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1、2022-2023 学年人教版九年级数学下册第 27 章 相似 解答题专题训练（附答案）1已知 x：y3：2，y：z0.3：，求 x：y：z 2说说理由已知线段 a、b、c、d（bd，b+d0），如果，那么成立吗？为什么？3李明、王超、张振家及学校的位置如图所示（精确到 1 度，1 米）（1）学校在王超家的北偏东 度方向上，与王超家大约 米（2）王超家在李明家 方向上，与李明家的距离大约是 米 4如图已知：ABC 中，F 分 AC 为 1：2 两部分，D 为 BF 中点，AD 的延长线交 BC 于 E，求：BE：EC 5（1）我们知道，将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP、PB，使 AP
2、PB，点 P 把线段AB 分成两条线段 AP 和 BP，且，点 P 就是线段 AB 的黄金分割点，此时的值为 （填一个实数）：（2）如图，RtABC 中，B90，AB2BC，现以 C 为圆心、CB 长为半径画弧交边 AC 于 D，再以 A 为圆心、AD 长为半径画弧交边 AB 于 E 求证：点 E 是线段 AB 的黄金分割点 6在ABC 中，ABAC1，A36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D（1）求证：AD2ACCD；（2）求线段 AD 的长 7如果一个矩形的宽长之比（1）：2 时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形 ABCD 是黄金矩形且，将矩形 ABCD 剪裁掉一个正方形 AD
3、EF 后，剩余的四边形 BCEF 是否是黄金矩形？请说明理由 8如图：矩形 ABCD 的长 AB30，宽 BC20（1）如图（1）若沿矩形 ABCD 四周有宽为 1 的环形区域，图中所形成的两个矩形 ABCD与 ABCD相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形 ABCD 与 ABCD相似？9如图，在ABC 中，AB10cm，BC20cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2cm/s的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿边 BC 以 2cm/s 的速度移动如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，经过几秒钟后，以点 P、B、Q 三点为顶点的三角形与ABC
4、相似？10 在ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 是 BC 边上一点，过点 D 作ADE45，DE 交 AC 于点 E，求证：ABDDCE 11如图，在ABC 中，AB8cm，BC16cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 4cm/s 的速度移动如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，经过几秒钟PBQ 与ABC 相似？12如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、CD 上（F 不与 C 重合），且BEF90（1）ABE 与DEF 相似吗？为什么？（2）当点 E 位于 AD 上何处时，ABE、BE
5、F、DEF 这三个三角形都相似？（3）当ABE、BEF、DEF、CBF 这四个三角形都相似时，求及的值 13阅读理解：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线（1）如图 1，在ABC 中，CD 为角平分线，A40，B60，求证：CD 为ABC 的完美分割线（2）在ABC 中，A48，CD 为ABC 的完美分割线，且ACD 为等腰三角形，求ACB 的度数 14如图，在ABC 中，ABAC，ADEABC，连接 BD，CE（1）
6、判断 BD 与 CE 的数量关系，并证明你的结论；（2）若 AB3，AD3，BAC105，CAD30 BD 的长为 ；点 P，Q 分别为 BC，DE 的中点，连接 PQ，写出求 PQ 长的思路 15如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5cm，BAC60，动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒cm 的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒（0t5），连接 MN（1）若 BMBN，求 t 的值；（2）若MBN 与ABC 相似，求 t 的值 16如图，在扇形 OAB 中，AOB90，OA12，点
7、 C 在 OA 上，AC4，点 D 为 OB的中点，点 E 为弧 AB 上的动点，OE 与 CD 的交点为 F（1）当四边形 ODEC 的面积 S 最大时，求 EF；（2）求 CE+2DE 的最小值 17如图，在正方形 ABCD 中，AB，BC 的中点分别为 E，F，连接 DE，AF 交于点 G，连接 CG，CH 平分DCG 交 DE 于 H（1）探索 AF 与 DE 的关系；（2）求证：点 H 为 DG 中点；（3）求的值 18如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C 为圆周上一点，D 为线段 OB 内一点（不是端点），满足 CDAB，DECO，垂足为 E若 CE10，且 AD 与 DB 的长
