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1、三角函数及其图像性质精讲精练（三角函数及其图像性质精讲精练（2 2）【知识点回顾】【考向一】三角函数的定义域【考向一】三角函数的定义域【例【例 1 1】函数y 1 2cosx lg(2sin x 3)的定义域是_。【精练【精练 1 1】函数 ytan4x的定义域为()xk，kZB.xx2k，kZA.x44C.x xk，kZD.xx2k，kZ44【解析】x k，x k，又kZ Z，A 正确424【答案】A【考向二】三角函数的单调性【考向二】三角函数的单调性【思路点拨】yAsin(x)B 解析式的确定与性质的研究借助图象或文字叙述，先求 A、B 的值后，再依据解析式研究三角函数的单调性、值域、最值
2、及周期性、奇偶性等性质是高考的常见题型【例【例 1 1】（2012 湖南文 18）已知函数fx Asinx x R,0,0 的部分图像如图 5 所示。2（）求函数fx的解析式；（）求函数gx f x【精练 1】3(2013佛山模拟)函数 y2sin62xx0，为增函数的区间为()7550，B.，C.，D.，A.31212366 352x，由 2k2x 2k，kZ Z 得 kx k，kZ Z，即函【解析】因为 y2sin626 23655k，kkZ Z，当 k0 时增区间为，.故选 C.数在 R R 上的增区间为6336【答案】C【精练【精练 1 1】（2012 全国新课标 9）已知 0，函数f
3、(x)sin(x取值范围是（）f x 的单调递增区间。1212)在(,)上单调递减。则的42第1页11 51 3(A),(B),(C)(0,(D)(0,222 42 4【精练【精练 2 2】（2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版）已知函数f(x)4cosxsinx(0)的最小正周期为.4()求的值;()讨论f(x)在区间0,2上的单调性.【考向三】三角函数的值域或最值（二次型需关注）【考向三】三角函数的值域或最值（二次型需关注）x，在 x0，上的值域为_【例【例 1 1】函数 ycos33【解析】由 0 x，x 0，333，0上单调递增，而函数在3cosxc
4、os 0，即 cos331x1.故 cos321【答案】2，10，函数的最大值为1，最小值为5，求【例 2】(文)已知函数 f(x)2asin(2x)b 的定义域为23a 和 b 的值 2【解】0 x，2x ，233 33sin(2x)1，23a126 3，2ab1，若 a0，则解得 3ab5，b2312 3；a126 3，2ab5，若 a0，则解得 3ab1，b1912 3.综上可知，a126 3，b2312 3或 a126 3，b1912 3.x的值域为_【试一试】(2012湖南高考)函数 f(x)sinxcos6x【解析】f(x)sinxcos6sin x31x，cos x sin x
5、3sin622x1,1，f(x)值域为 3，3sin6第2页【答案】3，3|x|的最大值与最小值【试一试】求函数 ycos2xsin x41【精练 1】（文）已知向量a a (cosx,),b b (3sin x,cos2 x),xR R,设函数f(x)a ab b.2()求 f(x)的最小正周期.()求 f(x)在0,上的最大值和最小值.2【精 练 2】（2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 试 题（含 答 案）已 知 函 数.2f(x)2sin2x 6sin xcosx 2cos x 1,xR R4()求 f(x)的最小正周期;()求 f(x)在区间
6、0,上的最大值和最小值.22xsin2x2cos2x1，xR R.【比较】(2012天津高考)已知函数 f(x)sin33(1)求函数 f(x)的最小正周期；，上的最大值和最小值(2)求函数 f(x)在区间44【精练 3】设向量a 3sin x,sin x,b cos x,sinx,x0,.2(I)若a b.求x的值；(II)设函数fx ag b,求fx的最大值.【精练 4】（2012 山东卷）已知向量m sinx,1，n 3Acos x,Acos2xA 0，函数2fx mn的最大值为 6.（）求 A；（）将函数y fx的图象像左平移1个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，1225上
7、的值域。24纵坐标不变，得到函数y gx的图象。求gxg（x）在0,【精练 5】已知向量a (cosxsinx，sinx)，b (cosxsinx，2 3cosx)，设函数1（,1）fx abxR的图像关于直线x 对称，其中，为常数，且2（1）求函数f(x)的最小正周期；第3页（2）若f(x)的图像经过点求函数f(x)在区间0，上的取值范围。（,0）54【精练 6】（2013 年高考湖南卷（理）已知函数f(x)sin(x3x)cos(x).g(x)2sin2.632(I)若是第一象限角,且f()3 3.求g()的值;5(II)求使f(x)g(x)成立的 x 的取值集合.【考向四】三角函数的奇偶
