【2015年考研数学】强力推荐!概率论与数理统计基础班内.pdf

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1、概率论与数理统计分阶精讲精练讲义 概率论与数理统计分阶精讲精练讲义 目目 录录 第一讲 随机事件与概率.1 第二讲 一维随机变量及其概率分布.8 第三讲 二维(n 维)随机变量及其概率分布.14 第四讲 随机变量的数字特征.24 第五讲 大数定律与中心极限定理.29 第六讲 数理统计.31 综合例题分析.40 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/1 .第一讲第一讲 随机事件与概率随机事件与概率 1.1 随机试验与随机事件 随机试验与随机事件 1随机试验与随机事件 随机试验与随机事件 称一个试验为随机试验，如果(1)试验可以在相同的条

2、件下重复进行；(2)试验所有可能结果是明确可知道的，并且不止一个；(3)每一次试验会出现哪一个结果事先不能确定【评注】【评注】我们是通过研究随机试验来研究随机现象的，为方便起见，将随机试验简称为试验，并用字母 E 或 E1，E2，表示 在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母 A，B，C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为 每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为 随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为 每次试验能且只能发生一个基本事件 基本事件(或样本点)的全体称为基本事件空间(或样本空间)，记为，即，

3、随机事件 A 总是由若干个基本事件组成，即 A 是 的子集，A事件A 发生等价于构成 A 的基本事件有一个发生 在不少情况下，我们不能确切知道某一随机试验的全部可能结果，但可以知道它不超出某个范围这时，也可以用这个范围来作为该试验的全部可能结果例如我们需要记录某个城市一天的交通事故数量，则试验结果将是非负数 x我们无法确定 x 的可能取值的确切范围，但可以把这范围取为0，)，它总能包含一切可能的试验结果，尽管我们明知，某些结果，如 x10000，是不会出现的，我们甚至可以把这范围取为(，)也无妨这里就有了一定的数学抽象，它可以带来很大的方便 2随机事件的关系与运算 随机事件的关系与运算 如果事

4、件 A 发生必导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A(或 A 被 B 包含)，记为BA如果BA且AB，则称事件 A 与 B 相等，记为 ABA 与 B 相等，事实上也就是说，A 与 B 由完全同一的一些试验结果构成，它不过是同一件事表面上看来不同的两个说法而已 若两事件 A，B 不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互斥的，如果一些事件中任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，或简称互斥的，互斥事件的一个重要情况是“对立事件”称“事件 A 与 B 至少有一个发生”的事件为事件 A 与 B 的并(或和)，记为 AB，称“有限个(或可列个)事件 A1，A2，An至少有一个

5、发生”的事件为事件 A1，A2，An的并(或和)，记为iniA1或iiA1；称“事件 A 与 B 同时发生”的事件为事件 A 与 B 的交(或积)，记为 AB 或 AB，称“有限个(或可列个)事件 A1，A2，An，同时发生”的事件考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/2 为事件 A1,，An的交(或积)，记为iniA1或iiA1称“事件 A 发生而事件 B 不发生”的事件为事件 A 与 B 的差，记为 AB；称“事件 A 不发生”的事件为事件 A 的逆事件或对立事件，记为A由定义易知BAABABA，BAABAB且称可列个(或有限个)

6、事件 A1，A2，An构成一个完备事件组(或 的一个不交分割)，如果iiA，且jiAA(一切 ij)事件的关系、运算与集合的关系、运算相当，且具有相同的运算法则：吸收律：若BA，则 ABB，ABA；交换律：ABBA，ABBA；结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)；分配律：A(BC)ABAC，ABC(AB)(AC)；A(BC)ABAC；对偶律：.,BABABABA【评注】【评注】(1)事件运算顺序约定为先进行逆运算，而后交运算，最后并或差(2)事件的关系、运算及其法则，在分析事件，化简事件运算以及对事件作必要的等价变换时常常要用到要学会用概率论语言来叙述事件，用简单的事件的运算，关

