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1、高三数学月考试题一、选择题1、设全集U=R，集合02|2xxxA，103xBxx，则集合 AeUB=（A）A 10|xxB 10|xxC20|xxD1|xx2、等差数列na中，nS是前 n 项的和，若205S，则432aaa（B ）A9 B 12 C 15 D 18 3、在ABC中，如果sin3 sinAC，30B =，那么角A等于（D ）A30B45C60D1204、若向量 a ， b 满足| |1ab，且 a b +b b =23，则向量 a ， b 的夹角为（C ）A30 B45 C60 D 905、一组合体三视图如右，正视图中正方形边长为 2，俯视图为正三角形及内切圆，则该组合体体积为
2、（C ）A23B43C5434327D23+436、已知直线a 、b和平面、，下面命题中的假 命题是（B ）A若/a，/，a，则/aB若/a，/b，/，则/abC若a，/b，/，则abD若a，b，则ab7、若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P 到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点” ，下列曲线中存在“F 点”的是（A）A122yxB1242522yxC11522yxD1151622yx8、给出如下四个命题：四个非零实数a 、b、 c 、d依次成等比数列的充要条件是adbc；设 a ，bR，且0ab，若1ab，则1ba；若2logfxx ，则fx是偶函数；若直线yxa与曲线2
3、194xxy有两个交点，则5a其中 错误 命题个数是（D ）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - A0 B1 C2 D3 二、填空题9、复数21ii所对应的点在 _象限1i（二象限）10、在ABC中，4B，10AC，25cos5C，则 BC 边的长是 _； 3211、已知点F 是双曲线22221xyab（0a，0b）的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于轴的直线与双曲线交于A、 B 两点，若 ABE 是直
4、角三角形， 则该双曲线的离心率是_ 答案： e2 12、若 满足2220 xyy的实数x ，y，使 不等式0 xym恒成 立，则 实数 m 的取值 范围是21，13、过抛物线22ypx（0p）的焦点 F 的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若2CBBF，且|AF|3，则此抛物线的方程为_23yx解析：点 F 到抛物线准线的距离为p，又由 |BC|2|BF|得，点 B 到准线的距离为|BF|，则|BF|BC|12，l 与准线夹角为30 ，则直线 l 的倾斜角为60 由 |AF|3，如图连结AHHC，EFAH ，则 AE3p，则 cos60 3p3，故 p32抛物线方程为y23x14、将编
5、号为1、 2、3 的三个小球，放入编号为1、2、 3、4 的四个盒子中，如果每个盒子中最多放一个球，那么不同的放球方法有种；24 如果 4 号盒子中至少放两个球，那么不同的放球方法有种10 三、解答题15、设函数2cos2sin3fxxx（）求函数fx的最大值和最小正周期；（）设 A，B，C 为ABC 的三个内角，若1cos3B，124Cf，且 C 为锐角，求sin A解: （1）2cos2sin3fxxx=1cos 213cos 2cossin 2sinsin 233222xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 所以函数fx 的最大值为132，最小正周期（2）2Cf=13sin22C=14，所以3sin2C，因为 C 为锐角，所以3C，又因为在ABC 中， cosB=13，所以2sin23B，所以2113223sinsinsincoscossin232326ABCBCBC16、已知三棱柱111ABCA B C的侧棱垂直于底面，90BAC，12ABAA，1AC，M，N分别是11A B，BC的中点（）证明：/M N平面11AC C A； （）试求线段MN 与平面 ABC 所成角的余弦值解： （空间向量）
7、依条件可知AB，AC，1AA两两垂直如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系AxyzA B B1 C C1 A1 M N x y z 依条件可知A B，AC，1AA两两垂直 . 如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系Axyz。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 根据条件容易求出如下各点坐标：(0, 0, 0)A，(0, 2, 0)B，(1,0, 0)C，1(0, 0, 2)A，1(0, 2, 2)B，1(1, 0, 2
8、)C，(0,1, 2)M，1(,1, 0)2N. （）因为(0, 2, 0)AB，1(1,0, 2)AC，因为1(,0,2)2M N，(0, 2, 0)AB，所以 M NAB10022002，从而 MNAB . 又因为(0, 2, 0)AB是平面11AC C A的一个法向量，且M N平面11AC C A，所以/M N平面11AC C A。（）12 0BC， -，0 2 0AB， ，设平面 ABC 的法向量是nxyz， ，由0n BC，0n AB知法向量可以是0 0 1n， ，它与向量1 022M N， ，的夹角满足：4cos17nM NM Nn，所以所求线面所成角的余弦值是117（逻辑推理）（
9、）如图作出 AC 的中点 D，连结 DN，A1DD，N 分别是 AC，BC 的中点DN/AB 且 DN=12AB ABC-A1B1C1是三棱柱AB/A1B1且 AB=A1BA 又 M 是 A1B1的中点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - A1M=12A1B1=12AB=DN DN/AB ， AB/A1B1DN/A1M 四边形A1DNM 是平行四边形MN/A1D （5 分）MN平面 ACC1A1A1D平面 ACC1A1
