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1、会计学1数值数值(shz)分析样条插值分析样条插值第一页，共25页。三三 次次 样样 条条 插插 值值第2页/共25页第二页，共25页。一、函数组在区间一、函数组在区间(q jin)(q jin)上上线性无关线性无关定义定义 设函数组设函数组 0 0 x x,1 1x x,n nx x 在区间在区间(q jin)a,b(q jin)a,b上连上连续续,如果如果 a0a00 0 x x a1 a11 1x x an ann nx x 0 0 (a(a x x b)b)a0 a0 a1 a1 an an 0.0.则称则称 k kx x 在在 a,b a,b 上是线性无关的上是线性无关的;否则否则,
2、叫线叫线性相关性相关.样条函数样条函数(hnsh)第3页/共25页第三页，共25页。二、在区间二、在区间a,ba,b上线性无关的上线性无关的函数系函数系定义定义 若若 i i x x|i=0,1,|i=0,1,中任何有限个函数中任何有限个函数,在区在区间间a,b a,b 上都是线性无关的上都是线性无关的,则称则称 i i x x|i=0,1,|i=0,1,是线性无关的函数系是线性无关的函数系.三、三、k k 次半截次半截(bnji)(bnji)单项式单项式 定义定义 记记 为为k k次半截次半截(bnji)(bnji)单项式单项式.并规定并规定第4页/共25页第四页，共25页。四、四、k 次半
3、截单项式的性质次半截单项式的性质 (1)在区间在区间(,)上有上有 k 1阶连续的导数；阶连续的导数；(2)当当 k 2 时时,有有 (xk+)(r)=k(k 1)(k r 1)xk-r+；(r=1,2,k-1)(3)在在 x=0处处,xk+的的 k 阶导数阶导数不存在不存在(cnzi)。对任意的实数对任意的实数 a,有有第5页/共25页第五页，共25页。五、五、五、五、k k 次多项式样条函数次多项式样条函数次多项式样条函数次多项式样条函数 定义定义定义定义 对于区间对于区间对于区间对于区间a,ba,b上的一个上的一个上的一个上的一个(y)(y)分划分划分划分划:a :a x0 x0 x1
4、x1 xn xn b b如果函数如果函数如果函数如果函数 s(x)s(x)满足条件满足条件满足条件满足条件 (1)s(x)(1)s(x)在每个子区间在每个子区间在每个子区间在每个子区间 xi,xi+1 xi,xi+1(i=0,1,n-1)(i=0,1,n-1)上是次数不高于上是次数不高于上是次数不高于上是次数不高于 k k 的多项的多项的多项的多项式式式式;(2)s(x)(2)s(x)在在在在(a,b)(a,b)上有上有上有上有 k k 1 1 阶连续导阶连续导阶连续导阶连续导数数数数.则称则称则称则称 s(x)s(x)是定义在是定义在是定义在是定义在 a,b a,b 上上上上,对应分划对应分
5、划对应分划对应分划 的的的的 k k 次多项式样条函数次多项式样条函数次多项式样条函数次多项式样条函数(简称简称简称简称 k k 次样次样次样次样条条条条);x0,x1,);x0,x1,xn,xn称为样条节点称为样条节点称为样条节点称为样条节点;x0,;x0,xnxn叫做边界节点叫做边界节点叫做边界节点叫做边界节点,其它点叫内节点其它点叫内节点其它点叫内节点其它点叫内节点.第6页/共25页第六页，共25页。k k 次样条函数次样条函数次样条函数次样条函数 s(x)s(x)是次数不超过是次数不超过是次数不超过是次数不超过 k k 的多项式的线性的多项式的线性的多项式的线性的多项式的线性组合组合组
6、合组合,它所在的线性空间它所在的线性空间它所在的线性空间它所在的线性空间,记为记为记为记为 Dk,Dk,.可以证明可以证明可以证明可以证明Dk,Dk,Span1,x,x k,(x Span1,x,x k,(x x1)k+,(x x1)k+,(x xn xn 1)1)k+.k+.定义定义定义定义(dngy)(dngy)在在在在 a,b a,b 上上上上,对应分划对应分划对应分划对应分划 的样条函数的样条函数的样条函数的样条函数s(x)s(x)，可以表示为，可以表示为，可以表示为，可以表示为 详细(xingx)理由!第7页/共25页第七页，共25页。六、六、k 次次 B 样条样条 记记与式与式(5
