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1、第2讲向量积现在学习的是第1页，共40页例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值主对角线元素之积减去副对角线元素之积主对角线元素之积减去副对角线元素之积对角线法则对角线法则现在学习的是第2页，共40页三三 阶行列式阶行列式对角线法则对角线法则现在学习的是第3页，共40页例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值对角线法则现在学习的是第4页，共40页元素元素 的的余子式余子式元素元素 的的代数余子式代数余子式现在学习的是第5页，共40页余子式元素元素 的余子式的余子式 就是在行列式中划掉元素就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构所在的行和列，余下的
2、元素按原来的相对位置而构成的行列式成的行列式代数余子式 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和余子式的乘积之和现在学习的是第6页，共40页n 阶行列式的定义阶行列式的定义按第一行展开按第一行展开现在学习的是第7页，共40页例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值现在学习的是第8页，共40页性质性质1：将行列式的行、列互换，行列式的值不变即：D=DT行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。行列式的性质行列式的性质则现在学习的是第9页，共40页性质性质2 互换行列式的两行(列)，行列式仅改变符号则 D=M推
3、论推论1：若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。现在学习的是第10页，共40页性质性质3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以数 k，等于该行列式乘以数 k，即：推论推论2：若行列式中的某行(列)全为零，则行列式为零。推论推论3：若行列式中有两行(列)的对应元素成比例，则该行列式为零。现在学习的是第11页，共40页22向量的数量积、向量积及混合积向量的数量积、向量积及混合积一、一、向量的数量积向量的数量积定义定义:现在学习的是第12页，共40页当 b 0时,|a|cos =Prjba于是于是注注2:例如例如:i i=j j=k k =1a b=|a|b|cos=|a|b|cos注注
4、1:当 a 0时,|b|cos =Prjaba b=|a|Prjab=|b|Prjbaa a=|a|2现在学习的是第13页，共40页数量积的物理意义数量积的物理意义例如例如:设力F 作用于某物体上,物体有一段位移S,求功的表示式.由物理知,与位移平行的分力作功,sF且 当时，做正功；当时，做负功；当时，不做功。与位移垂直的分力不作功.于是解解:现在学习的是第14页，共40页(1)交换律 a b=b a (2)分配律 (a+b)c=a c+b c(3)数量积满足如下结合律:(a)b=a (b)=(a b),为实数2.数量积的性质数量积的性质a=0(4)a a 0，且a a=0 a b=|a|b|
5、cos现在学习的是第15页，共40页证证:充分性:由a 0,b 0,cos=0 ,即a b例如例如:i、j、k 互相垂直,所以i j=j k=i k =0(5)两个非零向量a,b 垂直必要性:设a b,得:a b=0现在学习的是第16页，共40页如图,利用数量积证明三角形的余弦定理|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos证证:|c|2=|a b|2=(a b)(a b)=a a+b b 2 a b=|a|2+|b|2 2|a|b|cos|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos故故:abc例例1.由于c=a b,于是=a (a b)b (a b)现在学习的是第17页，共40页3.