8、性和周期性（求解析式要四看、振幅、周期描述【考向四】三角函数的奇偶性和周期性（求解析式要四看、振幅、周期描述-对称中心、高点相邻距对称中心、高点相邻距离、初相、平衡位置）离、初相、平衡位置）x1 是()【例 1】函数 y2cos24A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数D最小正周期为 的偶函数220，|的最小正周期为，且 f(x)f(x)，则【例 2】设函数 f(x)sin(x)cos(x)2_，_.【归纳提升】1.求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角
9、函数的周期公式求解【例 3】（2013西安模拟)已知函数 f(x)Asin(x)，xR(其中 A0，0,0)的图象与 x 轴22，2.的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M32(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x12，2时，求 f(x)的值域【精练 1】（2013 年高考四川卷（理）函数f(x)2sin(x),(0,22)的部分图象如图所示,则,的值分别是()(A)2,3(B)2,6(C)4,6(D)4,3第4页【答案】A【精练 2】（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯 WORD 版含附加题）函数y 3sin(2x【答案】4)的最小正
10、周期为_.【精练 3】（2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）已知函数fx=cos xsin2x,下列结论中错误的是(A)y fx的图像关于,0中心对称(B)yfx的图像关于直线x(C)fx的最大值为【答案】C【精练 4】（2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的函数是2对称3(D)fx既奇函数,又是周期函数2()(A)y sin x(B)y cos x(C)y sin 2x(D)y cos 2x【答案】B【精练 5】（2012 四川文 18）、已知函数f(x)cos2xxx1sincos。2222（）求函数
11、f(x)的最小正周期和值域；（）若f()3 2，求sin2的值。10【考向五】三角函数图像变换与应用【考向五】三角函数图像变换与应用知识点扫描：振幅、（初）相位、频率、周期、五点作图法、图像伸缩、平移变换【例 1】设函数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到3【归纳提升】1.“五点法”作图的关键是正确确定五个点，通常令x 分别等于 0，2，22求出对应的 x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标而后列表、描点、连线即可2变换法作图象
12、的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 xx来确定平移单位.第5页【精练 1】12（2013 年高考湖北卷（理）将函数y 3cosx sin xxR的图像向左平移mm 0个长度单位后,所得到的图像关于y轴对称,则m的最小值是()A.12B.5C.D.636【答案】B【精练 2】1（2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）将函数y sin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为83(A)4(B)4(C)0(D)4【答案】B【精练 2】（2009 全国卷理）如果函数y3cos 4的图像关于点那么|2x，0中心对
13、称，3的最小值为（）（A）（B）（C）(D)6432f(x)Asin(x)1（A 0,0）的最大值为 3，其图6【精练 3】（2012 陕西理科 16）函数像相邻两条对称轴之间的距离为，2（）求函数f(x)的解析式；（）设(0,)，则f()2，求的值。22【例 2】如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60 秒转动一圈，图中 OA 与地面垂直，以 OA 为始边，逆时针转动 角到 OB，设 B 点与地面距离为 h.(1)求 h 与 间关系的函数解析式；(2)设从 OA 开始转动，经过 t 秒到达 OB，求 h 与 t 间关系的函数解析式；【精练】
14、(2013河北衡水中等高三调考)如图所示，某市政府决定在以政府大楼 O 为中心，正北方向第6页和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼设扇形的半径 OMR，MOP45，OB 与 OM 之间的夹角为.(1)将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成 的函数(2)若 R3m，求当 为何值时，矩形 ABCD 的面积 S 有最大值？其最大值是多少？【解】(1)由题意可知，点M 为 PQ 的中点，所以OMAD.设 OM 与 BC 的交点为 F，则BC2Rsin，OFRcos.1ABOF ADRcos Rsin 2即 SABBC2Rsin(Rcos Rsin)0，R2(2sin cos 2sin2)，4(2)由(1)知 SR2(2sin cos 2sin2)2R2sin(2)R2.430，则 2，.因为 4444所以当 2 ，即 时，S 有最大值428Smax(21)R2(21)329(21)故当 时，矩形 ABCD 的面积 S 有最大值 9(21)m2.8第7页