7、.25)对比可知对比可知(k zh)，k(x)是定义在是定义在(,)上，以上，以为内点的为内点的 k 次样条函数次样条函数(hnsh),k(x)的内节点个数的内节点个数为为 k+2,节点步长为节点步长为 1.第10页/共25页第十页，共25页。定义定义 由式由式(5.26)(5.26)表示的表示的函数函数 k(x)k(x)称为步长为称为步长为1,1,内节点等距的内节点等距的 k k 次次 B B 样条样条.（Basic-Spline)Basic-Spline)k k 次次 B B 样条样条 k(x)k(x)的递推的递推公式公式利用上公式和归纳法利用上公式和归纳法,可证明可证明下列下列(xili
8、)(xili)性质性质(1)(1)k(k(x)x)k(x).k(x).(2)(2)当当|x|x|(k+1)/2 (k+1)/2 时时,k(x)k(x)0;0;否则否则,k(x)0.k(x)0.在研究样条函数中，不管是理论分析还是实际计算在研究样条函数中，不管是理论分析还是实际计算(j sun)，函数有它的独特作用。，函数有它的独特作用。第11页/共25页第十一页，共25页。七、七、B样条的例子样条的例子(l zi)k=1，内节点(ji din)分别为 -1，0，1第12页/共25页第十二页，共25页。图图 5-1 一次一次 B 样条样条第13页/共25页第十三页，共25页。k=2，内节点(ji
9、 din)分别为 -3/2，-1/2，1/2，3/2第14页/共25页第十四页，共25页。图图 5-2 二次二次 B 样条样条第15页/共25页第十五页，共25页。k=3，内节点(ji din)分别为-2，-1，0，1，2第16页/共25页第十六页，共25页。图图 5-3 三次三次(sn c)B 样条样条第17页/共25页第十七页，共25页。1(x)2(x)3(x)山丘山丘(shn qi)状函数状函数磨光函数磨光函数第18页/共25页第十八页，共25页。八、节点八、节点(ji din)(ji din)等距的等距的B B样条样条 在在 a,b a,b 上上,取下面的等取下面的等距节点距节点(ji
10、 din)(ji din)xi xi a+ih a+ih,i,i 0,1,n,h 0,1,n,h (b (b a)/n,a)/n,对固定的对固定的 i,用用 代替代替 k(x)中的中的x,得到得到称式称式(5.28)中函数中函数(hnsh)为为 内节点等距、步长为内节点等距、步长为 h 的的 k 次次 B 样条。样条。第19页/共25页第十九页，共25页。注：注：第20页/共25页第二十页，共25页。等距节点等距节点等距节点等距节点(ji di(ji di n)B n)B 样条的性质样条的性质样条的性质样条的性质 等距节点等距节点(ji din)B 样条构成样条构成 Dk,的基的基 L故故 D
11、 Dk,Span L，且，且 a,b 上等距上等距 k 次样条次样条维数维数 Dk,=n+k.j=0,1,2,k+1i-k+j=i-k,i+1第21页/共25页第二十一页，共25页。x-1 a=x0 x1 x2 x3 b=x4 x5 当当n=4，k=1时，时，n+k=5，空间空间D1,的基底的基底(j d)图图形：形：特例特例特例特例(tl(tl):):图图 5-4 空间空间(kngjin)D1,的基底的基底第22页/共25页第二十二页，共25页。x-2 x-1 a=x0 x1 x2 x3 b=x4 x5 x6当当n=4，k=3时，时，n+k=7，空间空间(kngjin)D3,的的基底图形：基底图形：图图 5-5 空间空间(kngjin)D3,的基底的基底第23页/共25页第二十三页，共25页。n n数学数学(shxu)(shxu)符号符号 x0,x1,x0,x1,xn,y0,y1,xn,y0,y1,ym,xi,ym,xi 1 1 i in nk=0,1,k=0,1,n,n 1.1.0 0 x x,1 1 x x,n n x x n n(x,y)(x,y)pnm(x,y)pnm(x,y)n n n n n n (,)k)k 1 1n n n n n n n n第24页/共25页第二十四页，共25页。感谢您的观看感谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共25页。