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1、 选择题 已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】根据集合的基本运算即可求解.解：，则 故选：D.选择题 已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得 的坐标得出答案.解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.选择题 已知向量，且 与 的夹角为，则（）A.B.1 C.或 1 D.或 9【答案】C【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求 的值.解：由题意可得，求得，或，故选：C.选择题 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2 D.4 【答案】A【解析】由倾
2、斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.解：设双曲线的半个焦距为，由题意 又，则，所 以 离 心 率，故选：A.选择题 为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为 5 分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（）A.乙的数据分析素养优于甲 B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养 C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数据分析最差【答案】C【解析】根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.根据雷达图得到如下数据：数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数
3、据分析 甲 4 5 4 5 4 5 乙 3 4 3 3 5 4 由数据可知选 C.选择题 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积.解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为下面为一个半球，上面为一个直三棱锥体构成的组合体.如图所示：下面的球的半径为 2，直三棱锥的底面为腰长为 2 的等腰直角三角形，高为 2，故.故选：A.选择题 若函数在处有极值，则在区间上的最大值为（）A.B.2 C.1 D.3 【答案】B【解析】根据极值点处的导数为零先求出的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即
4、可.解：由已知得，经检验满足题意.，.由得；由得或.所以函数在上递增，在上递减，在上递增.则，由于，所以在区间上的最大值为 2.故选：B.选择题 将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.解：把函数图象向右平移个单位长度后，可得的图象；再根据得到函数的图象关于直线对称，函数.在上，故，即的值域是，故选：D.选择题 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于 2 的偶数都可以表示为两个素数的和，例
5、如：，那么在不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】先求出从不超过 18 的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于 16 的结果，根据等可能事件的概率公式可求.解：不超过 18 的素数有 2，3，5，7，11，13，17 共 7 个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于 16 的结果，共 2 种等可能的结果，故概率.故选：B.选择题 甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6、【答案】C【解析】分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎
7、，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.综上所述，年纪最大的是丙 故选：C.选择题 已知三棱锥的体积为 2，是边长为 2 的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】根据是中点这一条件，将棱锥的高转化为球心到平面的距离，即可用勾股定理求解.解：设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三 棱 锥的 体 积，解 得，作平面，垂足为的外心，所以，且，所以在中，此为球的半径，.故选：A.选择题 已知函数，若所有点，所构成的平面区域面积为，
8、则（）A.B.C.1 D.【答案】D【解析】依题意，可得，在上单调递增，于是可得在上的值域为，继而可得，解之即可.解：，因为，所以，在上单调递增，则在上的值域为，因为所有点所构成的平面区域面积为，所以，解得，故选：D.填空题 若，则_.【答案】【解析】直接利用诱导公式和三角函数关系式的恒等变换的应用求出结果.解：，所以，故.故答案为：.填空题 的展开式中的常数项为_.【答案】160【解析】先求的展开式中通项，令 的指数为 3 即可求解结论.解：因为的展开式的通项公式为：；令，可得；的展开式中的常数项为：.故答案为：160.填空题 已知 F 为抛物线 C：x28y 的焦点，P 为 C 上一点，M
9、（4，3），则PMF 周长的最小值是_.【答案】5【解析】PMF 的周长最小，即求最小，过 做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.如图，F 为抛物线 C：x28y 的焦点，P 为 C 上一点，M（4，3），抛物线 C：x28y 的焦点为 F（0，2），准线方程为 y2.过 作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以PMF 的周长最小值为 55.故答案为：5.填空题 在中，角的对边分别为，且，若外接圆的半径为，则面积的最大值是_.【答案】【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围可求 的值，利用正弦定理可求 的值，进而根据余弦定理，
10、基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.解：，由正弦定理可得：，又，即，可得：，外接圆的半径为，解得，由余弦定理，可得，又，（当且仅当时取等号），即最大值为4，面积的最大值为.故答案为：.解答题 已知公比为正数的等比数列的前 项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 项和.【答案】（1）（2）【解析】（1）判断公比 不为 1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和.解：（1）设公比 为正数的等比数列的前 项和为，且，可得时，不成立；当时，即，解得（舍去），则；
11、（2），前 项和，两式相减可得，化简可得.解答题 为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在的范围内，规定分数在 50 以上（含 50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中构成以 2 为公比的等比数列.（1）求的值；（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？文科生 理科生 合计 获奖 6 不获奖 合计 400 （3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取 2 名学生，记
12、“获得优秀作文”的学生人数为，求的分布列及数学期望.附：，其中.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），.（2）填表见解析；在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关（3）详见解析【解析】（1）根据频率分步直方图和构成以 2 为公比的等比数列，即可得解；（2）由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表，再用的计算公式运算即可；（3）获奖的概率为，随机变量，再根据二项分布即可求出其分布列与期望.解：（1）由频率
13、分布直方图可知，因为构成以 2 为公比的等比数列，所以，解得，所以，.故，.（2）获奖的人数为人，因为参考的文科生与理科生人数之比为，所以 400 人中文科生的数量为，理科生的数量为.由表可知，获奖的文科生有 6 人，所以获奖的理科生有人，不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下：文科生 理科生 合计 获奖 6 14 20 不获奖 74 306 380 合计 80 320 400 所以在犯错误的概率不超过 0.01 的情况下，不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.（3）由（2）可知，获奖的概率为，的可能取值为 0，1，2，分布列如下：0 1 2 数学期望为.解答题 如图，在四棱锥中
14、，底面为菱形，底面，.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由底面为菱形，得，再由底面，可得，结合线面垂直的判定可得平面；（2）以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值.（1）证明：底面为菱形，底面，平面，又，平面，平面；（2）解：，为等边三角形，.底面，是直线与平面所成的角为，在中，由，解得.如图，以点为坐标原点，以所在直线及过点且垂直于平面的直线分别为轴 建立空间直角坐标系.则
15、，.，.设平面与平面的一个法向量分别为，.由，取，得；由，取，得.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.解答题 已知椭圆的上顶点为，圆与 轴的正半轴交于点，与有且仅有两个交点且都在轴上，（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，不过点且斜率为的直线 与椭圆交于两点，证明：直线与直线的斜率互为相反数.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据条件可得，进而得到，即可得到椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立，分别表示出直线和直线斜率，相加利用根与系数关系即可得到.解：（1）圆与有且仅有两个交点且都在 轴上，所以，又，解得，故椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，联立，整理可得，则，解得，设
16、点，则，所以，故直线与直线的斜率互为相反数.解答题 已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，证明.【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间（2）证明见解析【解析】（1）求导，根据导数的正负判断单调性，（2）整理，化简为，令，求的单调性，以及，即证.解：（1）函数定义域为，则，令，则，当，单调递减；当，单调递增；故，故函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（2）证明，即为，因为，即证，令，则，令，则，当时，所以在上单调递减，则，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以要证原不等式成立，只需证当时，令，可知对于恒成立，即，即，故，即证，故原不等式得证.解答题 已知直线 的参数方程为（为参数），
17、以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线 的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线 与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用（1）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.解：（1）直线 的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为，转换为直角坐标方程为.（2）直线 的参数方程为（为参数），转换为标准式为（为参数），代入圆的直角坐标方程整理得，所以，.解答题 已知，证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先 由 基 本 不 等 式 可 得，而，即得证；（2）首先推导出，再利用，展开即可得证.证明：（1），（当且仅当时取等号）.（2），.