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1、2022-2023 学年人教版九年级数学下册28.2 解直角三角形及其应用 应用解答题专题提升训练（附答案）1某小区准备购入一架滑梯供小区儿童使用，物业选定了左图的滑梯，但受小区儿童区域场地的限制，需知晓滑梯的水平长度 滑梯的截面如右图所示，已知梯子 AE 长度为 3m，坡度为 57，顶台 DEAB，且长度为 1m，滑坡 BD 的坡度 i1：3.2，滑梯的缓冲长度BC 为 1.5m，求滑梯的水平长度 AC（结果精确到 0.1m 参考数据：sin570.84，cos570.55，tan571.54）2如图是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡 AB 的长为 18m，它的坡角为 45为了提高该堤的防洪能
2、力，现将背水坡改造成坡度为的斜坡 AD，在 CB 方向距点 B 处 9m处有一座房屋（参考数据；）（1）求DAB 的度数；（2）在背水坡改造的施工过程中，此处房屋是否需要拆除？3如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点 A 为梯步顶端，点 C 为梯步底端，AB 垂直于水平地面BC，并测得ACB40，CB5 米 要使改建后的梯步与水平面的夹角ADC36，求梯步底端向外延伸的长度 DC（精确到 0.1 米，sin360.588，tan360.727，cos400.766，tan400.839）4如图，沿 AC 方向开山修路为了加快
3、施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC上的一点 B 取ABD120，BD400 米，D30那么另一边开挖点 E 离 D 多远正好使 A、C、E 三点在一直线上（1.732，结果精确到 1 米）？5高淳固城湖大桥采用 H 型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图测得拉索 AB 与水平桥面的夹角是 45，拉索 CD 与水平桥面的夹角是 65，两拉索顶端的距离 AC 为 2 米，两拉索底端距离 BD 为 10 米，请求出立柱 AH 的长（结果精确到 0.1米）（参考数据：sin650.91，cos650.42，tan652.14）6如图，某水库大坝的横截面是梯形，其迎水坡 AD
4、的坡比为 4：3，背水坡 BC 的坡比为1：2，大坝的高为 20m，坝顶 CD 的宽为 10m求大坝横截面的周长 7 如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 0.1m）参考数据：1.414，1.732 8浮式起重机是海上打捞、海上救援和海上装卸的重要设备（如图），某公司的浮式起重机需更换悬索，该公司设计了一个数学模型（如图），测量知，A30，C49，AB60m请你利用以上数据，求出悬索 AC 和支架 BC 的长（结果取整数）参考数据：1.73，sin490.75，cos490.66，tan491.15 9 如图，AE 是位于公路边的电线杆，高为 12m，为了使
5、拉线 CDE 不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根为 6m 的水泥撑杆 BD，用于撑起电线已知两根杆子之间的距离为 8m，电线 CD 与水平线 AC 的夹角为 60求电线 CDE 的总长 L（A、B、C 三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）10如图，我市常璩广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40夹角，且 DB5m，在 C 点上方 E 处加固另一条钢缆 ED，钢缆 ED 与地面夹角为 60，现在要在 EC处放置一个广告牌，请问广告牌 EC 的高度为多少？（sin400.6，cos400.8，tan400.8）11如图，放置在水平桌面上的台灯的灯
6、臂 AB 长为 40cm，灯罩 BC 长为 30cm，底座厚度为 2cm使用时发现：光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 25，求光线最佳时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CD 的长【参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47】12济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为 6 米，坡面 BC 的坡度为 1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 1：（1）求新坡面的坡角；（2）原天桥底部正前方 7 米处（PB 的长）有一文化墙 PM，若新坡面下 A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由（约为1.73
7、2）13如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由 45降为 30，已知原滑滑梯 AB 的长为 5m，点 D，B，C 在同一水平地面上（1）改善后滑滑梯会加长多少？（精确到 0.01m）（2）若滑滑梯的正前方能有 3m 长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有 6m 长的空地，像这样改造是否可行？说明理由（参考数据：1.414，1.732，2.449）14如图，身高 1.75m 的小丽用一个两锐角分别为 30和 60的三角尺测量一棵树的高度（A30），已知她与树之间的距离为 5m，那么这棵树大约有多高？（结果精确到0.1m）15一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 4
8、5夹角，且 BD5m，现再在 C 点上方2m 处加固另一根钢缆 ED，那么钢缆 ED 的长度为多少？（结果保留根号）16 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离 MBm 米，梯子的倾斜角度MCB45若梯子斜靠在对面墙上，梯子的倾斜角度NCA60试求该房间的宽和梯子的长度 17 如图，在一个坡角为 30的斜坡上有一棵树，高为 AB，当太阳光与水平面 75角时 测得该树坡上的树影 BC 的长为 4（）米求树高 18如图，为迎接全国文明城市检查，某单位准备在一斜坡 EF 上安装衣服悬挂“社会主义核心价值观”宣传牌的金属架 ACB，若 CA 与地面垂直，斜坡的坡角E30，C
9、45，小王测得从 A 到 B 的距离是 5m，已知每米金属架 106 元，请你帮该单位算一下安装这副金属架共需多少元（参考数据：1.414，1.732，2.236，2.449，结果保留整数）19海绵城市是新一代城市雨洪管理概念，下雨时通过植被、下沉式绿地、渗透塘等设施吸水、蓄水、渗水、净水，需要时将蓄存的水“释放”并加以利用我市是全国首批 16 个海绵城市建设试点城市之一，其中位于梦溪路与滨水路交界处的海绵主题公园，既是周边汇水区雨洪管理的一个有机模块，也是立体化展示海绵技术的科普公园，园区内有一块下沉式绿地（四边形 ABCD），经测量，ABCD，ABBC20 米，B60，D45，求该绿地边界
10、的周长（结果保留根号）20倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图 1 所示，该自行车的车轮半径为 30cm，图 2 是该自行车的车架示意图，立管 AB27cm，上管 AC36cm，且它们互相垂直，座管 AE 可以伸缩，点 A，B，E 在同一条直线上，且ABD75（1）求下管 BC 的长；（2）若后下叉 BD 与地面平行，座管 AE 伸长到 18cm，求座垫 E 离地面的距离（结果精确到 1cm，参考数据 sin750.97，cos750.26，tan753.73）参考答案 1解：作 MEAC 于 M，DNAC 于 N，则四边形 MNDE
11、为矩形，则 MNDE1，EMDN，在 RtAEM 中，EAM57，AE3，EMAEsin5730.842.52（m），AMAEcos5730.551.65（m），在 RtDNB 中，i1：3.2，即，BN2.523.28.064（m），又BC1.5m，ACAM+MN+NB+BC1.65+1+8.064+1.512.21412.2（m），答：AC 的长度约为 12.2m 2解：（1）坡度为的斜坡 AD，tanADC，ADC30，DAC60，AB 的坡角为 45，BACABC45，DAB604515；（2）AB18m，BACABC45，BCAC189（m），tan30，解得：DC9，故 DBDCB
12、C999.324（米），9.3249，在背水坡改造的施工过程中，此处房屋需要拆除 3解：由题意可得：tan400.839，解得：AB4.195，tan360.727，DB5.77（米），故 DCDBBC5.7750.8（米），答：梯步底端向外延伸的长度约为 0.8 米 4解：ABD120，D30，AED1203090，在 RtBDE 中，BD400m，D30，BEBD200m，DE200346（m），答：另一边开挖点 E 离 D346m，正好使 A，C，E 三点在一直线上 5解：设 AH 的长为 x 米，则 CH 的长为（x2）米 在 RtABH 中，AHBHtan45，BHx，DHBHBDx
