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1、第 1 页 共 5 页南京市南京市 2023 届高三年级学情调研届高三年级学情调研一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上1设集合2|60Ax xx，|10Bx x，则AB()A(3,1)B(1,2)C(2,)D(3,)2已知复数(2)zi i，其中i为虚数单位，则z z()A3B5C3D53已知随机变量2(4,2)XN，则(810)PX的值约为()A0.021
2、5B0.1359C0.8186D0.9760附：若附：若2(,)YN，则，则()0.6827PY，(22)0.9545PY，(33)0.9974PY4若直线0 xya与曲线2lnyxx相切，则实数a()A0B1C2D35阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图 1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()y m和时间()t s的函数关系为sin()yt(0,|)，如图 2若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t，2t，3123(0)tttt，且122tt，236tt，
3、则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为()A13sB23sC1sD43s6已知椭圆22221xyab(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且212PFFF若1/AB PF，则椭圆的离心率为()第 2 页 共 5 页A55B12C33D227已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥PABE外接球的表面积为()A2516B254C52D58已知函数()f x，任意,Rx y，满足22()()()()f xy f xyfxfy，且(1)2f，(2)0f，则(1)(
4、2)(90)fff()A2B0C2D4二、选择题：本大题共二、选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，有多项符分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 2 分，不选或有分，不选或有错选的得错选的得 0 0 分分9已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列选项中，“lm”的充分条件有()A，l，/mB/，/l，mC，l，mD，/l，/m10已知0ab，则()A11baB11a
5、bbaC33222()aba babD11abab 11已知直线l：10 x ，点(1,0)P，圆心为M的动圆经过点P，且与直线l相切，则()A点M的轨迹为抛物线B圆M面积的最小值为4C当圆M被y轴截得的弦长为2 5时，圆M的半径为 3D存在点M，使得2 33MOMP，其中O为坐标原点12已知函数()32xxf x，Rx，则()A()f x在(0,)上单调递增B存在Ra，使得函数()xf xya为奇函数第 3 页 共 5 页C函数()()g xf xx有且仅有 2 个零点 D任意Rx，()1f x 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
6、 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上13621(1)(1)xx的展开式中3x的系数为_14双曲线2214yx 右焦点为F，点P，Q在双曲线上，且关于原点对称若PFQF，则PQF的面积为_15如图是构造无理数的一种方法：线段11OA；第一步，以线段1OA为直角边作12Rt OAA，其中121AA；第二步，以2OA为直角边作23Rt OA A，其中231A A；第三步，以3OA为直角边作34Rt OAA A，其中341A A；，如此延续下去，可以得到长度为无理数的一系列线段，如2OA，3OA，则24OAOA _16若函数()2sinf xxxa在(,)上存在
7、唯一的零点1x，函数2()cosg xxxaxa在(,)上存在唯一的零点2x，且12xx，则实数a的取值范围为_四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤字说明，证明过程或演算步骤17(10 分)在平面四边形ABCD中，45ABD，6AB，3 2AD 对角线AC与BD交于点E，且AEEC，2DEBE(1)求BD的长；(2)求cosADC的值18(12 分)已知数列na中，16a，212a，320a，且数列1nnaa为等差数列，*Nn(1)
8、求数列na的通项公式；第 4 页 共 5 页(2)设数列1na的前n项和为nS，证明：12nS 19(12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA平面ABCD，M为PC中点(1)求证：/PA平面MBD；(2)若2ABADPA，120BAD，求二面角BAMD的正弦值20(12 分)某高校男、女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各 50 名学生的成绩，情况如下表：(1)是否有99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关？(2)从这 50 名男生中任意选 2 人，求这 2 人中合格人数的概率分布及数学期
9、望；(3)将抽取的这 100名学生合格的频率视为该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率若学生首次考试不合格，则经过一段时间的努力，第二次参加考试合格的概率会增加0.1现从该校学生中任意抽取 2 名学生，求至多两次英语四级考试后，这两人全部合格的概率附：附：22()()()()()n adbcKab cdac bd，21(12 分)已知抛物线C：22ypx(0)p 的焦点为F，过点(0,2)P的动直线l与抛物线相交于A，B两点当l经过点F时，点A恰好为线段PF中点(1)求p的值；(2)是否存在定点T，使得TA TB 为常数？若存在，求出点T的坐标及该常数；若不存在，说明理由22(12 分)
