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1、高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChin
2、a Institute of Industrial Relations向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：向量的方向：向量的方向：箭头的方向箭头的方向.一、向量的概念一、向量的概念或或|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或向量的大小：向量的大小：向量长度的值向量长度的值.模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量,其方向随意其方向随意.单位向量：单位向量：或或高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Insti
3、tute of Industrial Relations自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.向量平行：向量平行：k(2)k(2)个有公共起点的向量的个有公共起点的向量的k k个终点和起点在一个平面上个终点和起点在一个平面上.两个非零向量的方向相同或者相反两个非零向量的方向相同或者相反.k k个向量共面：个向量共面：高高 等等 数数 学学中国劳动
4、关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations二、向量的线性运算二、向量的线性运算1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）1.向量的加减法向量的加减法高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Indu
5、strial Relations向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations2.向量与数的乘法向量与数的乘法高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Re
6、lations数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）安排律：）安排律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations证证充分性明显；充分性明显；必要性必要性两式相减，得两式相减，得高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Instit
7、ute of Industrial Relations依据向量与数的乘积的规定，依据向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量个与原向量同方向的单位向量.点点POPxx=xi实数实数 x向量向量此定理是建立数轴的理论依据此定理是建立数轴的理论依据数轴：点、方向、单位长度数轴：点、方向、单位长度轴上点轴上点P的坐标为的坐标为x的充分必要条件是的充分必要条件是 .=xii1另外另外高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial Relation
8、sChina Institute of Industrial Relations例例1 1 化简化简解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations例例2 2 试用向量方法证明：对角线相互平分试用向量方法证明：对角线相互平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial
9、RelationsChina Institute of Industrial Relations例例3用向量的方法证明梯形两腰中点的连线用向量的方法证明梯形两腰中点的连线平行于底边且等于两底边之和的一半平行于底边且等于两底边之和的一半证证ABCDEF高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations例例4已知三个非零向量已知三个非零向量中任意两个向量中任意两个向量都不平行都不平行试证试证证证由题设由题设存在存在使使若不然若不然则则与题设
10、冲突与题设冲突故故高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系坐标轴坐标轴:取空间一个定点取空间一个定点O,O,作三作三条相互垂直的数轴，它们都以条相互垂直的数轴，它们都以O O 为原点且一般具有相同的长度单为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作位，这三条轴分别叫作 x x 轴轴(横横轴轴)、y y轴轴(纵轴纵轴)、z z轴轴(竖轴竖轴););点点O O叫作坐标原点叫作坐标原点(或原点
11、或原点).).通常取通常取x x轴、轴、y y轴水平放置；轴水平放置；z z轴竖直放轴竖直放置置,它们的正向符合右手法则它们的正向符合右手法则.Oxyz坐标系可坐标系可记作记作O；，坐标系坐标系横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations坐标面坐标面：空直角间坐标系中任两轴确定的平面：空直角间坐标系中任两轴确定的平面.xOy面、面、yOz面、面、xOz面面.卦限卦限：坐标
12、面将空间分为八个卦限，用字母：坐标面将空间分为八个卦限，用字母、表示表示.面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina I
13、nstitute of Industrial Relationszxoy这六个平面与这六个平面与 x,y,z轴分别相交于轴分别相交于向量在坐标轴上的分向量向量在坐标轴上的分向量高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations称有向线段称有向线段的值的值为向量为向量在在 x 轴上的投影轴上的投影有向线段有向线段的值的值为向量为向量在在 y 轴上的投影轴上的投影有向线段有向线段的值的值为向量为向量在在 z 轴轴 上的投影上的投影依次记作依
14、次记作即即xoy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations由图上可以看出由图上可以看出而而称为基本单位向量称为基本单位向量xoy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations向量在三个坐标轴上的分向量向量在三个坐标轴上的分向量向量的分解式向量的分解式向量在三个坐标轴上