8、均为正整数，求线段AD 的长 19如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，点 B，点 C 均落在格点上（）计算 AB 的长等于 （）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个ADE，使ADEABC，且满足点 D 在 AC 边上，点 E 在 AB 边上，AE2（保留作图痕迹不要求证明）20如图，矩形 ABCD在矩形 ABCD 的内部，ABAB，ADAD，且 AD12，AB6，设 AB 与 AB、BC 与 BC、CD 与 CD、DA 与 DA之间的距离分别为 a，b，c，d，（1）abcd2，矩形 ABCD矩形 ABCD 吗，为什么？（2）若矩形 ABCD矩形 ABCD
9、，a，b，c，d 应满足什么等量关系？请说明理由 21小颍想利用标杆和皮尺测量自己小区大门口前遮雨玻璃水平宽度 AB，他在楼门前水平地面上选择一条直线 CH，ABCH，在 CH 上距离 C 点 8 米的 D 处竖立标杆 DE，DECH，他沿着 DH 方向走了 2 米到点 N 处，发现他的视线从 M 处通过标杆的顶端 E 正好落在遮雨玻璃的 B 点处，继续沿原方向再走 2 米到点 Q 处，发现他的视线从 P 处通过标杆的顶端 E 正好落在遮雨玻璃的 A 点处，求遮雨玻璃的水平宽度 AB 22已知，DEF 是ABC 的位似三角形（点 D、E、F 分别对应点 A、B、C），原点 O 为位似中心，DE
10、F 与ABC 的位似比为 k（1）若位似比 k，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出DEF；（2）若位似比 km，ABC 的周长为 C，则DEF 的周长 ；（3）若位似比 kn，ABC 的面积为 S，则DEF 的面积 参考答案 1解：x：y3：2，x3k，y2k，y：z0.3：，2k：z0.3：，zk，x：y：z3k：2k：k9：6：10 2解：如果，那么成立理由如下：设k，则k，由等比性质得：k，k，故当时，3解：（1）35 在地图上，学校与王超之间的距离是 1.6cm设实际距离是 xcm则 1.6：x1：100000，解得 x160000cm1600 米（2）北偏西 32 度 在地图上，王
11、超家与李明家的距离是 1cm，设实际距离是 ycm则 1：y1：100000 解得 y100000cm1000 米 注：数字接近均可 4解：过 F 作 FOBC 交 AE 于 O，则FODBED，D 为 BF 中点，FDBD，在FDO 和BDE 中 FDOBDE，FOBE，FOBC，AOFAEC，AF：FC1：2，5解：（1）设 AB 长为 1，P 为线段 AB 上符合题意的一点，APx，则 BP1x，根据题意得，解得，（舍去），故，故答案为：；（2）设 BCa，则 AB2a，则 ACa，由题意得，CDBCa，AEADaa，BEABAE3aa，即点 E 是线段 AB 的黄金分割点 6证明：（1
12、）ABAC1，A36，ABCC72 BD 平分ABC，CBDABD36，BDCC72 ADBDCD，CBDA，CC CBDCAB BC2ACCD，即 AD2ACCD；（2）由（1）得，点 D 是 AC 的一个黄金分割点，AD 7证明：设矩形 ABCD 的长为 x，四边形 ABCD 为黄金矩形，宽 BC 为x，四边形 AEFD 是正方形，BExxx，BE 与 BC 的比是黄金比，剩下的矩形 BCFE 也是一个黄金矩形 8解：（1）不相似，理由如下：AB30，AB28，BC20，BC18，而，图中两个矩形不相似；（2）矩形 ABCD 与 ABCD相似，则，则：，解得 x1.5，或，解得 x9 综上
13、所述，x1.5 或 9 时，图中的两个矩形相似 9解：设经 x 秒钟PBQ 与ABC 相似，则 AP2xcm，BQ2xcm，AB10cm，BC20cm，BPABAP（102x）cm，B 是公共角 当，即时，PBQABC，解得 x；当，即时，QBPABC，解得 x 经或秒时，以点 P、B、Q 三点为顶点的三角形与ABC 相似 10证明：如图所示：BAC90，ABAC，ABC 为等腰直角三角形，BC45，1+2180B135，ADE45，2+3135，13，BC，ABDDCE 11解：设在开始运动后第 x 秒，BPQ 与BAC 相似，由题意得：AP2xcm，PB（82x）cm，BQ4x，分两种情况
14、考虑：当BPQC，BB 时，PBQCBA，即 解得：x0.8，当 x0.8 秒时，BPQ 与BAC 相似；当BPQA，BB 时，BPQBAC，即，解得：x2，当 x2 秒时，BPQ 与BAC 相似 综上，当 x0.8 秒或 2 秒时，BPQ 与BAC 相似 12解：（1）ABE 与DEF 相似，理由如下：四边形 ABCD 是矩形，AD90，BEF90，ABE+AEBDEF+AEB90，ABEDEF，ABEDEF；（2）当点 E 位于 AD 中点时，ABE、BEF、DEF 这三个三角形都相似，理由如下：作 EGBF 于 G，EBFABE，ABEEBF，A90，EGEA，同理可得：EDEG，AEE
