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1、长方形的周长长方形的周长C C=;长方形长方形面积面积S=_;S=_;2(a+b2(a+b)abab长方体体积长方体体积V=_.V=_.abcabcb ba ab bc ca a第1页/共26页正方形的周长正方形的周长 C=_;C=_;正方形正方形面积面积 S=_;S=_;4a4aa a2 2正方体体积正方体体积 V V=_.=_.a a3 3a aa a第2页/共26页圆的周长圆的周长 C=_;C=_;圆的圆的面积面积S=_;S=_;圆柱体体积圆柱体体积V=_.V=_.r rh hr r第3页/共26页YOUR SITE HERE 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他被称为想撬动地球的
2、人。第4页/共26页YOUR SITE HEREhr阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？形状改变，形状改变，体积不变。体积不变。想一想想一想=第5页/共26页YOUR SITE HERE请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？并根据不变量写出等量关系些量保持不变？并根据不变量写出等量关系 。1 1、把一小杯的水倒入另一只大杯中；、把一小杯的水倒入另一只大杯中；2 2、用一根、用一根15cm15cm长的铁丝围
3、成一个三角形，长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；然后把它围成长方形；3 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。再把它改变成球。解：小杯中水的体积解：小杯中水的体积=大杯中水的体积大杯中水的体积解：三角形的周长解：三角形的周长=长方形的周长长方形的周长解：立方体的体积解：立方体的体积=球的体积球的体积【自主自主“学学”习习】第6页/共26页什么发生了变化？什么发生了变化？什么没有发生变化？什么没有发生变化？某居民楼顶有一个底面直径和高均为某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原形储水箱。现该楼
4、进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的高度将由原先的4m增高为了多少米增高为了多少米?想想一一想想第7页/共26页 解：设水箱的高变为解：设水箱的高变为 X米，填写下表：米，填写下表：旧水箱旧水箱新水箱新水箱底面半径底面半径高高体体 积积 2米米 1.6米米 4米米 X米米 等量关系：等量关系：V旧水箱旧水箱V新水箱新水箱 某居民楼顶有一个底面直径和高均为某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水的圆柱形储水箱。现该楼进
5、行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由地面积，需要将它的底面直径由4m减少为减少为3.2m。那么在。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为了增高为了多少米多少米?第8页/共26页解：设水箱的高度变为解：设水箱的高度变为X米，米，根据等量关系列出方程：根据等量关系列出方程：解方程得：解方程得：X=6.25X=6.25答：水箱高度增高了答：水箱高度增高了 米米 2.25 =224 某居民楼顶有一个底面直径和高均为某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形的圆柱形储水箱。
6、现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的原先的4m增高为了多少米增高为了多少米?V旧水箱V新水箱 6.25-4=2.256.25-4=2.25（米）（米）第9页/共26页 例：小明有一个问题想不明白。他要例：小明有一个问题想不明白。他要用一根长为用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，米的铁丝围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方米，此时
7、长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？小明的困惑：小明的困惑：第10页/共26页解：解：设长方形的宽为设长方形的宽为X米，则它的长为米，则它的长为 米，米，根据题意，得根据题意，得：(X+1.4+X)2=10 X=1.8长是：长是：1.8+1.4=3.2 答：长方形的长为答：长方形的长为3.2米，宽为米，宽为1.8米米,面积是面积是5.76米米2.等量关系：等量关系：（长（长+宽）宽）2=周长周长（X+1.4）面积：面积：3.2 1.8=5.76第11页/共26页做一做做一做小明又想用这小明又想用这10米长铁丝围成一个长方形。米长铁丝围成一个长方形。（2）