10、MN/ 平面 ACC1A1（7 分）（）如图作出 AB 的中点 F N，F 分别是 BC， AB 的中点NF/AC， NF=12AC=12（9 分）又 M 是 A1B1的中点MF/AA1， MF= AA1=2 （ 11 分）三棱柱111ABCA B C的侧棱垂直于底面MF面 ABC ， MFNF MNF 就是所求的线面所成角112cos11744N FM ENM N（13 分）17、已知数列na中，112a，且12nnaan其中 n=1，2，3；若11nnnbaa，（1）求证：数列nb是等比数列； （2）求数列na的通项na解： （1）12,nnaan12nnana，112a，2113224a
11、；12131311424baa；又1121(1)1122nnnnnananbaa1122nnnaab，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 112nnbb，数列nb是以34为首项、以12为公比的等比数列（2）由（ 1）得11313()422nnnb，11nnaa132n，11312nnnaa，212312aa，323312aa，434312aa，1312nnnaa；将以上1n个等式相加，得2112311(1)11122
12、(1)3()13122212nnnaann，112a，1333122222nnnann18、已知函数1ln1xfxxxa，其中实数1a （1）若2a，求曲线在点（0，0f）处的切线方程； （2）若 fx 在1x处取得极值，试讨论fx的单调性解： （）22111111xaxafxxxxaxa当2a时，22117001402f，而102f，因此曲线yfx在点00f，处的切线方程为17024yx即0247yx （或写成7142yx）（）1a，由（）知21111111121afaa，即02111a，解得3a此时1ln13xfxxx，其定义域为1 33，且2217211331xxfxxxxx，由0fx得
13、1217xx，当11x或7x时，0fx；当71x且3x时，0fx由以上讨论知，fx 在区间1 1， 7，上是增函数，在区间1 3， 3 7，上是减函数19、已知抛物线xyC4:2，直线bkxyl :与 C 交于 A，B 两点， O 为坐标原点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - （1）当1k，且直线l过抛物线C 的焦点时，求| AB的值；（2）当直线OA，OB 的倾斜角之和为45时，求k，b之间满足的关系式，并证明直线
14、l过定点解： （1）抛物线xyC4:2的焦点为（ 1， 0）由已知yl :=1x，设11Axy，22Bxy，联立142xyxy，消y得0162xx，所以621xx，121xx222212121|2ABxxyyxx22211248xxx x（2）联立bkxyxy42，消 x 得0442byky,（* ） （依题意k0）kyy421，kbyy421，设直线 OA，OB 的倾斜角分别为， ，斜率分别为1k ，2k，则 +=45，tantan 45 ，112121kkkk其中11114yxyk，224yk，代入上式整理得1212164y yyy所以kkb16164，即44kb，此时，使（ * ）式有解
15、的k，b有无数组直线l的方程为44kkxy，整理得44kxy消去0404yx，即44yx时44kxy恒成立，所以直线l过定点（ -4，4）20、 已 知 半 椭圆222210 xyxab与 半 椭 圆222210yxxbc组 成 的 曲 线 称 为“ 果 圆 ” ， 其 中222abc，0a，0bc，如图，设点0F，1F，2F是相应椭圆的焦点，1A，2A和1B，2B是“果园”与 x ，y轴的交点（1）若三角形012F F F是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
16、 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - （2）若1212A AB B，求ba的取值范围；（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点， 得到的弦的中点的轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值； 若不存在， 说明理由解： （1） F0（ c ，0） ，F1（0，22cb） ，F2（0，22cb）| F0F1 |2221bccb，| F1F2 |1222cb于是432c，47222cba，所求“果圆”方程为17422yx（x0） ，13422xy（x 0） （2）由题意，得ac2b，即
17、abba222（ 2b）2b2c2，不等式两边可以平方，即a2b2（ 2ba）2，得54ab又 b2c2a2b2，2122ab2425ba，（3）设“果圆”的方程为12222byax（ x0）22221yxbc（x0）记平行弦的斜率为k当 k0 时，直线yt（ b tb）与半椭圆12222byax（x0）的交点是),1(22tbtap，与半椭圆12222axby（x0）的交点是Q（tbtc,122） P、Q 的中点 M（x，y）满足tybtcax2212名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
18、 - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 得22221()2xyacba 2b，02222)2(22bcabcabca综上所述，当k0 时， “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆当 k0 时，以 k 为斜率过B1的直线 l 与半椭圆12222byax（x0）的交点是),2(2223222222bakbbakbakbka由此，在直线l 右测，以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线22byxk上，即不在某一椭圆上当 k0 时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -