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1、会计学1数值分析数值分析(fnx)三次样条插值三次样条插值第一页，共25页。结论(jiln)：其中(qzhng)第2页/共25页第二页，共25页。实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如(lr)飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。一、三次样条的产生(chnshng)和背景1.问 题(wnt)的产生显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。第3页/共25页第三页，共25页。2.样条的概念(ginin)(Spline)样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用(lyng)它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在
2、连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），它实际上是分段三次曲线拼接而成，在连接点上要求二阶导数连续。第4页/共25页第四页，共25页。二、三次(sn c)样条函数的定义若 函 数 S(x)C2a,b,且 在 每 个 小 区 间xj,xj+1上是三次多项式，其中a=x0 x1 xn=b是给定(i dn)节点，则称S(x)是节点x0，x1，xn上的三次样条函数。1.三次(sn c)样条的定义a.S(x)C2a,bb.S(x)在xj,xj+1上是三次多项式即：第5页/共25页第五页，共25页。三次(sn c)样条函数2.三次(sn c)样条插值函数的定义+S(xi)=yi3.求解(qi ji)三次
3、样条插值函数的已知条件数和未知条件数未知参数个数4n已知条件个数插值条件：n+1S(x)C2a,b：3(n-1)共 计：4n-2缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称为边界条件。第6页/共25页第六页，共25页。4.常用(chn yn)的三种边界条件1已知两端(lin dun)的一阶导数值，即：2已知两端(lin dun)的二阶导数值，即：3当f(x)是以xn-x0为周期的周期函数时，则要求S(x)也是周期函数，即周期样条第7页/共25页第七页，共25页。三、求解(qi ji)方法之一：三转角方程设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)
4、f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)第8页/共25页第八页，共25页。xjf2x2fnxnf1f0f(xj)x1x0思路:(1)首先要补条件(tiojin)：每个区间上构造三次多项式需要四个条件(tiojin)，但现在最多有三个，故要补充条件(tiojin)，形成四个；x1处:得到(d do)与m0,m1,m2有关的等式x2处:得到与m1,m2,m3有关(yugun)的等式共n-1个等式(2)补什么条件：这里选一阶导数较合适；(3)如何补？若随意给，则只能保证构造出的插值函数的函数值和一阶导数值连续，但不一定能保证二阶导数值连续，故只能选那组使二阶导数连续的一阶导数值。第9页/共25页
5、第九页，共25页。设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次(sn c)样条插值函数 S(x)设法求出求解过程具体如下：第10页/共25页第十页，共25页。2.求解(qi ji)mj 的思路由内部节点上的二阶导数(do sh)连续求出考虑(kol)S(x)在xj,xj+1上的表达式hj=xj+1-xj第11页/共25页第十一页，共25页。对S(x)求二阶导数(do sh)得：于是(ysh)第12页/共25页第十二页，共25页。同理可得S(x)在区间(q jin)xj-1,xj上的二阶导数：于是(ysh)第13页/共2
6、5页第十三页，共25页。由条件(tiojin)可得进一步简化(jinhu)为第14页/共25页第十四页，共25页。写成矩阵(j zhn)形式为第15页/共25页第十五页，共25页。四、求解方法(fngf)之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)第16页/共25页第十六页，共25页。思路:(1)首先要补条件：每个区间上构造三次多项式需要四个条件，但现在(xinzi)最多有三个，故要补充条件，形成四个；(2)补什么条件：或函数值，或一阶导数值，或二阶导数值。这里选二阶导数较合适；(
7、3)如何补？若随意给，则只能保证所构造出的函数的函数值和相邻两段在公共点的二阶导数的极限值连续，但不能保证一阶导数连续，故只能选那组使一阶导数连续的二阶导数值。xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fnx1处:得到与M0,M1,M2有关(yugun)的等式x2处:得到(d do)与M1,M2,M3有关的等式共n-1个等式第17页/共25页第十七页，共25页。求解方法(fngf)之二：三弯矩方程设在a,b上给出插值条件(tiojin)：1.条件(tiojin)xjx0 x1x2xnf(xj)f0f1f2fn求三次样条插值函数 S(x)2.求解S(x)的思路及求解1)首先确定S(x)与二阶导
8、数值的关系2）求出中间节点上的一阶导数值第18页/共25页第十八页，共25页。1)首先确定(qudng)S(x)与二阶导数值的关系由于S(x)在区间(q jin)xj,xj+1上是三次多项式，故S(x)在xj,xj+1上是线性函数(hnsh)，可表示为对S(x)积分两次并利用S(xj)=yj 及S(xj+1)=yj+1,可定出积分常数，于是得 第19页/共25页第十九页，共25页。2)求出内部(nib)节点上的一阶导数值只有利用一阶导数连续(linx)的条件对S(x)求导得第21页/共25页第二十一页，共25页。由此可得类似(li s)地可求出S(x)在区间xj-1,xj上的表达式，从而得利用(lyng)第22页/共25页第二十二页，共25页。注意：(1)教材只重点介绍了三弯矩方程，上课时带领(dilng)学生看书比较！(2)要求学生下去总结，写出两种构造方法的思路。第23页/共25页第二十三页，共25页。作业：1.写出构造三次(sn c)样条插值函数的两种方法的思路。第24页/共25页第二十四页，共25页。感谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共25页。