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1、第2讲向量及其线性运算现在学习的是第1页，共12页一一 向量及其形式约定向量及其形式约定 定义定义：n个数 a1,a2,an 所组成的有序数组称为n n维向量维向量，这n个数称为该向量的n个分量分量，第i个数ai称为第i个分量。在形式上，n 维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量行向量和列向量列向量，对应于矩阵就是行矩阵行矩阵和列矩阵列矩阵。但要注意，虽然从向量的观点看，这两种形式没有质的差别，都表示n个数的有序数组，但从矩阵观点看，它们并一样。从使用的角度看，多数情形下，需要将向量写成列向量的形式，而将行的形式写成列向量的转置形式。第第2节节 向量及其运算向量及其运算现在学习的是第2
2、页，共12页 分量全为实数的向量称为实向量，全为复数的称为复向量。分量全部为数字0的向量称为零向量，在形式上仍用0来表述，且在不引起歧义的前提下一般不用写出其分量形式。如果两个n维向量对应的分量相等，则称这两个向量相等向量相等。在使用向量时，一般考虑同维的向量组，很少将不同维的向量混同处理。以下所说的向量均指同维的向量。现在学习的是第3页，共12页二二 向量的线性运算向量的线性运算1)加法运算加法运算显然加法满足1)结合律2)交换律，3)零向量作成加法的零元；4)且任一n维向量 都有负元,称之为该向量的负向量。记为现在学习的是第4页，共12页2）减法运算）减法运算3）数乘运算数乘运算 设 k
3、为一个数，数乘运算满足关于数量乘法的四条基本运算规则：现在学习的是第5页，共12页关于数乘运算，还有如下性质：向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。n 维向量的全体所组成的集合并考虑上面所定义的向量的加法及数乘运算，则称为n n维向量空间维向量空间。显然，在n维向量空间中，考虑的主要是向量之间的线性运算(加法、数乘)关系。现在学习的是第6页，共12页三三 向量组及向量的线性表示向量组及向量的线性表示 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做一个向量组向量组。例如一个 mn 矩阵的全体列向量是一个含 n 个 m 维列向量的向量组，称为矩阵A的列向量组，相应地，它的全体行向量是一个含 m 个 n 维行向量的向量组，称为A的行向量组。又如线性方程组 AX=0 的全体解是含有一个或无限多个 n 维列向量的向量组。现在学习的是第7页，共12页定义：给定向量组 对于任何一组数 表达式称为向量组 A 的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。现在学习的是第8页，共12页现在学习的是第9页，共12页四四 向量的线性表示与线性方程组的关系向量的线性表示与线性方程组的关系(线性方程组)定理：向量 b 能由向量组 A 表示的充分必要条件是上述线性方程组有解。现在学习的是第10页，共12页例：B=现在学习的是第11页，共12页从而可得方程的通解为：现在学习的是第12页，共12页