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1、 Department of Mathematics第四节、解析函数零点的孤立性第四节、解析函数零点的孤立性及唯一性定理及唯一性定理一 解析函数的零点的孤立性1定义4.73定理4.17证明:“必要性必要性”由假设,只要令则则“充分性充分性”故由故由TaylorTaylor定理定理从而从而例1解例2解故故由由得得因为因为注:一个实函数的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中但在复变函数中,我们有我们有4定理4.18证明:则5推论4.19证明:注2如二 解析函数的唯一性1 定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在2 推论4.21例3证明:由惟一性定理
2、例4解则由惟一性定理知由惟一性定理知:故不存在故不存在.(2)(2)由于函数值点列有由于函数值点列有显然它在原点解析显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为故合条件的函数存在且为3 推论4.22证明故由惟一性定理，故由惟一性定理，例5解故由惟一性定理故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复函数上来展开式都可推广到复函数上来.如注2 定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.注3证明:“反证反证”由平
3、均值定理,只要圆三 最大模原理1定理4.23下面证明下面证明:故矛盾矛盾.于是于是因此因此,我们证明了我们证明了,注 解解析析函函数数在在边边界界上上的的最最大大模模可可以以限限制制其其在在区域内的最大模区域内的最大模.2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:2:CauchyCauchy不等式中不等式中例7证明:由最大模原理由最大模原理,例8而且而且证明:则由题设则由题设,故故此时此时与最大模原理相矛盾与最大模原理相矛盾.3 最小模原理作业P180习题(一)8(2);9;12P180习题(一)13;14 本节结束 谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics