒中任取 2 支笔求最后取出的 2 支笔都是黑色笔的概率。例 155：三个箱子中，第一箱装有 4 个黑球 1 个白球，每二箱装有 3 个黑球 3 个白球，第三箱装有 3 个黑球 5个白球。现先任取一箱，再从该箱中任取一球，问：（1）取出的球是白球的概率？（2）若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率？例 156：袋中有 4 个白球、6 个红球，先从中任取出 4 个，然后再从剩下的 6 个球中任取一个，则它恰为白
25、球的概率是。5 5、独立性和伯努利概型、独立性和伯努利概型例 157：设 P(A)0,P(B)0，证明（1）若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B 不互斥；（2）若 A 与 B 互斥，则 A 与 B 不独立。例 158：设两个随机事件 A，B 相互独立，已知仅有 A 发生的概率为41，仅有 B 发生的概率为41，则 P（A）=，P（B）=。例 159：若两事件 A 和 B 相互独立，且满足 P(AB)=P(A B),P(A)=0.4，求 P(B).例 1 60：设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C）21，且已知169)(=CBAPUU，则P（A）=。
26、例 161：A 发生的概率是 0.6，B 发生的概率是 0.5，问 A,B 同时发生的概率的范围？例 162：设某类型的高炮每次击中飞机的概率为 0.2，问至少需要多少门这样的高炮同时独立发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到 95%以上。例 163：由射手对飞机进行 4 次独立射击，每次射击命中的概率为 0.3，一次命中时飞机被击落的概率为 0.6，至少两次命中时飞机必然被击落，求飞机被击落的概率。例 164：将一骰子掷 m+n 次，已知至少有一次出 6 点，求首次出 6 点在第 n 次抛掷时出现的概率。例 165：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的
27、红球数与黑球数之比为 2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为 2：1。今任取一罐并从中取出 50 只球，查得其中有 30 只红球和 20 只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A)154 倍(B)254 倍(C)798 倍(D)1024 倍-9-第二章第二章随机变量及其分布随机变量及其分布第一节第一节基本概念基本概念在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方
28、法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是=)(XX，当反面出现，当正面出现01称X为随机变量。又由于X是随着试验结果（基本事件）不同而变化的，所以X实际上是基本事件的函数，即 X=X()。同时事件 A 包含了一定量的（例如古典概型中 A 包含了1，2，m，共 m 个基本事件），于是 P(A)可以由 P(X()来计算，这是一个普通函数。定义设试验的样本空间为，如果对中每个事件都有唯一的实数值 X=X()与之对应，则称 X=X()为随机变量，简记为X。有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对
29、随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。1 1、随机变量的分布函数、随机变量的分布函数（1 1）离散型随机变量的分布率）离散型随机变量的分布率-10-设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概
30、率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：LLLL,|)(2121kkkpppxxxxXPX=。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，L,2,1=k，（2）=11kkp。例 21：投骰子，出现偶数的概率？例 22：4 黑球，2 白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令 X()为“取白球的数”，求 X 的分布律。例 23：若干个容器，每个标号 13，取出某号容器的概率与该号码成反比，令 X()表示取出的号码，求 X的分布律。（2 2）分布函数）分布函数对于非离散型随机变量，通常有0)(=xXP，不可能用分布率表达。例如日光灯管的寿命X，0)(0=xXP。所以我们考虑用X落在某个区间,(ba
31、内的概率表示。定义定义设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF=称为随机变量 X 的分布函数。)()()(aFbFbXaP=可以得到 X 落入区间,(ba的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量 X 随机取值的统计规律性。分布函数)(xF是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（，x内的概率。)(xF的图形是阶梯图形，L,21xx是第一类间断点，随机变量X在kx处的概率就是)(xF在kx处的跃度。分布函数具有如下性质：1,1)(0 xF+x；2)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；30)(lim)(=xFFx，1)(lim)(=+xFFx；4)()
32、0(xFxF=+，即)(xF是右连续的；5)0()()(=xFxFxXP。例 24：设离散随机变量X的分布列为214181812,1,0,1，PX，-11-求X的分布函数，并求)21(XP，)231(XP，)231(XP。例 25：设随机变量X的分布函数为+=0001)(xxxAxxF其中A是一个常数，求（1）常数A（2）P（1X2）（3 3）连续型随机变量的密度函数连续型随机变量的密度函数定义 设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有=xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。)(xf的图形是一条曲
