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1、第第4节解析函数零点孤立性及唯一节解析函数零点孤立性及唯一性定理性定理第1页，共27页，编辑于2022年，星期一一 解析函数的零点的孤立性1定义4.7第2页，共27页，编辑于2022年，星期一3定理4.17证明:“必必 要要 性性”由假设,只要令第3页，共27页，编辑于2022年，星期一则则“充充 分分 性性”故由故由TaylorTaylor定理定理从而从而第4页，共27页，编辑于2022年，星期一例1解第5页，共27页，编辑于2022年，星期一例2解故故由由即也即也即得因为因为第6页，共27页，编辑于2022年，星期一注:一个实函的零点不一定是孤立的.如但在复变函数中但在复变函数中,我们有我
2、们有第7页，共27页，编辑于2022年，星期一4定理4.18证明:则第8页，共27页，编辑于2022年，星期一5推论4.19证明:注1第9页，共27页，编辑于2022年，星期一注2如第10页，共27页，编辑于2022年，星期一二 解析函数的唯一性1 定理4.20证明:由推论4.19,考虑一般情形:第11页，共27页，编辑于2022年，星期一由推论4.19有这样连续下去,可依次证明在第12页，共27页，编辑于2022年，星期一2 推论4.21例3证明:由惟一性定理第13页，共27页，编辑于2022年，星期一例4解则第14页，共27页，编辑于2022年，星期一由惟一性定理知:故不存在.(2)由于函
3、数值点列有显然它在原点解析,故合条件的函数存在且为第15页，共27页，编辑于2022年，星期一3 推论4.22例5解第16页，共27页，编辑于2022年，星期一故由惟一性定理,注1:数分中常见的一些初等函数的幂级数展开式都可推广到复数域上来.如第17页，共27页，编辑于2022年，星期一注2 定理4.20,推论4.21,4.22统称为惟一性定理,它提示了解析函数一个非常深刻的性质,函数在区域D内的局部值确定了函数在区域D内整体值,即局部与整体之间有着十分密切的关系.三 最大模原理1定理4.23第18页，共27页，编辑于2022年，星期一证明:“反 证”由平均值定理,只要圆K:于是第19页，共2
4、7页，编辑于2022年，星期一下面证明:故矛盾.第20页，共27页，编辑于2022年，星期一因此,我们证明了,注解析函数在边界上的最大模可以限制其在区域内的最大模.第21页，共27页，编辑于2022年，星期一2推论4.24注1:有界闭域上解析函数的最大模只能在边界取得.注2:Cauchy不等式中第22页，共27页，编辑于2022年，星期一例7证明:由最大模原理,例8而且第23页，共27页，编辑于2022年，星期一解:则由题设,故此时与最大模原理相矛盾.第24页，共27页，编辑于2022年，星期一3 最小模原理第25页，共27页，编辑于2022年，星期一作业wP180习题(一)8(2);9;12;13;14第26页，共27页，编辑于2022年，星期一 本节结束本节结束 谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics第27页，共27页，编辑于2022年，星期一