7、系表示或化简较复杂的事件(3)在分析和讨论事件关系时，常常借助于图示法，既直观又简便(4)正确的理解事件的关系：包含、相等、互不相容、对立、相互独立的概念、等价性条件、区别与联系 1.2 随机事件的概率及其性质 随机事件的概率及其性质 通常我们将随机事件 A 发生可能性大小的度量(非负值)，称为事件 A 发生的概率，记为 P(A)这是概率的描述性定义 1概率的统计定义 概率的统计定义 在相同条件下做重复试验，事件 A 出现的次数 k 和总的试验次数 n 之比 k/n，称为事件A 在这 n 次试验中出现的频率。当试验次数 n 充分大时，频率将“稳定”于某常数 p 的“附近”。n 越大，频率偏离这

8、个常数 p 的可能性越小。这个常数 p 就被称为事件 A 的概率【评注】【评注】(1)概率的统计定义实质上是说，用频率 k/n 作为事件 A 的概率 P(A)的估计。其直观背景为：某事件出现的可能性大小，可由在多次重复试验中其出现的频率程度去刻画。(2)从上述(1)可以看出，频率只是概率的估计，而非概率本身。也就是说，概率的统计定义是无法准确给出某事件的概率的。其重要性主要基于以下两点：一，它提供了估计概率的方法，比如在一批产品中抽取样品，来估计该批产品的合格率(合格率是客观的数据，抽取样品计算出来的合格率，只是一种估计)；二，它提供了一种检验某结论是否正确的准则，比如你说某批产品的合格率是

9、95%，我们做实验，抽取样品进行计算，得出的结果，合格率是 20%，远远低于你所说的 95%这个数据，于是毫不犹豫地拒绝你的结论。2古典概率与几何概率 古典概率与几何概率 称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足(1)只有有限个基本事件(样本点)；(2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样如果古典概型的基本事件总数为 n，事件 A 包含 k 个基本事件，即有利于 A 的基本事件 k 个则 A 的概率定义为 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/3 基本事件总数所含基本事件的个数事件AnkAP)

10、(由上式计算的概率称为 A 的古典概率【例 1】假设袋中有 5 个球，3 白球 2 黑球（1）先后有放回取 2 球；（2）先后无放回取 2 球；（3）任取 2 球，求至少有一白球的总数.【例 2】假设袋中有 5 个球，3 白球 2 黑球（1）先后有放回取 2 球；（2）先后无放回取 2 球；（3）任取 2 球，求至少有一白球的概率.【例 3】假设袋中有 100 个球，40 个白球，60 个黑球（1）先后无放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率；（2）先后无放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率；（3）先后有放回取 20 个，求取到 15 个白球 5 个黑球的概率；（4

11、）先后有放回取 20 个，求第 20 次取到白球的概率.【例 4】将 n 个球随意放入 N()nN个盒子中，每个盒子可放任意多个球，求下列事件的概率：A=某指定 n 个盒子各有一球 B=恰有 n 个盒子各有一球 C=指定 k()kn个盒子各有一球【注】生日问题、住房分配问题、乘客下车问题等都可归结为此类问题进行处理.如：12 个人回母校参加百年校庆，求下列事件的概率：A=12 个人的生日分别为每个月的第一天 B=12 个人的生日全不相同 C=有且仅有三个人的生日分别在父亲节、母亲节、儿童节 称随机试验(随机现象)的概率模型为几何概型，如果(1)样本空间(基本事件空间)是一个可度量的几何区域；(

12、2)每个样本点(基本事件)发生的可能性都一样，即样本点落入 的某一可度量的子区域 A 的可能性大小与 A 的几何度量成正比，而与 A 的位置及形状无关 在几何概型随机试验中，如果 SA是样本空间 一个可度量的子区域，则事件 A“样本点落入区域 SA”的概率定义为 的几何度量的几何度量ASAP)(由上式计算的概率称为 A 的几何概率【评注】【评注】基本事件有限、等可能的随机试验为古典概型；基本事件无限、等可能的随机试验为几何概型【例 5】在区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于 65的概率为 .3概率的公理化定义 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y

13、 a n.c o m/4 设随机试验的样本空间为，如果对每一个事件 A 都赋于一个确定的实数 P(A)，且事件函数 P()满足(1)非负性：P(A)0；(2)规范性：P()1；(3)可列可加性：对任意可列个互不相容事件 A1，A2，An，(即 AiAj，ij)有)()(11iiiiAPAP，则称 P()为概率，P(A)为事件 A 的概率【评注】【评注】数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提，上述公理化定义只是介定了概率这个概念所必须满足的一些一般性质，它不解决具体场合下的概率计算 概率 P()是事件的函数 4概率的基本性质(1)有界性 0P(A)1，P()0，P()1(2)单调性