13、10；在 RtCDH 中，CHDHtan65，x22.14（x10），解得：x17.0117.0 答：立柱 AH 的长约为 17.0 米 6解：DE20m，DE：AE4：3，AE15m，AD25（m），CFDE20m，CF：BF1：2，BF40m，BC20（m），则周长 CAD+DC+BC+AB（100+20）m，答：大坝横截面的周长为（100+20）m，7解：在 RtCDE 中，sinC，cosC DEsin30DC147（m），CEcos30DC14712.12412.12，四边形 AFED 是矩形，EFAD6m，AFDE7m 在 RtABF 中，B45 DEAF7m，BCBF+EF+EC
14、7+6+12.1225.1225.1（m）答：该坝的坝高和坝底宽分别为 7m 和 25.1m 8解：过点 B 作 BDAC 于点 D，A30，AB60，BDAB30，ADBD30，在 RtCBD 中，tan49，sin49，CD26，BC40，ACAD+CD78 9解：作 DFAE 于点 F，则四边形 ABDF 是矩形DFAB8（米），EFAEAFAEBD1266（m）在直角DEF 中，DE10（m）在直角BCD 中，sinDCB，则 DCBD4（m）则电线 CDE 的总长 LDE+DC10+4（m）答：电线 CDE 的总长 L 是（10+4）m 10解：在 RtCDB 中，tanBDC，BC
15、BDtan404，在 RtBDE 中，tanBDE，BEBDtanBDE5，CEBEBC4.66（m），答：广告牌 EC 的高度约为 4.66m 11解：由题意得：ADCD，过点 B 作 BFCE，BGEA，灯罩 BC 长为 30cm，光线最佳时灯罩 BC 与水平线所成的角为 25，CFFB，即三角形 CFB 为直角三角形，sin25，CF300.4212.6（cm），CDCF+FD+2CF+AB+212.6+40+254.6（cm）答：光线最佳时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CD 的长 54.6cm 12解：（1）作 CHAB 于 H，如图，在 RtACH 中，tanCAH，CAH30，即新坡
16、面的坡角 为 30；（2）文化墙需要拆除 理由如下：tanCBH，BHCH6 米，AHCH610.392（米），ABAHBH664.392（米），3+4.3927，文化墙需要拆除 13解：（1）RtABC 中，ACABsin45（m），RtADC 中，BCABcos45（m），AD5（m），ADAB2.07（m）改善后滑滑梯会加长 2.07 m；（2）这样改造能行 在直角ACD 中，CD（m），因为 CDBC2.59（m），而 632.59 因此，像这样改造是可行的 14解：由题意可得：tan30，解得：CD2.89（m），故 CEDC+DE2.89+1.754.6（m），答：这棵树大约有 4
17、.6m 15解：在 RtBCD 中，CBD90，CDB45，BD5，BCBD5 在 RtBED 中，EBD90，BEBC+CE5+27，BD5，ED（m）答：钢缆 ED 的长度为m 16解：CBMB，BCM45，BMC45，MBm 米，CBm 米，MCm 米，NCCM，NCm 米，NCA60，ANC30，ACm 米，ABAC+BCm+mm（米）；答：该房间的宽是m 米，梯子的长度是m 米 17 解：过点 B 作 BEAC 于 E，以 B 为顶点，BE 为一边，在ABE 的内部作EBN60，交 AE 于 N D30，AMH75，DCMAMHD45，ECBDCM45 在 RtBCE 中，BEC90
18、，ECB45，BC4（1），BECEBC22，在 RtBNE 中，BEN90，EBN60，BNE30，ENBE62，BN2BE42，BNE30，A90AMH15，ABNBNEA15，ANBN44，在 RtABE 中，BEA90，BE22，AE2+2，AB8（米），答：树高为 8 米 18解：延长 CA 至 D，则 CDED，作 BGAC，E30，CAB60，则ABG30，AB5，AGAB，C45，CGBGAG，BCBG，AC+BCAG+CG+BC+2.5+4.33+6.1212.95 米，安装这副金属架共需 12.951061373 元 19解：连接 AC，过点 A 作 AECD，垂足为 E，
19、ABBC，B60，ABC 是等边三角形，ACBC20 米，ACB60，ABCD，BCD180B120，ACDBCDACB60，在 RtACE 中，AEACsin602010（米），CEACcos602010（米），在 RtAED 中，D45，DE10（米），AD10（米），AB+BC+CD+AD20+20+10+10+10（50+10+10）米，该绿地边界的周长为（50+10+10）米 20解：（1）BAAC，BAC90，在 RtABC 中，AB27cm，AC36cm，BC45（cm），下管 BC 的长为 45cm；（2）过点 E 作 EFBD，垂足为 F，AE18cm，AB27cm，BEAE+AB45cm，在 RtBEF 中，ABD75，EFBEsin75450.9743.65（cm），座垫 E 离地面的距离43.65+3074（cm），座垫 E 离地面的距离约为 74cm