8、使长方形的长比宽多）使长方形的长比宽多0.8米，此时长方形米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长方形相比，面积有什么变化？次所围成的长方形相比，面积有什么变化？XX+0.8第12页/共26页解：解：（2）设长方形的宽为）设长方形的宽为x米，则它的长为（米，则它的长为（x+0.8）米。）米。根据题意，得：根据题意，得：(X+0.8+X)2=10 x=2.1 长长=2.1+0.8=2.9面积面积=2.9 2.1=6.09答答:该长方形的长为该长方形的长为2.9米米,面积为面积为6.09米米2XX+0.8第13页/共26页（3）
9、若使长方形的长和宽相等，即围）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与前两次围成的面积少米？围成的面积与前两次围成的面积相比，又有什么变化？相比，又有什么变化？X第14页/共26页4x =10 x=2.5（m)边边长长=2.5面积面积=2.5 2=6.25解：解：（3）设正方形的边长为）设正方形的边长为x米。米。根据题意，得：根据题意，得：面积增大：面积增大：6.25-6.09=0.16（m2）同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？X 当周长不变时，围成当周长不变时，围成正方形正
10、方形面积最大面积最大第15页/共26页面积：面积：1.8 3.2=5.76面积：面积：2.9 2.1=6.09面积：面积：2.5 2.5=6.25长方形的周长一定时，长方形的周长一定时，当且仅当长宽相等时当且仅当长宽相等时面积最大。面积最大。（1）（2）（3）第16页/共26页你自己来尝试！墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？1010101066？分析：等量
11、关系是分析：等量关系是 变形前后周长相等变形前后周长相等解：设长方形的长是解：设长方形的长是 x 厘米，由题意得：厘米，由题意得：解得解得因此，小颖所钉长方形的长是因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是厘米，宽是10厘米。厘米。第17页/共26页开拓思维 把一块长、宽、高分别为把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的长方体铁块，浸入半径为铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）面将增高多少？（不外溢）相等关系：水面增高体积相等关系：水面增高体积=长方体体积长方体体积解：设水面增高解：设水面增高 x 厘米，由题意得
12、：厘米，由题意得：解得解得 因此，水面增高约为因此，水面增高约为0.9厘米。厘米。第18页/共26页 2.小明的爸爸想用小明的爸爸想用10米铁丝在米铁丝在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？棚的长和宽各是多少呢？铁丝铁丝墙面墙面xX+4第19页/共26页YOUR SITE HERE抓住变化过程中的不变量，列方程求解抓住变化过程中的不变量，列方程求解。一物体锻压或液体更换容器题，一物体锻压或液体更换容器题，体积（或容积）体积（或容积）不变。不变。二固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是二固定
13、长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的应抓住图形的总周长总周长不变。不变。三图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住三图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的图形的面积、体积面积、体积不变。不变。第20页/共26页讨讨 论论 题题 在一个底面直径为在一个底面直径为3cm，高为，高为22cm的量筒内装满的量筒内装满水，再将筒内的水到入底面直径为水，再将筒内的水到入底面直径为7cm，高为，高为9cm的烧的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。若能装下，求杯内水面的高度。若将烧杯中装满水倒
14、入量筒中，能否装下？若装若将烧杯中装满水倒入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？不下，杯内还剩水多高？第21页/共26页答答 案案解：解：所以，能装下。所以，能装下。设杯内水面的高度为设杯内水面的高度为 x 厘米。厘米。杯内水面的高度为杯内水面的高度为 4.04 厘米。厘米。第22页/共26页答答 案案解：解：因为因为所以，不能装下。所以，不能装下。设杯内还生水高为设杯内还生水高为 x 厘米。厘米。因此，杯内还剩水高为因此，杯内还剩水高为 4.96 厘米。厘米。第23页/共26页2 2、旧水箱容积=新水箱容积1 1、列方程的关键是正确找出等量关系。4 4、长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时(正方形），面积最大。3 3、线段长度一定时，不管围成怎样、线段长度一定时，不管围成怎样 的图形，周长不变的图形，周长不变课堂小结课堂小结:第24页/共26页设设 列列 根据等量关系列出方程。根据等量关系列出方程。解解解方程解方程检检 审清题意，审清题意，把有关的量用含有未知数的代数式表示把有关的量用含有未知数的代数式表示检验检验应用方程解决问题的一般步骤：应用方程解决问题的一般步骤：你学会了什么？你学会了什么？答答作答作答第25页/共26页谢谢您的观看！第26页/共26页