33、线，称为密度（分布）曲线。由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(xF是连续函数。所以，)()()()()()(1221212121xFxFxXxPxXxPxXxPxXxP=密度函数具有下面 4 个性质：10)(xf。2+=1)(dxxf。1)()(=+dxxfF的几何意义；在横轴上面、密度曲线下面的全部面积等于 1。如果一个函数)(xf满足 1、2，则它一定是某个随机变量的密度函数。3)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf。4若)(xf在x处连续，则有)()(xfxF=。dxxfdxxXxP)()(+它在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP=)(在离散型随机变量理论
34、中所起的作用相类似。)(),(,独立性古典概型，五大公式，APAE)()()()(xXPxFxXX=对于连续型随机变量X，虽然有0)(=xXP，但事件)(xX=并非是不可能事件。+=+=hxxdxxfhxXxPxXP)()()(令0h，则右端为零，而概率0)(=xXP，故得0)(=xXP。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而-12-概率为 1 的事件也不一定是必然事件。例 26：随机变量 X 的概率密度为 f(x)，=其他,010,)(xxAxf，求 A 和 F(x)。例 27：随机变量X的概率密度为=0 0 0 21)(232xxe
35、xxfxf求X的分布函数)(xF和)42(XP2 2、常见分布、常见分布0 01 1 分布分布P(X=1)=p,P(X=0)=q例如树叶落在地面的试验，结果只能出现正面或反面。二项分布二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0L。knkknnqpkPkXPC=)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1L=，L2,1,0=k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个
36、数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。例 29：某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.001，若独立地射击 5000 次，试求射中的次数不少于两次的-13-概率，用泊松分布来近似计算。超几何分布超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM=L随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布。例 210：袋中装有个白球及个黑球，从袋中任取 a+b 个球，试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。babaCCC+（非重复排列）例 211：袋中装有个白球及个黑球，从袋中连续地取 a+b 个球（不放回），试求其中含 a 个白球，b 个黑球的
37、概率（a，b）。babababaPPCC+（非重复排列）例 212：袋中装有个白球及个黑球，从袋中连续地取 a+b 个球（放回），试求其中含 a 个白球，b 个黑球的概率（a，b）。ababaC+)()(（重复排列）几何分布几何分布L,3,2,1,)(1=kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布。例 213：5 把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？第一次打开；第二次打开；第三次打开。均匀分布均匀分布设随机变量X的值只落在a，b内，其密度函数)(xf在a，b上为常数 k，即=,0,)(kxf其他，其中 k=ab1，则称随机变量X
38、在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为=xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时，X 落在区间（21,xx）内的概率为0，xb。axb-14-P(=，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为记住几个积分：,10=+dxxex,202=+dxexx)!1(01=+ndxexxn+=01)(dxexx，)()1(=+5432 考研论坛（）友情提供下载例 215：一个电子元件的寿命是一个随机变量X。它的分布函数)(xF的含义是，该电子元件的寿命不超过x的概率。通常我们都假定电子元件的寿命服从指数分布。试证明服从指数分布的随机变量具有“无记忆性”：)()|(000
39、xXPxXxxXxP+。正态分布正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(=xexf，+为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1)(xf的图形是关于=x对称的；2当=x时，21)(=f为最大值；3)(xf以ox轴为渐近线。特别当固定、改变时，)(xf的图形形状不变，只是集体沿ox轴平行移动，所以又称为位置参数。当固定、改变时，)(xf的图形形状要发生变化，随变大，)(xf图形的形状变得平坦，所以又称为形状参数。若),(2NX，则X的分布函数为=)(xf,xe0 x,0,0 x,=)(xF,1xe0 x,0 x0。-
40、15-dtexFxt=222)(21)(。参数0=、1=时的正态分布称为标准正态分布，记为)1,0(NX，其密度函数记为2221)(xex=，+x，分布函数为dtexxt2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(x)和(x)的性质如下：1(x)是偶函数，(x)(-x)；2当 x=0 时，(x)21为最大值；3(-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0(N。所以我们可以通过变换将)(xF的计算转化为)(x的计算，而)(x的值是可以通过查表得到的。=1221)(xxxXxP。分位数的定义。例 216：设)4,1(NX，求)2.75(XP，)6.10(c
41、)=2P(Xc)。例 217：某人需乘车到机场搭乘飞机，现有两条路线可供选择。第一条路线较短，但交通比较拥挤，到达机场所需时间 X（单位为分）服从正态分布 N（50，100）。第二条路线较长，但出现意外的阻塞较少，所需时间 X 服从正态分布 N（60，16）。（1）若有 70 分钟可用，问应走哪一条路线？（2）若有 65 分钟可用，又应选择哪一条路线？3 3、随机变量函数的分布、随机变量函数的分布随机变量Y是随机变量X的函数)(XgY=，若X的分布函数)(xFX或密度函数)(xfX知道，则如何求出)(XgY=的分布函数)(yFY或密度函数)(yfY。（1 1）X是离散型随机变量是离散型随机变量
