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1、 选择题 已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据交集定义求解 因为集合，所以，故选：B 选择题 已知复数，则（）A.5 B.C.13 D.【答案】B【解析】首先进行除法运算化简，再求模即可.因为，所以.故选：B 选择题 已知非零向量，给定，使得，则是 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析各个命题中向量，的关系，然后根据充分必要条件的定义确定，使得，则，共线，等价于，同向，因此 是 的必要不充分条件 故选：B 选择题 若，则（）A.4 B.3 C.-4 D.-3【答案】C【解析】对等式两边分别化简，然后可求值，
2、故选：C 选择题 已知双曲线的一条渐近线过点（2，1），则它的离心率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由点（2，1）在双曲线的渐近线 yx 上，得到 a2b，再根据e求解.因为（2，1）在双曲线的渐近线 yx 上，所以 a2b，即 a24b2，所以 e，故选：A.选择题 已知集合，从中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】根据诱导公式确定正弦值相等的角有几对，然后可计算出概率，因此 这一对正弦值相等，这三个中任取 2 个共有三对，它们正弦值相等，共有 4 对正弦值相等，而从 5 个角中任取 2 个有 10 种取法，概率为 故选：B 选择题 已知函数，且，则
3、、的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值 0 和 1 比较幂和对数的的大小，最后可得结论 由题意知是偶函数，由复合函数单调性知在上，函数单调递增，又，故选：D 选择题 近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只）1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表及图得到以下判断：羊只数量与草场植被指数成减函数关系；若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，去掉第一年数据后得到的相关系数为，则；可以
4、利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可 对于，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，错误；对于，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为，第一组数据是离群值，去掉后得到的相关系数为，其相关性更强，正确；对于，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数，只是预测值，错误；综上可知正确命题个数是 1 故选：B 选择题 已知圆锥的顶点为 A，高和底面的半径相等，BE 是底面圆的一条直径，点 D 为底面圆周上的一
5、点，且ABD60，则异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据圆锥高和底面的半径相等，且点 D 为底面圆周上的一点，ABD60，可知 D 为的中点，则以底面中心为原点，分别以 OD，OE，OA 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设底面半径为 1，求得向量，的坐标，代入公式 cos，求解.因为高和底面的半径相等，OEOBOA，OA底面 DEB.点 D 为底面圆周上的一点，且ABD60，ABADDB；D 为的中点 建立如图所示空间直角坐标系，不妨设 OB1.则 O（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0
6、），（0，1，1），（1，1，0），cos，异面直线 AM 与 PB 所成角的大小为.异面直线 AB 与 DE 所成角的正弦值为.故选：A.选择题 已知函数（），若函数的图象与直线在上有 3 个不同的交点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】利用二倍角公式化简所给函数解析式，则题意等价于方程在上有 3 个实根，利用正弦函数的图象与性质即可求得的范围.，的图象与直线在上有 3 个不同交点，即方程在上有 3 个实根，由得，所以，解得.故选：C 选择题 已知点，抛物线，为抛物线的焦点，为抛物线的准线，为抛物线上一点，过 做，点为垂足，过 作抛物线的切线，交 轴于点，则的最小值为（）A
7、.B.C.D.5 【答案】D【解析】求出焦点坐标，设，由导数知识得出切线斜率，计算斜率，结合抛物线定义得 为的垂直平分线这样，问题可转化为求抛物线上点到焦点和抛物线外一定点距离和的最小值 由已知，设，则过 的切线斜率为，点坐标为，根据抛物线定义有，为的垂直平分线，当且仅当共线时等号成立 故选：D 选择题 对于定义域为的函数，如果存在区间满足是上的单调函数，且在区间上的值域也为，则称函数为区间上的“保值函数”，为“保值区间”根据此定义给出下列命题：函数是上的“保值函数”；若函数是上的“保值函数”，则；对于函数存在区间，且，使函数为上的“保值函数”其中所有真命题的序号为（）A.B.C.D.【答案】
8、D【解析】根据函数单调性定义和“保值函数”的概念判断即可，结合函数的图象可得结论，由导数确定函数在是单调递增的，而方程有两个解（），构造新函数，由零点存在定理确定的零点即可 由“保值函数”定义可知为区间上的“保值函数”则在上是单调函数且在区间时其值域也为，那么当函数为增函数时满足条件在上有两个不同的实数解，的函数就是“保值函数”，命题中，虽满足在上单调但值域为，不是，故为假命题；中由的图象可知，函数在上单调且值域为，其为区间上的“保值函数”故为真命题；中，则由在成立，所以为上的增函数，再由解得有两个根，构造函数，是减函数，由零点存在性定理知存在，使成立，故为真命题综上所有真命题的序号为，故选：
