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1、第4节 解析函数零点孤立性及唯一性定理现在学习的是第1页，共28页一 解析函数的零点的孤立性1定义4.7现在学习的是第2页，共28页3定理4.17证明:“必要性必要性”由假设,只要令现在学习的是第3页，共28页则则“充分性充分性”故由故由TaylorTaylor定理定理从而从而现在学习的是第4页，共28页例1解现在学习的是第5页，共28页例2解故故由由得得因为因为现在学习的是第6页，共28页注:一个实函数的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中但在复变函数中,我们有我们有现在学习的是第7页，共28页4定理4.18证明:则现在学习的是第8页，共28页5推论4.19证明:现在学习的是第9页，共28页
2、注2如现在学习的是第10页，共28页二 解析函数的唯一性1 定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:现在学习的是第11页，共28页由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在现在学习的是第12页，共28页2 推论4.21例3证明:由惟一性定理现在学习的是第13页，共28页例4解则现在学习的是第14页，共28页由惟一性定理知由惟一性定理知:故不存在故不存在.(2)(2)由于函数值点列有由于函数值点列有显然它在原点解析显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为故合条件的函数存在且为现在学习的是第15页，共28页3 推论4.22证明故由惟一性定理，故由惟一性定理，现在学习的是第16页，共28页例
3、5解现在学习的是第17页，共28页故由惟一性定理故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复函数上来展开式都可推广到复函数上来.如现在学习的是第18页，共28页注2 定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它揭示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.注3现在学习的是第19页，共28页证明:“反证反证”由平均值定理,只要圆三 最大模原理1定理4.23现在学习的是第20页，共28页下面证明下面证明:故矛盾矛盾.于是于是现在学习的是第21页，共28页
4、因此因此,我们证明了我们证明了,注解解析析函函数数在在边边界界上上的的最最大大模模可可以以限限制制其其在在区区域域内内的最大模的最大模.现在学习的是第22页，共28页2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:2:CauchyCauchy不等式中不等式中现在学习的是第23页，共28页例7证明:由最大模原理由最大模原理,例8而且而且现在学习的是第24页，共28页证明:则由题设则由题设,故故此时此时与最大模原理相矛盾与最大模原理相矛盾.现在学习的是第25页，共28页3 最小模原理现在学习的是第26页，共28页作业P180习题(一)8(2);9;12P180习题(一)13;14现在学习的是第27页，共28页 本节结束 谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics现在学习的是第28页，共28页