15、的投影向量在三个坐标轴上的投影称为向量的坐标称为向量的坐标向量可用它的坐标表示为向量可用它的坐标表示为向量的坐标表示式向量的坐标表示式xoy高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations特殊地：特殊地：称为向径称为向径高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations四、利用
16、坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设(为实数为实数)推论：推论：则则高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations例例5 求解以向量为未知元的线性方程组求解以向量为未知元的线性方程组其中其中解解 犹如解以实数为未知元的线性方程组一样，犹如解以实数为未知元的线性方程组一样，可解得可解得以以 的坐标表示式代入，即得的坐标表示式代入，即得高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute
17、of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations解解设设为直线上的点为直线上的点，由题意知由题意知：这就是点这就是点M的坐标的坐标.例例6 已知已知和和以及实数以及实数AB直线上求点直线上求点M,使使)(Bx2,y2,z2)(Ax1,y1,z11-l l，在在高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影1
18、.1.两点的距离公式与向量的模两点的距离公式与向量的模高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为向量的模向量的模高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations解解原结论成立原结论成立.高高 等
19、等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations例例10 已知两点已知两点A(4,0,5)和和B(7,1,3),求与求与AB 方向相同得方向相同得 单位向量单位向量 .解解 因为因为AB=OB-
20、OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以所以于是于是例例9 在在z轴上求与两点轴上求与两点A(-4,1,7)和和B(3,5,-2)等距离的点等距离的点.解解 因为所求的点因为所求的点M在在z轴上轴上,所以设所以设M(0,0,z),依题义有依题义有即即两边去根号两边去根号,解得解得 z=所求的点所求的点M(0,0,).高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations2.2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦两向量的夹角
21、的概念：两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.设设AB类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.由图分析
22、可知由图分析可知方方向向余余弦弦向向量量的的高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Indust
23、rial Relations方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例11 已知两点已知两点 和和 ，计算向量，计算向量 的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角.解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of
24、 Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations解解 依题意有依题意有由关系式由关系式得得因点因点A在第在第 卦限卦限,知知 ，故，故 于是于是这就是点这就是点A的坐标的坐标.例例13 设点设点A位于第位于第 卦限卦限,向径向径OA与与x轴、轴、y 轴的夹角轴的夹角依次为依次为 和和 ，且，且 ，求点，求点A的坐标。的坐标。高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relat
25、ions解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations3.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影:.设设 ，则数，则数 称为向量称为向量 在在 轴上的轴上的投影投影，记作，记作 或或
26、.设设则则或记作或记作过点过点 作轴作轴 的垂直平面，的垂直平面，交点交点 即为点即为点 在轴在轴 上的上的投影投影.高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations(即即 ),性质性质1 1其中其中 为向量为向量 与与 轴的夹角轴的夹角;性质性质2 2(即即 );(即即 ).性质性质3 3例例15 设立方体的一条对角线为设立方体的一条对角线为OM,一条棱为一条棱为OA,且且 ,求求OA在在OM方向上的投影方向上的投影Prj .解解
27、记记 有有于是于是Prj 高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations解解高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations六、小结六、小结1.向量的概念向量的概念（留意与标量的区分）（留意与标量的区分）2.向量的加减法向量的加减法（平行四边形法则）（平行四边形法则）3.向
28、量与数的乘法向量与数的乘法（留意数乘后的方向）（留意数乘后的方向）6.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（留意分向量与向量的坐标的区分）（留意分向量与向量的坐标的区分）7.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.4.空间直角坐标系空间直角坐标系 5.空间两点间距离公式空间两点间距离公式（留意它与平面直角坐标系的区分）（留意它与平面直角坐标系的区分）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute
29、 of Industrial Relations思索题思索题1已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.思索题思索题2高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations思索题思索题1解答解答高高 等等 数数 学学中国劳动关系学院中国劳动关系学院China Institute of Industrial RelationsChina Institute of Industrial Relations思索题思索题2解答解答对角线的长为对角线的长为