14、若 AB，则 P(A)P(B)(3)有限可加性 设 A1，A2，An是两两互不相容的事件，则11()()nniiiiPAP A(4)加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(AB C)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)一般地1111()()()()nniiijijkiij nij k niPAP AP AAP AA A (1)n1P(A1A2An)(5)减法公式 P(AB)P(A)P(AB)(6)求逆公式 ).(1)(APAP 【评注】【评注】P(A)0，不能断言 A；P(B)1，不能断言 B 1.3 条件概率及与其有关的三公式：乘法公式、全概率公式、贝

15、叶斯(条件概率及与其有关的三公式：乘法公式、全概率公式、贝叶斯(Bayes)公式)公式 1条件概率 条件概率 设 A、B 为任意两个事件，若 P(A)0，我们称在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率为条件概率，记为 P(BA)，并定义)()()|(APABPABP (P(A)0).【评注】【评注】(1)条件概率 P(A)是概率，概率的一切性质和重要结果对条件概率都适用，例如：),|(1)|(ABPABP)|(1)|(ABPACBP-P(BC|A)0，等等(2)条件概率就是附加一定的条件之下所计算的概率当说到“条件概率”时，总是指另外附加的条件，其形式可归结为“已知某事件发生了”2乘

16、法公式 如果 P(A)0，则 P(AB)P(A)P(BA)一般地，如果 P(A1An1)0，则 P(A1A2An)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1An1)考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/5 【评注】【评注】Ai先于 Ai1发生时用此公式 3全概率公式 如果0)(),(,1 ijiiniAPjiAAA，则对任一事件 B，有).|()()(,11iiniiniABPAPBPBAB 4贝叶斯(Bayes)公式(逆概公式)如果 0)(),(,1 ijiiniAPjiAAA，则对任一件事 B，只要 P(B)0，有),

17、2,1()|)()|()()|(1niABAPABPAPBAPiiniiii【评注】【评注】(1)要注意 P(AB)与 P(BA)的区别：P(AB)是在样本空间为 时，A 与 B 同时发生的可能性，而 P(BA)则是表示在 A 已经发生的条件下，B 发生的可能性，此时样本空间已由 缩减为 A，只要题目中有前提条件：“在 A 发生的条件下”或“已知 A 发生”等等，均要考虑条件概率(2)全概率公式是用于计算某个“结果”B 发生的可能性大小如果一个结果 B 的发生总是与某些前提条件(或原因、因素或前一阶段结果)Ai相联系，那么在计算 P(B)时，我们总是将 B 对 Ai作分解：BABii，应用全概

18、率公式计算 P(B)如果在 B 发生的条件下探求导致这一结果的 各种“原因”Ai发生的可能性大小 P(Ai B)，则要应用 Bayes 公式 1.4 随机事件相互独立与独立试验序列概型 随机事件相互独立与独立试验序列概型 1事件的独立性 事件的独立性(1)独立性定义 描述性定义(直观性定义)设 A、B 为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另外一个事件发生与否的影响，则称事件 A 与 B 相互独立设 A1，A2，An是 n 个事件，如果其中任何一个或几个事件发生的概率都不受其余的某一个或某几个事件发生与否的影响，则称事件 A1，A2，An相互独立 数学定义 设 A、B 为事件，如果 P

19、(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与 B 相互独立，简称为 A 与 B 独立 设 A1，A2，An为 n 个事件，如果对其中任意有限个事件 Ai1，Ai2，Aik(k2)，有 P(Ai1Ai2Aik)P(Ai1)P(Ai2)P(Aik)，则称 n 个事件 A1，A2，An相互独立(2)独立性的判定 1直观性判定：若试验独立其结果必相互独立例如：甲、乙各自试验结果相互独立；袋中有返回取球其结果相互独立等 2充要条件 1A1An相互独立任意 k2；).()(11ijkjijkjAPAP 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/6 特别

