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1、第第4节解析函数零点孤立性及唯一节解析函数零点孤立性及唯一性定理性定理第1页，本讲稿共27页一 解析函数的零点的孤立性1定义4.7第2页，本讲稿共27页3定理4.17证明:“必必 要要 性性”由假设,只要令第3页，本讲稿共27页则则“充充分分性性”故由故由TaylorTaylor定理定理从而从而第4页，本讲稿共27页例1解第5页，本讲稿共27页例2解故故由由即也即也即得因为因为第6页，本讲稿共27页注:一个实函的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中但在复变函数中,我们有我们有第7页，本讲稿共27页4定理4.18证明:则第8页，本讲稿共27页5推论4.19证明:注1第9页，本讲稿共27页注2如第
2、10页，本讲稿共27页二 解析函数的唯一性1 定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:第11页，本讲稿共27页由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在第12页，本讲稿共27页2 推论4.21例3证明:由惟一性定理第13页，本讲稿共27页例4解则第14页，本讲稿共27页由惟一性定理知:故不存在.(2)由于函数值点列有显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为第15页，本讲稿共27页3 推论4.22例5解第16页，本讲稿共27页故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复数域上来.如第17页，本讲稿共27页注2 定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定
3、理,它提示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.三 最大模原理1定理4.23第18页，本讲稿共27页证明:“反证”由平均值定理,只要圆K:于是第19页，本讲稿共27页下面证明:故矛盾.第20页，本讲稿共27页因此,我们证明了,注 解析函数在边界上的最大模可以限制其在区域内的最大模.第21页，本讲稿共27页2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:Cauchy不等式中第22页，本讲稿共27页例7证明:由最大模原理,例8而且第23页，本讲稿共27页解:则由题设,故此时与最大模原理相矛盾.第24页，本讲稿共27页3 最小模原理第25页，本讲稿共27页作业wP180习题(一)8(2);9;12;13;14第26页，本讲稿共27页 本节结束本节结束 谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics第27页，本讲稿共27页