6、数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j (bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx i i+ax by i j+ax bz i k +ay bx j i+ay by j j+ay bz j k+az bx k i+az by k j+azbz k k=ax bx+ay by+az bz得公式:a b=ax bx+ay by+az bz(1)现在学习的是第18页，共40页
7、推论推论:两个非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)垂直ax bx+ay by+az bz=0现在学习的是第19页，共40页4.数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),(1)求 a 在 b 上的投影.Prjba=|a|(2)已知已知:由|a|b|=a b,得现在学习的是第20页，共40页(2)求两向量 a,b 的夹角由|a|b|cos=a b,知(3)现在学习的是第21页，共40页已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.AMB即为向量MA与MB的夹角.由MA=(1,1,0),MB=(1
8、,0,1)得得:cosAMB=所以所以例例2解解:现在学习的是第22页，共40页证明平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和。例例DABC现在学习的是第23页，共40页 abc=a b(1)|c|=|a|b|sin(2)c 与a、b所在的平面垂直,(即 c a且c b).c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积,记作:a b.即:c=a b注注:向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形,其面积等于|a|b|sin,所以a b的模,等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.1.定义定义1:设有两个向量 a、b,夹角为,作一个向量c,使得二、两向量
9、的向量积二、两向量的向量积现在学习的是第24页，共40页由力学规定:力F 对支点O的力矩是一个向量M.其中其中:FOQPL(2)M的方向:垂直于OP与F 所在的平面,指向满足右手规则.即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳,大拇指的指向就是M 的方向.设O为一根杠杆L的支点,有一个力F 作用于这杠杆上P点处,F 与OP的夹角为,考虑 F 对支点 O 的力矩.例如例如:向量积的物理意义向量积的物理意义(1)|M|=|OQ|F|=|OP|sin|F|=|OP|F|sin现在学习的是第25页，共40页向量积的性质向量积的性质(1)a a=0(2)反交换律 a b=b a(3)分配律 a (b+c
10、)=a b+a c(4)向量积与数乘满足结合律:(b+c)a=b a+c a(a)b=a (b)=(a b),为实数|c|=|a|b|sin现在学习的是第26页，共40页必要性:设a、b 平行,则 =0或 =.于是|a b|=|a|b|sin=0所以所以 a b=0 充分性:设 a b=0 则则|a b|=|a|b|sin=0由|a|0,|b|0,得=0或 =.所以 a 与 b 平行证证:(5)两个非零向量 a、b 平行 a b=0 现在学习的是第27页，共40页例如例如:i i=j j=k k=0 i j=k j i=k k j=i i k=jkjixyzk i=jj k=i现在学习的是第2
11、8页，共40页2、向量积的坐标表示式、向量积的坐标表示式设 a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz)则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j(bx i+by j+bz k)=ax bx(i i)+ax by(i j)+ax bz(i k)=ax by k+ax bz(j)+ay bx(k)+ay bz i=(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay bx)k+ay bx(j i)+ay by(j j)+ay bz(j k)+az bx(k i)+az by(k j
12、)+azbz(k k)+az k (bx i+by j+bz k)+az bx j+az by(i)现在学习的是第29页，共40页得公式:a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)k现在学习的是第30页，共40页求垂直于向量 a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的向量c.a b 同时垂直于a、b=6i+4j+10k 8k 6j 5i=i 2j+2k取 c=a b=(1,2,2).显然,对于任意 0R,c=(,2,2)也与a、b垂直.例例3:解解:而现在学习的是第31页，共40页已知ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7)
13、,求ABC的面积.xyzABCo由向量积的定义.而AB=(2,2,2)AC=(1,2,4)所以=4i 6j+2k于是例例4:解解:现在学习的是第32页，共40页三、向量的混和积三、向量的混和积1.定义定义2 称 与 的向量积 再与向量 的数量积为向量,()即的混合积，记作 设有三个向量,现在学习的是第33页，共40页则有设向量 =(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式混合积的坐标表示式ijk,cxcycz,ijk 现在学习的是第34页，共40页混合积性质：混合积性质：(1)=现在学习的是第35页，共40页事实上，若 ,在同一个平面上，则 垂
14、直于它们所在的平面，故 垂直于 ,即()=0(2),共面 =0 现在学习的是第36页，共40页向量的混合积的几何意义现在学习的是第37页，共40页现在学习的是第38页，共40页例例5:已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体 ABCD 的体积。解：解：四面体 ABCD 的体积等于以 AB,AC 和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，AB=(x2 x1,y2 y1,z2 z1),AC=(x3 x1,y3 y1,z3 z1),AD=(x4 x1,y4 y1,z4 z1),即现在学习的是第39页，共40页所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。现在学习的是第40页，共40页