20、地 A、B 独立P(AB)P(A)P(B)若 0P(A)1，则 A、B 独立).()|()|(BPABPABP 2n 个事件相互独立的充要条件是，它们中任意一部分事件换成各自的对立事件所得到的 n 个事件相互独立 3必要条件 1n 个事件相互独立必两两独立，反之不然 2n 个事件相互独立，则不含相同事件的事件组经某种运算后所得的事件是相互独立的例如，A、B、C、D 相互独立，则 AB 与 C D 相互独立，A 与 BC D 相互独立，等等 4一定独立与一定不独立的判定 概率为 1 或零的事件与任何事件都相互独立如果 0P(A)1，0P(B)1，A 与 B互不相容或存在包含关系，则 A 与 B

21、不相互独立【评注】【评注】在现实生活中，难于想像两两独立而不相互独立的情况，可以这样想：独立性毕竟是一个数学概念，是现实世界中通常理解的那种“独立性”的一种数学抽象，它难免会有些不尽人意的地方【例 6】将一枚硬币独立掷两次，A1=掷第一次出现正面，A2=掷第二次出现正面，A3=正反面各出现一次，A4=正面出现两次，则（）（A）A1，A2，A3相互独立 （B）A2，A3，A4相互独立（C）A1，A2，A3两两独立 （D）A2，A3，A4两两独立 2试验的独立 试验的独立 如果各个试验结果是相互独立的，则称这些试验是相互独立的例如，称随机试验 E1和 E2是相互独立的，如果对 E1的任一结果 A1

22、，E2的任一结果 A2，事件 A1与 A2独立，即P(A1A2)P(A1)P(A2)称 n 个试验 E1，E2，En是相互独立的，如果对试验 Ei中的任一结果 Ai(i1，2，n)，事件 A1，A2，An相互独立即对其中任意 k 个事件有)2)()(11kAPAPijkjijkj 3独立试验序列概型与独立试验序列概型与 n 重贝努利概型（放到第二章中讲）重贝努利概型（放到第二章中讲）在同样条件下重复独立地进行一系列完全相同的试验，即每次试验结果及其发生的概率都不变，各次试验是相互独立的，称这种重复试验序列的数学模型为独立试验序列概型如果每次试验只有两个结果 A 与A，且在每次试验中 A 发生的

23、概率都相等(即 P(A)p)，将这种试验独立重复 n 次，则称这种试验为 n 重贝努利概型 在 n 重贝努利概型中，事件 A 发生 k 次(只管次数，不论位置)的概率为0()1(kppCknkkn，1，n)，如果用 X 表示 n 重贝努利概型中事件 A 发生的次数，则 X 服从二项分布 B(n，p)【评注】【评注】(1)事件相互独立的概念是概率论中一个重要的概念，它是定义随机试验独立性，随机变量独立性的基础我们总是由试验的方式来判定试验的独立性，进而判定事件的相互独立性，再应用事件独立性定义中所揭示的概率关系计算与之有关的事件的概率(2)要善于判定独立试验序列概型，只要题目中出现“将重复进行

24、n 次”，“对重复观察 n 次”等字样，或可以转换为 n 次独立重复试验概型的问题，都是要考虑应用二项分布计算与之有关的事件的概率 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/7 典型例题精解 典型例题精解【例 1】有两名选手比赛射击，轮流独立对同一目标射击。甲命中的概率为，乙命中的概率为，甲先射击，谁先命中谁取胜，求甲、乙获胜的概率分别是多少？【例 2】假设某彩票每周开奖一次，中奖机会为十万分之一，且各周开奖相互独立。某人每周买一次彩票，坚持十年（每年 52 周），则他从未中奖的概率为多少？【例 3】假设有 10 份报名表，3 份女生报名

25、表，7 份男生报名表。现从中每次任取一份，取后不放回，求下列事件的概率：（1）第三次取到女生报名表的概率；（2）第三次才取到女生报名表的概率；（3）已知前两次没有取到女生报名表，第三次取到女生报名表的概率.【例 4】假设甲、乙两名射击手，甲命中的概率为 0.6，乙命中的概率为 0.5，求（1）甲、乙中任选一人去射击；（2）甲、乙各自独立去射击；若目标命中，则是甲命中的概率为多少？考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/8 第二讲第二讲 一维随机变量及其概率分布一维随机变量及其概率分布 2.1 基本概念与常用分布 基本概念与常用分布 1随

