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1、高等数学 戴本忠第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算其次节其次节 数量积数量积 向量积向量积 *混合积混合积第三节第三节 曲面及其方程曲面及其方程第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程第五节第五节 平面及其方程平面及其方程第六节第六节 空间直线及其方程空间直线及其方程521高等数学 戴本忠数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数其次部分其次部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几
2、何与向量代数 522高等数学 戴本忠本章的主要内容本章的主要内容1空间直角坐标系 2向量代数 向量代数的基本概念：向量、空间一点的矢径、向量的模、单位向量、向量的方向余弦 向量的基本运算：向量的加减法、向量的数乘（实数与向量相乘）、向量的数量积（点乘、内积）、向量的向量积（叉乘、外积）向量的基本性质 3空间平面 平面方程：点法式、一般式、截距式。两平面间的关系、点到平面的距离 523高等数学 戴本忠本章的主要内容本章的主要内容4空间直线 直线方程：标准式、参数式、一般式、两点式。两直线间的关系、直线与平面的关系 5空间曲面 一般方程、柱面方程、旋转曲面方程、常见的二次曲面 6空间曲线 一般方程
3、、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线 524高等数学 戴本忠难点1.向量积与混合积 2.分析建立轨迹方程应满足的条件3.利用向量积、平面束等学问解题 4.熟悉截痕法用于画出方程所表示的图形 525高等数学 戴本忠四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其线性运算 第七七章 526高等数学 戴本忠教学目的了解向量的概念，驾驭向量的加减法运算及向量与数的乘法运算及性质；了解向量在轴上的投影，向量的重量及向量的坐
4、标，向量的模及方向余弦的坐标表示式；了解空间直角坐标系的概念，驾驭空间的点与三元有序数组之间的一一对应关系。527高等数学 戴本忠基本要求完成向量的加法及向量与数的乘法运算的有关练习，给定两非零向量能用几何方法快速作出他们的差；了解坐标面上的点，坐标轴上的点，关于坐标面对称的点，关于坐标轴对称的点，关于原点对称的点的特征。会用向量的坐标进行向量的加、减法运算。会用向量的坐标计算向量的数乘、模，方向余弦，给定一个非零向量会求与其同方向的单位向量等。528高等数学 戴本忠留意事项熟悉概念：向量，向径，自由向量，向量相等，向量的模，单位向量，零向量，两向量平行。驾驭向量的加法及向量与数的乘法运算；了
5、解一非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量。空间直角坐标系建立三维空间的最基本的几何元素点与有序数组之间的联系，从而可以用代数方法来探讨几何问题。对于向量的运算（加、减、数乘、模，方向余弦及将要学习的内积，向量积）就可以转换为向量的坐标之间的数的运算。529高等数学 戴本忠一、向量概念 既有大小 又有方向的量叫做向量 v向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示v向量的表示法 5210高等数学 戴本忠一、向量概念 既有大小 又有方向的量叫做向量 v向量 向量可用粗体字母、或加箭头的书写体字母表示 以A为起点、B为终
6、点的有向线段所表示的向量记作AB 向量用一条有方向的线段(称为有向线段有向线段)表示v向量的表示法 与起点无关的向量 称为自自由由向向量量 简称向量 自由向量 5211高等数学 戴本忠 假如向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.相等的向量经过平移后可以完全重合。向量的相等 5212高等数学 戴本忠向量的模 向量的大小叫做向量的模 单位向量 模等于1的向量叫做单位向量 零向量 零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是随意的.假如向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a=b.向量的相等 5213高等数学 戴本忠向量的平行 两个非零向量假如它
7、们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行 记作a/b a/b/c 零向量认为是与任何向量都平行 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线向量共线 共线向量与共面对量 5214高等数学 戴本忠向量的平行 两个非零向量假如它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行 记作a/b 零向量认为是与任何向量都平行 共线向量与共面对量 当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线 设有k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 假如k个终点和公共起点在一个平面上
