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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数本初等函数 I2-2I2-2 函数的单调性与最值教师用书理苏教函数的单调性与最值教师用书理苏教1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A，区间IA.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2定义当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数 yf(x)在区间 I 上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 yf(x)在区间 I 上具有
2、单调性，区间 I 叫做 yf(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为A，如果存在x0A，使得条件对于任意的xA，都有f(x)f(x0)对于任意的xA，都有f(x)f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值【知识拓展】2 / 19函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在 D 上是增函数，0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，.(3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数.(4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括
3、号中打“”或“”)(1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)0)的单调增区间为_.4 / 19答案 (0，)解析 函数的对称轴为 x1，又 x0，所以函数 f(x)的单调增区间为(0，).5.(教材改编)已知函数 f(x)，x2，6，则 f(x)的最大值为_，最小值为_.答案 2 2 5解析 可判断函数 f(x)在2，6上为减函数，所以 f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).题型一 确定函数的单调性(区间)命题点 1 给出具体解析式的函数的单调性例 1 (1)(2016连云港模拟)函数 f(x)(x24)的单调递增区间是_.1 2log(2)yx22|x|3 的单调增区间
4、为_.答案 (1)(，2) (2)(，1，0，1解析 (1)因为 yt，t0 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数 tx24 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2).1 2log(2)由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0)，用定义法判断函数 f(x)在(1，1)上的单调性.解 设10，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数 f(x)在(1，1)上为减函数.引申探究如何用导数法求解例 2?解 f(x)，a0，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增.当 m0，所以 f(x)在(0， )上单调递增；当 x(
5、 ，)时，f(x)0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.解 当 a时，f(x)x2，又 x1，)，所以 f(x)10，即 f(x)在1，)上是增函数，所以 f(x)minf(1)12.f(x)x2，x1，).()当 a0 时，f(x)在1，)内为增函数.最小值为 f(1)a3.要使 f(x)0 在 x1，)上恒成立，只需 a30，所以30，a3，所以 01)的最小值为_.答案 (1)1 (2)8解析 (1)易知函数 yx在1，)上为增函数，x1 时，ymin1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一 (基本不等式法)f(x)x122x19 x1(x1)22 28，当且仅当 x1，即 x4 时，f
6、(x)min8.方法二 (导数法)f(x)，令 f(x)0，得 x4 或 x2(舍去).当 14 时，f(x)0，f(x)在(4，)上是递增的，9 / 19所以 f(x)在 x4 处取到极小值也是最小值，即 f(x)minf(4)8.题型三 函数单调性的应用命题点 1 比较大小例 4 已知函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于 y 轴对称，当x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ac解析 根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，因为 af()f()，且 2ac.命题点 2 解函数不等式例 5 (2017苏州月考)定义在 R 上的奇函数 y
7、f(x)在(0，)上递增，且 f()0，则满足0 的 x 的集合为_.1 9(log)fx答案 x|00，得，或0 成立，那么 a 的取值范10 / 19围是_.答案 (1)，0 (2)，2)解析 (1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为 x，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 ax2; x1x20；x10 时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由 f(x1)0 时，恒有 f(x)1.12 / 19(1)求证：f(x)在 R 上是增函数；(2)若 f(3)4，解不等式 f(a2a5)0，当
8、x0 时，f(x)1，f(x2x1)1.3 分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，5 分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)0 且a10，a1.7.函数 f(x)xlog2(x2)在区间1，1上的最大值为_.答案 3解析 由于 yx 在 R 上递减，ylog2(x2)在1，1上递增，所以 f(x)在1，1上单调递减，故 f(x)在1，1上的最大值为f(1)3.8.(2017江苏天一中学月考)对 a，bR，记 maxa，b函数 f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_.答案 3 2解析 方法一 f(x)f(x)在(，)和，)上分别为减函数和增函数，f(
9、x)minf().方法二 作函数 f(x)的图象如图所示，由图知当 x时，f(x)minf().9.若函数 f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.16 / 19答案 6解析 f(x)|2xa|Error!函数的单调递增区间为，)，3，a6.*10.已知 f(x)不等式 f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是_.答案 (，2)解析 二次函数 y1x24x3 的对称轴是 x2，该函数在(，0上单调递减，x24x33，同样可知函数 y2x22x3 在(0，)上单调递减，x22x3f(2ax)得到 xa2 不符，而 t1 时满足题意.13.函数 f(x)4x24axa22a2 在区间0，2上有最小值 3，求 a 的值.解 f(x)4(x)22a2，当0，即 a0 时，函数 f(x)在0，2上是增函数.f(x)minf(0)a22a2.由 a22a23，得 a1.a0，a1.当 00 且 3a22a10 恒成立，由(1)知函数 f(x)在(0，)上单调递减，故由 f(2a2a1)3a22a1，即 a23a0，解得 0a3，19 / 19a 的取值范围为a|0a3.