26、机变量的定义 随机变量的定义 随机变量就是“其值随机会而定”的变量设随机试验 E 的样本空间为，如果对每一个，都有唯一的实数 X()与之对应，并且对任意实数 x，：X()x是随机事件，则称定义在 上的实单值函数 X()为随机变量简记为随机变量 X一般用大写字母 X，Y，Z或希腊字母，来表示随机变量【评注】【评注】随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，如高等数学中常量与变量的区别与联系 2随机变量的分布函数 2随机变量的分布函数(1)定义 设 X 是随机变量，x 是任意实数，称函数 F(x)=PXx(xR)为随机变量 X的分布函数，或称 X 服从分布 F(x)，记为

27、 XF(x)(2)充分必要条件 函数 F(x)为某一随机变量 X 的分布函数的充要条件是 1 F(x)是 x 的单调不减函数，即对任意 x1x2，有 F(x1)F(x2)；2 F(x)是 x 的右连续函数，即对任意 x0R，有000lim()()()=0 xxF xF xF x；3()lim()0,()lim().=1xxFF xFF x 【评注】【评注】务必记住分布函数是事件的概率由此知 0F(x)1，即 F(x)是有界函数 3离散型随机变量及其概率分布 离散型随机变量及其概率分布 如果随机变量 X 只可能取有限个或可列个值 x1，x2，则称 X 为离散型随机变量，称piP(Xx1)，i1，

28、2，为 X 的分布列、分布律或概率分布，记为 Xpi概率分布常常用表格形式或矩阵形式表示，即或2121ppxxX 数列pi：i1，2，是离散型随机变量概率分布的充要条件是 pi0(i1，2，)且.1iip 设离散型随机变量 X 的概率分布为 piP(Xxi)，则 X 的分布函数)()()(ixxxXPxXPxFi piP(Xxi)P(Xxi)-P(Xxi)F(xi)-F(xi0)并且对实数轴上的任一集合 B 有)()(iBxxXPBXPi 4连续型随机变量及其概率密度 连续型随机变量及其概率密度 如果随机变量 X 的分布函数可以表示为)R(d)()(xttfxFx 考研论坛考研论坛考研人的精神

29、家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/9 其中 f(x)是非负可积函数，则称 X 为连续型随机变量，称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数，记为 Xf(x)f(x)为某一随机变量 X 概率密度的充要条件是，f(x)0 且1d)(xxf(由此可知，可以改变 f(x)有限个点的值，f(x)仍然是密度函数)设 Xf(x)，则 X 的分布函数 F(x)是 x 的连续函数；在 f(x)的连续点 x0处有 F(x0)f(x0)；如果 F(x)是连续函数，除有限个点外，F(x)存在且连续，则 X 为连续型随机变量，且 f(x)F(x)(在 F(x)不存在

30、地方可以令 f(x)0 或取其他值)设 X 为连续型的，即 Xf(x)，则对任意实数 c 有 P(Xc)0；对实数轴上任一集合 B有.d)()(xxfBXPB 特别是 P(aXb)P(aXb)P(aXb)()()d()().baP aXbf xxF bF a【评注】【评注】(1)“密度函数”这名词的来由可解释如下，取定一个点 x，则按分布函数的定义，事件xXxh的概率(h0 为常数)，应为 F(xh)F(x)所以，比值F(xh)F(x)/h 可以解释为在 x 点附近 h 这么长的区间(x，xh)内，单位长所占有的概率令 h0，则这个比的极限，即 F(x)f(x)，也就是在 x 点处(无穷小区段

31、内)单位长的概率，或者说，它反映了概率在 x 点处的“密集程度”你可以设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为 1，概率密度相当于杆上各点的质量密度(2)baxxfbXaPd)()(意味着 X落入某一区间的概率等于该区间之上、密度函数之下曲边梯形的面积，应用概率的这种几何意义，常常有助于问题的分析与求解 5常见的离散型、连续型分布 常见的离散型、连续型分布(1)01 分布 B(1，p)如果 X 的概率分布为 PPX101即 P(X1)p，P(X0)1p，则称 X 服从参数为 p 的 01 分布，记为 XB(1，p)(0p1)(2)二项分布 B(n，p)如果 X 的概率分布为()(1),0,1,0

