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1、预备知识已知：4个条件xixkxk+1yi=f(xi)ykyk+1求:一个次数不超过3的多项式H3(x)Hermite插值：第1页/共25页结论：其中第2页/共25页实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。一、三次样条的产生和背景1.问题的产生显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。第3页/共25页2.样条的概念(Spline)样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），它实际上是分段三次曲
2、线拼接而成，在连接点上要求二阶导数连续。第4页/共25页二、三次样条函数的定义若函数S(x)C2a,b,且在每个小区间xj,xj+1上是三次多项式，其中a=x0 x1 xn=b是给定节点，则称S(x)是节点x0，x1，xn上的三次样条函数。1.三次样条的定义a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多项式即：第5页/共25页三次样条函数2.三次样条插值函数的定义+S(xi)=yi3.求解三次样条插值函数的已知条件数和未知条件数未知参数个数4n已知条件个数插值条件：n+1S(x)C2a,b：3(n-1)共 计：4n-2缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称为边界条件。第6页/共2
3、5页4.常用的三种边界条件1已知两端的一阶导数值，即：2已知两端的二阶导数值，即：3当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，即周期样条第7页/共25页三、求解方法之一：三转角方程设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)第8页/共25页xjf2x2fnxnf1f0f(xj)x1x0思路:(1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个；x1处:得到与m0,m1,m2有关的等式x2处:得到与m1,m2,m3有关的等式共n-1个等式(2)补什么条件：
4、这里选一阶导数较合适；(3)如何补？若随意给，则只能保证构造出的插值函数的函数值和一阶导数值连续，但不一定能保证二阶导数值连续，故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。第9页/共25页设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)设法求出求解过程具体如下：第10页/共25页2.求解 mj 的思路由内部节点上的二阶导数连续求出考虑S(x)在xj,xj+1上的表达式hj=xj+1-xj第11页/共25页对S(x)求二阶导数得：于是第12页/共25页同理可得S(x)在区间xj-1,xj上的二阶导数：于是第13页/共25页由条件可得进一步
5、简化为第14页/共25页写成矩阵形式为第15页/共25页四、求解方法之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)第16页/共25页思路:(1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四个条件，但现在最多有三个，故要补充条件，形成四个；(2)补什么条件：或函数值，或一阶导数值，或二阶导数值。这里选二阶导数较合适；(3)如何补？若随意给，则只能保证所构造出的函数的函数值和相邻两段在公共点的二阶导数的极限值连续，但不能保证一阶导数连续，故只能选那组使一阶导数连续的二阶导数值。xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f
6、2fnx1处:得到与M0,M1,M2有关的等式x2处:得到与M1,M2,M3有关的等式共n-1个等式第17页/共25页求解方法之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件：1.条件xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)2.求解S(x)的思路及求解1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系2）求出中间节点上的一阶导数值第18页/共25页1)首先确定S(x)与二阶导数值的关系由于S(x)在区间xj,xj+1上是三次多项式，故S(x)在xj,xj+1上是线性函数，可表示为对S(x)积分两次并利用S(xj)=yj 及S(xj+1)=yj+1,可定出积分常数，于是得 第19页/共25页2)求出内部节点上的一阶导数值只有利用一阶导数连续的条件对S(x)求导得第21页/共25页由此可得类似地可求出S(x)在区间xj-1,xj上的表达式，从而得利用第22页/共25页注意：(1)教材只重点介绍了三弯矩方程，上课时带领学生看书比较！(2)要求学生下去总结，写出两种构造方法的思路。第23页/共25页作业：1.写出构造三次样条插值函数的两种方法的思路。第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页