9、D 填空题 已知函数，则_.【答案】4【解析】根据分段函数的定义域，先求，再求的值.函数，且，f（）2.故答案为：4.填空题 已知向量，满足，向量，夹角为，且，则向量_【答案】【解析】由垂直得数量积为 0，从而得，得，然后把模的运算转化为数量积运算即得 由得，即，故答案为：填空题 大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房.蜂房的结构如图所示，开口为正六边形 ABCDEF，侧棱 AA、BB、CC、DD、EE、FF相互平行且与平面 ABCDEF 垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成.瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学
10、方法设计自己的家园.英国数学家麦克劳林通过计算得到BCD1092816.已知一个房中 BB5，AB2，tan544408，则此蜂房的表面积是_.【答案】216【解析】表面积分两部分来求，一是底面，是三个全等的菱形，连接 BD，BD，易得 BDBD，BDBD6，再根据BCD1092816，tan544408，得到 OC，BC，可计算菱形的面积，二是侧面，是六个全等的直角梯形，由 BC，结合 BB，BC，得到 CC，求得梯形的面积，然后两部分相加即可.如图所示：连接 BD，BD，则由题意 BDBD，BDBD6，四边形 OBCD为菱形，BCD1092816，tan544408，OC226，BC3，C
11、CBB4，S 梯形 BBCC27，S 表面积63216.故答案为：216.填空题 在中，分别为角，所对的边，已知，点 是的内心，则_【答案】【解析】用余弦定理求得角，求出，从而得和，再在中应用正弦定理可得 由余弦定理得，同理，故，得，在中，由 正弦定 理，得 故答案为：解答题 在等差数列中，（）求数列的通项公式；（）设，为数列的前 项和，若，求的值【答案】（）；（）4【解析】（）由等差数列的基本量法求得通项公式；（）由（）得，用裂项相消法求得数列的前 项和，然后解方程可得 （）设等差数列的公差是，由，得：解得，所以（）由（），得到 解答题 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点 在面内的射影为
12、，点到平面的距离为，且直线与垂直 （）在棱上找一点，使直线与平面平行，并说明理由；（）在（）的条件下，求二面角的大小【答案】（）点为中点时直线与平面平行，证明详见解析；（）【解析】（）点为中点时，连接，交于点，可得，从而得线面平行；（）取中点，连接，利用已知垂直可证平面，从而有，得二面角的平面角为，它与互补，结论可得（）点为中点时直线与平面平行，证明：连接，交于点，则点为的中点，因为点为中点，故为的中位线，则，平面，平面，所以与平面平行 （）根据题意，底面，底面，则有，所以平面，由（）可知，又，所以，平面，平面，所以，取中点，连接，由于是中点，则，为二面角的平面角，其为钝角，那么，所成的角即为
13、二面角的补角，等腰直角中，因此二面角的大小为 解答题 甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进2019 年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为 0 表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相
14、应的频率分布直方图 （）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率；（）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记根据以上直方图，完成列联表：标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关?（）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异 附：0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（）0.6；（）列联表详见解析，
15、有的把握认为，数据标记“*与沙丘上插钎所布设的位置有关；（），该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异【解析】（）由频率分布直方图可得所求概率；（）由频率分布直方图填写列联表，计算，对照临界值表可得结论；（）由频率分布直方图计算出和，计算，可得结论（）设“坡腰处个插钎风蚀值小于 30”为事件 （）完成列联表如下：标记 不标记 合计 坡腰 30 20 50 坡顶 20 30 50 合计 50 50 100 根据列联表，计算得：所以有的把握认为，数据标记“*与沙丘上插钎所布设的位置有关 （），该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异 解答题 已知点 F 为椭圆（ab0）的一个焦点，点 A 为椭圆的
16、右顶点，点 B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为3，最小值为 1.（1）求椭圆的标准方程；（2）若 M、N 在椭圆上但不在坐标轴上，且直线 AM直线 BN，直线AN、BM 的斜率分别为 k1 和 k2，求证：k1k2e21（e 为椭圆的离心率）.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据椭圆上任意一点到点 F 距离的最大值为 3，最小值为 1，则有求解.（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），分别设直线 AM 的方程为 yk（x2），直线 BN 的方程为 ykx，与椭圆方程联立，用韦达定理求得点 M，N 的坐标，再利用斜率公式代入 k1k2 求解.（1）由题意
17、可知，解得，b2a2c23，椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，），设直线 AM 的斜率为 k，则直线 BN 的斜率也为 k，故直线 AM 的方程为 yk（x2），直线 BN 的方程为 ykx，由得：（3+4k2）x216k2x+16k2120，由得：，k1k2，又，k1k2e21.解答题 已知函数（aR 且 a0）.（1）当 a时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数 f（x）的单调性与单调区间；（3）若 yf（x）有两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）9lna.【答案】（1）x+y210.（2）答案不唯一，具体见解析（3