32、1kkn kknpP XkC ppknp，则称 X 服从参数为(n，p)的二项分布，记为 XB(n，p)【评注】【评注】如果 X 是 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数，则 XB(n，p)，其中 pP(A)这个结论在解题中我们要经常用到 泊松定理，若 XB(n，p)，当 n 很大，p 很小，np 适中时，二项分布可用泊松分布近似，即(1)e.!kkkn knC ppk(3)泊松分布 P()如果 X 的概率分布为()e,0,1,0!kkpP Xkkk，则称 X 服从参数为 的泊松分布，记为 XP()考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o

33、m/10 (4)几何分布 G(P)如果 X 的概率分布为 pkP(Xk)qk1p，k1，2，0p1，q1p，则称 X服从参数为 p 的几何分布，记为 XG(p)(5)超几何分布 H(N，M，n)如果 X 的概率分布为nNMnMkCCCkXPpnNknMNkMk,),min(,1,0,)(为正整数，则称 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，记为 XH(N，M，n)(6)均匀分布 U(a，b)如果 X 的概率密度或分布函数为,0,1)(其他bxaabxf 或,1,0)(xbbxaabaxaxxF 则称 X 在区间(a，b)上服从均匀分布，记为 XU(a，b)【评注】【评注】区间(a，b)，可

34、以是闭区间a，b；几何概型是均匀分布的实际背景用几何概率计算事件概率时已假设点在区域内服从均匀分布几何概率可以用均匀分布计算(7)指数分布 E()如果 X 的概率密度或分布函数为 e,0()0,0 xxf xx或1e,0()(0)0,0 xxF xx F(x)则称 X 服从参数为 的指数分布，记为 XE()(8)正态分布 N(，2)如果 X 的概率密度)(e21)(2)(21xxfx 其中，0，则称 X 服从参数为(，2)的正态分布或称 X 为正态变量，记为 XN(，2)此时 f(x)图形关于直线 x 对称，即 f(x)f(x)，并在 x 处有唯一最大值21)(f 称 0，1 的正态分布 N(

35、0，1)为标准正态分布，通常记标准正态分布密度函数为)(x2121e2x，分布函数为(x)显然(x)为偶函数，).(1)(,21)0(xx 若 XN(0，1)，()P(X)，则称 为标准正态分布下 分位数如果 XN(，2)，则其分布函数 1)()();()()(xFxFxxXPxF)()()(abbXaP aXbN(ab，a22)(a0)考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/11 注意：“分布”两字在离散型随机变量场合泛指概率分布或分布函数；对连续型则泛指概率密度或分布函数；一般地则是指分布函数二项分布，泊松分布与正态分布是概率中最重

36、要的三个分布 2.2 分布的讨论 分布的讨论【例 1】设12,X X相互独立且为连续型随机变量，概率密度分别为1()f x，2()fx，分布函数分别为1()F x，2()F x，则（）（A）12()()f xfx必为某一随机变量的概率密度（B）12()()f x fx必为某一随机变量的概率密度（C）12()()F xF x必为某一随机变量的分布函数（D）12()()F x F x必为某一随机变量的分布函数【例 2】设12,X X的分布函数分别为1()F x，2()F x，为使12()()()F xaF xbF x是某一随机变量的分布函数，则,a b的取值为（）（A）32,55ab （B）22,

37、33ab（C）13,22ab （D）13,22ab 【例 3】（1）设随机变量X的概率密度为34,01,()0,xxf x其他 若()()P XaP Xa，求a.（2）设随机变量X的概率密度为21()2()xf xAe，求A.【例 4】设随机变量X的概率密度为1,01,32(),36,90,xf xx其他 若k使得2()3P Xk，求k的取值范围为 .2.3 抽象问题求分布 抽象问题求分布【例 1】已知随机变量 X 的概率分布为 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/12 k 1 2 3()P Xk 2 2(1)2(1)且3(2)4P

38、 X，求未知参数及 X 的分布函数 F(x).【例 2】已知随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度函数为 f(x).当0 x 时，f(x)连续且 f(x)=F(x)，若 F(0)=1，求 F(x)，f(x).【例 3】设随机变量 X 的绝对值不大于 1，1(1)8P X ，1(1)4P X，在事件(11)X 发生的条件下 X 在(1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X 的分布函数 F(x).2.4 具体问题求分布 具体问题求分布【例】设一设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t)服从参数为t的泊松分布（）求相继两次故障之间间隔时间 T 的分布；（）