8、就称这k个向量共面 5215高等数学 戴本忠二、向量的线性运算 设有两个向量a与b 平移向量 使b的起点与a的终点重合 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和 记作ab 即cab1.向量的加法 cab三角形法则平行四边形法则 5216高等数学 戴本忠向量的加法的运算规律 (1)交换律abba (2)结合律(ab)ca(bc)5217高等数学 戴本忠向量的减法 向量b与a的差规定为 bab(a)负向量三角不等式|ab|a|b|ab|a|b|等号在b与a同向或反向时成立 与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量 记为a 5218高等数学 戴本忠 当0时|a|0 即a为零向量 向量a
9、与实数的乘积记作a 规定a是一个向量 它的模|a|a|它的方向当0时与a相同 当2.向量与数的乘法 当1时 有(1)a a 当1时 有1aa 5219高等数学 戴本忠 (1)结合律(a)=(a)=()a;(2)安排律(+)a=a+a;(a+b)=a+b.向量与数的乘积的运算规律 向量的单位化 于是a|a|ea 当0时|a|0 即a为零向量 向量a与实数的乘积记作a 规定a是一个向量 它的模|a|a|它的方向当0时与a相同 当0时与a相反 2.向量与数的乘法 当1时 有(1)a a 当1时 有1aa 设a0 则向量 是与a同方向的单位向量 记为ea 5220高等数学 戴本忠 例1 形对角线的交点
10、 于是 解 由于平行四边形的对角线相互平分,所以 5221高等数学 戴本忠例例2 2 化简化简解解5222高等数学 戴本忠*例例3 3 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。一个三角形。证证ABCDEF5223高等数学 戴本忠 设向量a0 那么 向量b平行于a的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 ba v定理1(向量平行的充要条件)给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴Ox并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系 点P实数x 实数x称为轴上点P的坐标 v数轴与点的坐标 5224高等数学 戴本忠说明：三、空间直角坐标系 v空间直角坐标
11、系 y轴 z轴原点 x轴 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为Oxyz坐标系 (2)数轴的的正向通常符合右手规则 (1)通常把x轴和y轴配置在水平面上 而z轴则是铅垂线5225高等数学 戴本忠 在空间直角坐标系中 随意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 坐标面 三个坐标面分别称为xOy 面 yOz面和zOx面5226高等数学 戴本忠 在空间直角坐标系中 随意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面 坐标面 三个坐标面分别称为x
12、Oy 面 yOz面和zOx面卦限 坐标面把空间分成八个部分 每一部分叫做卦限 分别用字母I、II、III、IV等表示 5227高等数学 戴本忠面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有三个坐标面、三个坐标面、八个卦限八个卦限5228高等数学 戴本忠各卦限中点的坐标的特点各卦限中点的坐标的特点一一对应一一对应5229高等数学 戴本忠v向量的坐标分解式 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有5230高等数学 戴本忠v向量的坐标分解式 上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 任给向量r 存在点M及
13、xi、yj、zk 使 有序数x、y、z称为向量r的坐标 记作r(x y z)有序数x、y、z也称为点M的坐标 记为M(x y z)5231高等数学 戴本忠v向量的坐标分解式 上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 任给向量r 存在点M及xi、yj、zk 使 有序数x、y、z称为向量r的坐标 记作r(x y z)有序数x、y、z也称为点M的坐标 记为M(x y z)向量 称为点M关于原点O的向 径 5232高等数学 戴本忠 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有确定的特征 例如 点M在yOz面上 则x0 点M在zOx面上的点 y0 点M在xOy面上的点 z0
14、点M在x轴上 则yz0 点M在y轴上,有zx0 点M在z轴上的点 有xy0 点M为原点 则xyz0v坐标轴上及坐标面上点的特征5233高等数学 戴本忠提示：aaxiay jazk bbxiby jbzk ab (axbx)i(ayby)j(azbz)k ab (axbx)i(ayby)j(azbz)k a (ax)i(ay)j(az)k 设a(ax ay az)b(bx by bz)则 a(ax ay az)ab(axbx ayby azbz)四、利用坐标作向量的线性运算 5234高等数学 戴本忠 例4其中a(2 1 2)b(1 1 2).解 犹如解二元一次线性方程组 可得 x2a3b y3a