42、已知X的分布列为LLLL,)(2121nnipppxxxxXPX=，显然，)(XgY=的取值只可能是LL),(,),(),(21nxgxgxg，若)(ixg互不相等，则Y的分布列如下：LLLL,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY=，若有某些)(ixg相等，则应将对应的iP相加作为)(ixg的概率。-16-例 218：已知随机变量X的分布列为31,31,312,1,0PX，求2XY=的分布列。（2 2）X是连续型随机变量是连续型随机变量先利用 X 的概率密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。例 219：已知随
43、机变量0,则 A=。例 222：)()(21xfxf+是概率密度函数的充分条件是：（1）)(),(21xfxf均为概率密度函数（2）1)()(021+xfxf例 223：一个不懂英语的人参加 GMAT 机考，假设考试有 5 个选择题，每题有 5 个选项（单选），试求：此人答对 3 题或者 3 题以上（至少获得 600 分）的概率？例 224：设随机变量 XU（0，5），求方程02442=+XXxx有实根的概率。例 225：设随机变量 X 的概率密度为=其他,06,3,92 1,0,31)(xxxf其使得32)(=kXP，则 k 的取值范围是。例 226：已知某种电子元件的寿命（单位：小时）服从
44、指数分布，若它工作了 900 小时而未损坏的概率是9.0e，则该种电子元件的平均寿命是-17-A 990 小时B 1000 小时C 1010 小时D 1020 小时例 227：设随机变量 X 的概率密度为：)(,21)(|+=xexx则其分布函数F(x)是（A）=.0,1,0,21)(xxexFx（B）=.0211,0,21)(xexexFxx（C）=.0,1,0,211)(xxexFx（D）0，且 P(x)=21，则？2 2、函数分布、函数分布例 230：设随机变量 X 具有连续的分布函数 F(x)，求 Y=F（X）的分布函数 F（y）。（或证明题：设 X 的分布函数 F(x)是连续函数，证
45、明随机变量 Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。）例 231：设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则 Y=-2lnF(X)的概率分布密度函数fY(y)=.例 232：设 XU2,2，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函数 f(y)。例 233：设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量Y=minX,2的分布函数（A）是连续函数（B）至少有两个间断点（C）是阶梯函数（D）恰好有一个间断点-18-第三章第三章二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布第一节第一节基本概念基本概念1 1、二维随机变量的基本概念、二维随机变量的基本概念（1 1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布）二维
46、离散型随机变量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y）时，则称为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y）（X=xY=y）设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(L=jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(L=jipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2yjpix1p11p12p1jp1x2p21p22p2jp2MMMMMMxipi1piMMMMMMpjp1p2pj1这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i
47、,j=1,2,）；（2）.1=ijijp对于随机向量（X，Y），称其分量 X（或 Y）的分布为（X，Y）的关于 X（或 Y）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了 X 为离散型，并且其联合分布律为),2,1,(),(),(L=jipyxYXPijji，则 X 的边缘分布为),2,1,()(L=jipxXPPijjii；Y 的边缘分布为),2,1,()(L=jipyYPPijiii。例 31：二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为YX-1
48、012p116100061-19-2616106121300616131pj316161311（2 2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量),(YX=，如果存在非负函数),)(,(+yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有=DdxdyyxfDYXP,),(),(则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)0;（2）+=.1),(dxdyyxf一般来说，当（X，Y
49、）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为 f(x,y)，则 X 和 Y 的边缘分布密度为.),()(),()(+=dxyxfyfdyyxfxfYX，注意：联合概率分布边缘分布例 32：设（X，Y）的联合分布密度为=+其他,0,0,0,),()43(yxCeyxfyx试求：（1）常数 C；（2）P0X1,0YyfxfYX分别为 X，Y 的边缘分布密度。例 33：设二维随向量（X，Y）的联合分布为XY0.40.820.150.0550.300.1280.350.03求（1）X 与 Y 的边缘分布；（2）X 关于 Y 取值 y1=0.4 的条件分布；（3）Y 关于 X 取值 x2=5 的条件分布。（
50、4 4）常见的二维分布）常见的二维分布均匀分布均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为=其他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y1D1O1x图 3.1y1O2x图 3.2ydD21D3-21-cOabx图 3.3例 34：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域 D 上服从均匀分布，其中,1|,1|:|),(+=yxyxyxD求 X 的边缘密度 fX(x)画线观察积分上下限。正态分布正态分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(22221212112