39、求在设备已经无故障工作 8 小时的条件下，再无故障工作 8 小时的概率.2.5 利用分布求概率及逆问题 利用分布求概率及逆问题【例 1】设随机变量 X 的概率密度为2,01,()0,xxf x其他 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观测中，事件12X出现的次数，则(2)P Y .【例 2】设2(,)(0)XN，且二次方程240yyX无实根的概率为12，则 .2.6 随机变量函数的分布 随机变量函数的分布【例 1】设随机变量 X 的概率密度为21()(1)Xfxx，31YX，求 Y 的概率密度()Yfy.【例 2】设(2)XE，21XYe，求 Y 的概率密度()Yfy.【例 3】设随机变量 X

40、的概率密度为321,1,8()30,xf xx其他()XFx是 X 的分布函数，求()XYFx的分布函数.【例 4】设0,XU，求sinYX的概率密度()Yfy.考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/13 【例 5】设随机变量 X 的概率密度为1,10,21(),02,40,Xxfxx 其他，2YX，求()Yfy.考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/14 第三讲第三讲 二维二维(n 维维)随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 3.1 二维(二维(n 维)随机变量及其分布

41、函数 维)随机变量及其分布函数 1二维(二维(n 维)随机变量的定义 维)随机变量的定义 如果 X，Y 是定义在同一个样本空间 上的二个随机变量，则称二元总体(X，Y)为二维随机变量(或二维随机向量)如果 X1，X2，Xn是定义在同一样本空间 上的 n 个随机变量，则称 n 元总体(X1，X2，Xn)为 n 维随机变量或 n 维随机向量Xi称为第 i 个分量 2二维(二维(n 维)随机变量的分布函数与边缘(边际)分布函数 维)随机变量的分布函数与边缘(边际)分布函数(1)定义 设(X，Y)为二维随机变量，对任意的实数 x，y，称二元函数 F(x，y)=PXx，Yy(x，y)R2 为二维随机变量

42、(X，Y)的联合分布函数，简称为分布函数，记为(X，Y)F(x，y)同理，对任意的 n 个实数 x1，x2，xn，称 n 元函数 F(x1，x2，xn)=PX1x1，X2x2，Xnxn为 n 维随机变量(X1，X2，Xn)的联合分布函数【评注】【评注】注意 F(x，y)是事件 AXx当 BYy同时发生的概率，因此 0F(x，y)1，更为重要的是，可以利用概率及其有关的性质、公式求分布函数，讨论分布函数的性质等等(2)充分必要条件 二元函数 F(x，y)是某一二维随机变量(X，Y)分布函数的充要条件是：1F(x，y)是 x 或 y 单调不减函数，即当 x1x2时，F(x1，y)F(x2，y)，当

43、 y1y2时，F(x，y1)F(x，y2)2F(x，y)是 x 或 y 的右连续函数，即 000lim(,)(0,)(,);xxF x yF xyF xy 000lim(,)(,0)(,).yyF x yF x yF x y 3 F(，y)F(x，)F(，)0，F(，)1 4 对任意 x1x2，y1y2有 F(x2，y2)F(x2，y1)F(x1，y2)F(x1，x2)0(3)边缘(边际)分布函数 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)，随机变量 X 与 Y 的分布函数 FX(x)与 FY(y)分别称为(X，Y)关于 X 和关于 Y 的边缘(边际)分布函数由概率性质得 FX(x

44、)P(Xx)P(Xx，Y),(limyYxXPy).,(),(limxFyxFy 同理，FY(y)F(，y)类似地可以讨论 n 维随机变量的边缘分布函数 3.2 常见的两类二维随机变量离散型随机变量与连续型随机变量 常见的两类二维随机变量离散型随机变量与连续型随机变量 1二维离散型随机变量及其概率分布 二维离散型随机变量及其概率分布 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/15 (1)定义与充要条件 如果二维随机变量(X，Y)只能取有限对值或可列对值(x1，y1)，(x1，y2)，(xn，yn)，则称(X，Y)为二维离散型随机变量称=(