15、5b 以a、b的坐标表示式代入 即得 x2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10)y3(2 1 2)5(1 1 2)(11 2 16)设a(ax ay az)b(bx by bz)则 a(ax ay az)ab(axbx ayby azbz)5235高等数学 戴本忠v利用坐标推断两个向量的平行 设a(ax ay az)0 b(bx by bz)因为 b/a ba 即 b/a(bx by bz)(ax ay az)所以 b/a 设a(ax ay az)b(bx by bz)则 a(ax ay az)ab(axbx ayby azbz)5236高等数学 戴本忠 解 例5 已知两点A(x1 y
16、1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数1 这就是点M的坐标 由于 5237高等数学 戴本忠五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式 按勾股定理勾股定理可得 有|OP|x|OQ|y|OR|z|于是得向量模的坐标表示式5238高等数学 戴本忠1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r(x y z)作 则 设有点A(x1 y1 z1)和点B(x2 y2 z2)则(x2 y2 z2)(x1 y1 z1)(x2x1 y2y1 z2z1)于是点A与点B间的距离为 5239高等数学 戴本忠 例6 求证以M1(4 3 1)、M2(7 1 2)、M3(5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰
17、三角形 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r(x y z)作 则 设有点A(x1 y1 z1)和点B(x2 y2 z2)则所以|M2M3|M1M3|即DM1M2M3为等腰三角形|M1M3|2 6 (54)2(23)2(31)2 6 (57)2(21)2(32)2|M2M3|2 14 (74)2(13)2(21)2|M1M2|2 解 因为 5240高等数学 戴本忠 例7 在z轴上求与点A(4 1 7)和B(3 5 2)等距离的点 1.向量的模与两点间的距离公式 设向量r(x y z)作 则 设有点A(x1 y1 z1)和点B(x2 y2 z2)则即 (04)2(01)2(z7)2设所求的点为
18、M(0 0 z)解 依题意有|MA|2|MB|2 (30)2(50)2(2z)2 5241高等数学 戴本忠解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为5242高等数学 戴本忠 例9 已知两点A(4 0 5)和B(7 1 3)求与 方向相同的单位向量e 解 5243高等数学 戴本忠2.方向角与方向余弦 两个向量的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时 两个向量之间的不不超超过过 的的夹夹角角称为向量a与b的夹角 记作(ab)或(ba)假如向量a与b中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与之间随意取值 类似地 可以规定向量与一轴的夹角向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角空间两轴的夹角 5244
19、高等数学 戴本忠向量的方向角和方向余弦 非零向量r与三条坐坐标标轴轴正正向向的夹角、称为向量方向角 cos、cos、cos 称为向量r的方向余弦 设r(x y z)则显然 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r cos2cos2cos21 因此 5245高等数学 戴本忠 解 例10 5246高等数学 戴本忠3.向量在轴上的投影 设点O及单位向量e确定u轴 再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M 则向量 Prjur或(r)u 5247高等数学 戴本忠3.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影5248高等数学 戴本忠 向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三
20、条坐标轴上的投影 即 axPrjxa ayPrjya azPrjza 3.向量在轴上的投影 5249高等数学 戴本忠投影的性质（投影的性质（1 1）投影的性质（投影的性质（2 2）性质2 (ab)u(a)u(b)u(即Prju(ab)PrjuaPrjub)5250高等数学 戴本忠性质3 (a)u(a)u(即Prju(a)Prjua)5251高等数学 戴本忠六、小结六、小结1 1、向量的概念、向量的概念（留意与标量的区分）（留意与标量的区分）2 2、向量的线性运算、向量的线性运算3 3、空间点的坐标、向量的坐标、空间点的坐标、向量的坐标4 4、利用直角坐标作向量的线性运算、利用直角坐标作向量的线性运算5 5、向量的模、方向角、方向余弦、投影、向量的模、方向角、方向余弦、投影5252高等数学 戴本忠作业作业 P12 3,5,13,14,15,18,195253