18、）证明见解析【解析】（1）根据 a，得到求导，再利用导数的几何意义求切线方程.（2）根据 f（x）2，由x2+2xa0，根据定义域，分124a0 且，a0，0，三种情况讨论求解.（3）根据 yf（x）有两个极值点 x1，x2，由（2）知，x2+2xa0 有两个正根 x1，x2，124a0，x1+x22，x1x2a0，然后将 f（x1）+f（x2）9lna，转化为 alnalnaa+20，a（0，3）成立，构造函数 g（x）xlnxlnxx+2，利用导数法求其最小值即可.（1）因为 a时，所以 f（x）2x，f（1）1，f（1）2，所以曲线 yf（x）在点（1，f（1）处的切线方程为：y2（x1
19、），即 x+y210.（2）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+），因为 f（x）2，由x2+2xa0 可得：124a0，即 a3 时，有 x1，x2，x1x2，当 a（0，3）时，满足 x1x20，所以有 x（0，x2）和（x1，+）时，f（x）0，即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+）上为减函数.又 x（x2，x1）时，f（x）0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数.当 a0 时，有 x10，x20，则 x（0，x1）时，f（x）0，f（x）为增函数；x（x1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；当 a3 时，0，f（x）0 恒成立，所以 f（x）在（0，+）为减函数，综
20、上所述，当 a0 时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+），f（x）为减函数；当 0a3 时，f（x）在区间（0，3）和（3，+）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当 a3 时，在（0，+）上，f（x）为减函数.（3）因为 yf（x）有两个极值点 x1，x2，则 f（x）0 有两个正根 x1，x2，即x2+2xa0有两个正根 x1，x2，可得：124a0，x1+x22，x1x2a0，即 a（0，3），所以 f（x1）+f（x2）2（x1+x2）aln（x1x2）（）+1alna+a+7，若要 f（x1）+f（x2）9lna，即要 alnalnaa+20，构造函数 g（x）xl
21、nxlnxx+2，则 g（x）1+lnx1lnx，且在（0，3）上为增函数，又 g（1）10，g（2）ln20，所以存在 x0（1，2），使得 g（x0）0，即 lnx0，且 x（1，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，x（x0，2）时，g（x）0，g（x）单调递增，所以 g（x）在（1，2）上有最小值 g（x0）x0lnx0 x0lnx0+23（x0），又因为 x0（1，2），则 x0（2，），所以 g（x0）0 在 x0（1，2）上恒成立，即 f（x1）+f（x2）9lna 成立.解答题 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴
22、的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为，曲线 C2 的直角坐标方程为.（1）若直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度；（2）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2 上，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）将直线 l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆 C1 的极坐标方程，转化为直角坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长.（2）将曲线 C2 的直角坐标方程转换为参数方程为（0），由 A（1，0），B（0，1），P（2cos，2sin），得到，的坐标，再利用数量积公式得到，然后用正弦函数的性质求解.（1
23、）直线 l 的参数方程为（t 为参数），消去参数，得直角坐标方程为 x+y10，因为曲线 C1 的极坐标方程为，所以 所以直角坐标方程为 x2+y22x+2y0，标准式方程为（x1）2+（y+1）22，所以圆心（1，1）到直线 x+y10 的距离 d，所以弦长|MN|2.（2）因为曲线 C2 的直角坐标方程为.所以 x2+y24，转换为参数方程为（0）.因为 A（1，0），B（0，1），点 P 在曲线 C2 上，故 P（2cos，2sin），所以，（0），所以，因为 所以，所以.解答题 已知函数 f（x）|x1|+|2x+2|，g（x）|x+2|x2a|+a.（1）求不等式 f（x）4 的解集
24、；（2）对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，求 a 的取值范围.【答案】（1）（2）4，0【解析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值，再分类解不等式 f（x）4.（2）根据对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，则 f（x）ming（x）min，由（1）知，f（x）min2，g（x）|x+2|+|x2a|+a|（x+2）（x2a）|+a|2a+2|+a，解不等式 2|2a+2|+a 即可.（1）因为，所以 f（x）4 即为或或，解得或 x1，所以不等式的解集为；（2）由（1）知，当 x1 时，f（x）min2，g（x）|x+2|+|x2a|+a|（x+2）（x2a）|+a|2a+2|+a，由题意，对x1R，x2R，使得 f（x1）g（x2）成立，故 f（x）ming（x）min，即 2|2a+2|+a，所以 解得4a0，所以实数 a 的取值范围为4，0.