45、,),1,2,iipP Xx Yyi j 为(X，Y)的概率分布或联合分布，记为(X，Y)pij联合分布常用矩阵形式或表格形式表示 (X，Y)(x1，y1)(x1，y2)(xi，yj)P(Xxi，Yyj)p11 p12 pij 数列pij：i，j1，2，是二维离散型随机变量概率分布的充要条件是 10,ijjiijpp且(2)联合分布函数、边缘分布、条件分布 1 联合分布函数 设(X，Y)的概率分布为 pij，则(X，Y)的联合分布函数 ijyyxxpyYxXPyxFji,),(它是左下角四分之一平面上(X，Y)所有可能值的概率的和 设 G 是平面上的某个区域，则 ijGyxPGYXPj),()

46、,(它表明：(X，Y)落入 G 的概率，等于(X，Y)在 G 内所有可能值的概率的和这是计算概率、求随机变量函数分布的重要公式 2 边缘分布 X、Y 的边缘分布分别为=,(1,2,)iiijijjjpP XxP Xx Yyp i=(1,2,)jiijipP Yypj 3 条件分布 如果(X，Y)pij，对固定 j，如果 pjP(Yyj)0，则称|,(|)=|ijX YijijjP Xx YypxyP Xx YyP Yy 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/16 ),2,1(ippjij 为 X 在“Yyj”条件下的条件分布 同理可定

47、义 Y 在“Xxi”条件下的条件分布),2,1()|(|jppxypiijijXY 2二维连续型随机变量及其联合密度函数 二维连续型随机变量及其联合密度函数(1)定义与充要条件 如果二维随机变量(X，Y)的联合分布函数 F(x，y)可以表示为 2),(dd),(),(RyxuufyxFyx 其中 f(x，y)是非负可积函数，则称(X，Y)为二维连续型随机变量，称 f(x，y)为(X，Y)的联合密度函数，简称为概率密度或密度，记为(X，Y)f(x，y)二元函数 f(x，y)是联合密度函数的充要条件是，f(xy)0，且.1dd),(yxyxf【评注】【评注】改变 f(x，y)的部分值(仍取非负的)

48、，f(x，y)仍然是密度函数(2)联合分布函数，边缘概率密度，条件概率密度 1 联合分布函数与联合密度函数 设(X，Y)的联合分布函数为 F(x，y)，联合密度函数为 f(x，y)，则 F(x，y)为(x，y)的二元连续函数，且 F(x，y)=PXx,Yy(,)d dxyf uu 设 G 为平面上某个区域，则 yxyxfGYXPGdd),(),(注意：这是计算概率，求随机变量函数分布的依据 在 f(x，y)连续点处，).,(),(2yxfyxyxF 如果 F(x，y)连续，可导，则(X，Y)是连续型的，yxyxF),(2是它的一个概率密度 2 边缘概率密度 设(X，Y)f(x，y)，则 X 的

49、边缘分布函数为 uufxFxFxxd d),(),()(所以 X 是连续型随机变量，其密度 yyxfxfXd),()(称 fX(x)为(X，Y)关于 X 的边缘概率密度 同理，Y 也是连续型随机变量，其密度为 考研论坛考研论坛考研人的精神家园h t t p:/b b s.k a o y a n.c o m/17 .d),()(xyxfyfY 3 条件概率密度 设(X，Y)f(x，y)，边缘密度 fX(x)0，则称)(),()|(|xfyxfxyfXXY为 Y 在“Xx”条件下的条件密度 同理可定义 X 在“Yy”下的条件密度).0)()(),()|(|yfyfyxfyxfYYYX 由上讨论知，

50、若 fX(x)0，fY(y)0，则有概率密度乘法公式 f(x，y)fX(x)fYx(y x)fY(y)fX Y(x y)4 条件分布函数 称d)(),(d)|()|(|yXyXYXYxfxfxfxyF 为 Y 在“Xx”条件下的条件分布函数 同理可定义 X 在“Yy”下的条件分布函数.d)(),(d)|(|)|(|uyfyufuyuYfyxFxYxXYX 3.3 随机变量的相互独立性 随机变量的相互独立性 1定义 定义 设二维随机变量(X，Y)联合分布函数为 F(x，y)，边缘分布函数分别为 FX(x)，FY(y)，如果对任意的实数 x，y 都有 F(x，y)FX(x)FY(y)(xR，yR)