15、D，即 E 是 AD 的中点（3）如图 2，当CBFEBFABEDEF 时，CBFEBFABEDEF30，AEAB，由（2）知：AD2AEAB，DFAEABAB，CDAB，DFCD，13（1）证明：A40，B60，ACB180AB80，ABACB，ABC 不是等腰三角形 CD 平分ACB，ACDBCDACB40，ACDA40，ACD 为等腰三角形 DCBA40，CBDABC，BCDBAC，CD 是ABC 的完美分割线（2）解：如图 3 所示，当 ADCD 时，ACDA48，根据完美分割线的定义，可得BDCBCA，BCDA48，则ACBACD+BCD96 如图 4 所示，当 ADAC 时，ACD
16、ADC66，根据完美分割线的定义，可得BDCBCA，BCDA48，ACBACD+BCD114 如图 5 所示，当 ACCD 时，ADCA48 BDCBCA，BCDA48，根据完美分割线的定义，可得BDCBCA，BCDA48，这与ADCBCD 矛盾，所以图 5 的情况不符合题意 综上所述，ACB 的度数为 96或 114 14解：（1）结论：BDCE，理由：ADEABC，BACDAE，BAC+CADCAD+DAE，即BADCAE，在ABD 与ACE 中，ABDACE（SAS），BDCE；（2）如图 1 中，作 DHBA 交 BA 的延长线于 H BADBAC+DAC135，DAH45，H90，A
17、D3，AHDH3，在 RtBDH 中，BD3，故答案为：3；（2）如图 2 中，连接 PQ，AQ，AP，作 QHPA 交 PA 的延长线于 H 在 RtABP 中，APABsin37.5，在 RtAQD 中，AQADsin37.5，在 RtAHQ 中，根据HAQ45，可得 AHHQAQ，求出 HQ，PH，根据 PQ计算即可 15解：（1）在 RtABC 中，ACB90，AC5，BAC60，B30，AB2AC10，BC5 由题意知：BM2t，CNt，BN5t，BMBN，2t5t，解得：t1015（2）分两种情况：当MBNABC 时，则，即，解得：t 当NBMABC 时，则，即，解得：t 综上所述
18、：当 t或 t时，MBN 与ABC 相似 16解：（1）AC4，OA12，OC1248，（1）OB12，D 为 OB 的中点，OD6，AOB90，COD 的面积 S6824（是一个定值），要使四边形 ODEC 的面积最大，只要CDE 的面积最大即可；由勾股定理得：CD10，分别过 O、E 作 ONCD 于 N，EMCD 于 M，当 EM、ON、EF 重合时，CDE 的面积最大，SCODON24，解得：ON4.8，EF124.87.2；（2）延长 OB 至点 G，使 BGOB，连接 GE、GC、DE，则，点 D 为 OB 的中点，OBOE，又DOEEOG，DOEEOG，EG2DE，CE+2DEC
19、E+EG，当 C、E、G 三点在同一直线上上时，CE+EG 最小，COOAAC1248，OGOB+BG12+1224，此时，故 CE+2DE 有最小值为 17（1）解：在正方形 ABCD 中，ADABBC，DAEABF90，E、F 分别为边 AB、BC 的中点，AEAB，BFBC，AEBF，DAEABF（SAS），AFDE，ADEBAF，DAG+BAF90，DAG+ADE90，AGD90，AFDE，AFDE，AFDE；（2）证明：方法一：如图，延长 AF 交 DC 延长线于 M，F 为 BC 中点，CFFB，又四边形 ABCD 是正方形，DMAB，ABCD，MFAB，F 为 BC 中点，CFF
20、B，在ABF 与MCF 中，ABFMCF（AAS），ABCM，CDCM，又DGM90，CGDM，CGCD，CH 平分DCG，H 为 DG 中点；方法二：如图，连接 DF，四边形 ABCD 是正方形，DCAB，DCFABF90，DCAB，F 为 CB 中点，CFFB，DCFABF（SAS），DFCAFB，由（1）已证DAEABF，AFBDEA，又DCAB，CDEDEA，CDECFD，又由（1）已证 AFDE，DGF90，DGF+DCF90+90180，D、G、F、C 四点共圆，DGCCFD，DGCCDE，DCCG，CH 平分DCG，H 为 DG 中点；（3）解：设正方形 ABCD 的边长为 2a
21、，则由（1）和（2）可得：ADAB2a，AEBFCFa，四边形 ABCD 是正方形，B90，AFa，在DGA 与DAE 中，DGADAE90，ADGEDA，DGADAE，即，DGa，AGa，GFAFAGaaa，18解：如图，连接 AC，BC，则ACB90 又 CDAB，DECO，由 RtCDERtCOD，可得 CECOCD2，由 RtACDRtCBD，可得 CD2ADBD，所以 CECOADBD 设 ADa，DBb，a，b 为正整数，则由 RtABC 中，COAB，可得，又 CE10，代入式得，整理得：（a5）（b5）25 考虑到 ab，只能是 a5b50，得 a525，b51 因此 ADa3
22、0 19解：（）AB5 故答案为：5（）如图，取点 M，N，连接 MN 交 AC 于点 D，则，此时 ADAC，取点 P，连接 PC 交 AB 于点 E，则，此时，AEAB2，连接 DE，则ADEABC，故ADE 即为所求 20解：（1）不相似，理由如下：，不相似；（2）要使矩形 ABCD矩形 ABCD，就要，即，可得：2d+2ba+c 21解：连接 AE，过 E 作 EIAC 于点 I，延长 PM 交 AC 于 J，交 ED 于 K，则 IEJKCD8，KMDMDNNQ2，JEPJ，AEJEPK，AJEEKP90，AEJEPK，ABMP，即，AB4，答：遮雨玻璃的水平宽度 AB 为 4m 22解：（1）如图所示，则DEF 为所求的三角形；（2）位似比 km，ABC 的周长为 C，DEF 的周长mC；（3）位似比 kn，ABC 的面积为 S，DEF 的面积n2S