10、已知函数()axf xex，Ra第 5 页 共 5 页(1)若0a，求函数()f x的单调区间；(2)若任意0 x，21()12f xax，求a的取值范围南京市南京市 2023 届高三年级届高三年级期初考试期初考试数学参考答案数学参考答案1B2D3A4C5D6A7B8C9BC10AC11ACD12ABD13141441526316(2，117解：（1）在ABD 中，由ABsinADBADsinABD，得6sinADB3 222，所以 sinADB1因为 0ADB135，所以ADB90，所以 BD AB2AD23 2（2）在ADE 中，DE23BD2 2，因为ADE90，所以 AE AD2DE2
11、 26，cosDAEADAE3 1313在ACD 中，AC2AE2 26，AD3 2，cosDAC3 1313，所以 CD2AD2AC22ADACcosDAC50，即 CD5 2，所以 cosADCAD2CD2AC22ADCD3518（1）解：因为 a16，a212，a320，所以 a2a16，a3a28又因为数列 an1an为等差数列，所以 an1an6(n1)22n4当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)2n66(2n8)(n1)26n23n2当 n1 时，a16 满足 ann23n2，综上，ann23n2（2）证明：由（1）得1an1n23n21(n1
12、)(n2)1n11n2，所以 Sn121313141n11n2121n2因为 nN*，故1n20，所以 Sn1219（1）证明：连 AC 交 BD 于点 N，连 MN因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 N 为 AC 的中点因为 M 为 PC 中点，所以 MNPA又 PA/平面 MBD，MN 平面 MBD，所以 PA平面 MBD（2）方法方法 1取 CD 中点 E，连 AE因为 ABAD，四边形 ABCD 为平行四边形，所以四边形 ABCD 为菱形，又BAD120，所以ADC60，因此ACD 为等边三角形，所以 AECD，即 AEAB又 PA平面 ABCD，故以 AB，AE，AP 分别为 x
13、，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(1，3，0)，D(1，3，0)，M(12，32，1)，所以AB(2，0，0)，AM(12，32，1)，AD(1，3，0)设平面 AMB 的一个法向量为 n1(x，y，z)，则n1AB0，n1AM0，即2x0，12x32yz0，取 x0，y2，z 3，即 n1(0，2，3)设平面 AMD 的一个法向量为 n2(x，y，z)，则n1AD0，n1AM0，即x 3y0，12x32yz0，取 x 3，y1，z 3，即 n1(3，1，3)FNMDCBAPxyzE则 cos n1，n20 321(3)(3)7 75
14、7，又 n1，n2(0，)，所以二面角 BAMD 的平面角的正弦值为2 67方法方法 2因为 ABAD，四边形 ABCD 为平行四边形，所以四边形 ABCD 为菱形又BAD120，所以ABC60，因此ABC 为等边三角形又 AB2，N 为 AC 的中点，所以 BN 3取 AM 中点 F，连 BF，DF，在 RtBMN 中，MN1，BN 3，所以 BM2又因为 AB2，所以 BFAM，同理可证 DFAM，所以BFD 即为二面角 BAMD 的平面角在 RtAMN 中，ANMN1，AM 2在BAM 中，BFBA2AM24142同理在DAM 中计算得 DF142又 BD2 3，所以 cosBFDBF2
15、DF2BD22BFDF57又BFD(0，)，所以 sinBFD 1cos2BFD2 67，FNMDCBAP所以二面角 BAMD 的平面角的正弦值为2 6720解：（1）K2(4553515)(4515355)2(455)(3515)(4535)(515)6.25因为 6.256.635，所以没有 99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关（2）设 2 人中合格人数为 X，则 X 的可能取值为 0，1，2P(X0)C035C215C250335，P(X1)C135C115C25037，P(X2)C235C015C2501735，所以 2 人中合格人数的概率分布为X012P3
16、35371735所以数学期望 E(X)03351372173575（3）该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率为35451000.8两次考试后两人全部合格可分为三类：第一类：两名学生第一次考试都合格，则概率为 0.820.64；第二类：两名学生中有一位第一次考试不合格，第二次合格，则概率为 C120.80.20.90.288；第三类：两名学生中第一次考试都不合格，第二次都合格，则概率为 0.220.920.0324；所以 0.640.2880.3240.9604，所以 2 名学生至多两次四级考试后，这两人全部合格的概率为 0.960421解：（1）抛物线 y22px 的焦点 F(p2，0
17、)因为 P(0，2)，且 A 为 PF 中点，所以 A(p4，1)因为 A 在抛物线上，所以 12pp4，解得 p 2（2）由题意知直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y122 2x1，y222 2x2由ykx2，y22 2x，消去 x，得 ky22 2y4 20，则 y1y22 2k，y1y24 2k假设存在定点 T(m，n)，则 TA(x1m，y1n)，TB(x2m，y2n)，所以 TATB(x1m)(x2m)(y1n)(y2n)(24y12m)(24y22m)(y1n)(y2n)18y12y2224m(y12y22)m2y1y2n(
18、y1y2)n24k224m(8k28 2k)m24 2k2 2nkn2(42 2m)1k2(4m4 22 2n)1km2n2要使得 TATB为常数，则42 2m0，4m4 22 2n0，解得 m 2，n4，所以存在定点 T(2，4)，此时 TATBm2n21822解：（1）由 f(x)eaxx，得 f(x)aeax1令 f(x)0，得 x1alna当 x1alna 时，f(x)0；当 x1alna 时，f(x)0，所以，f(x)的减区间为(，1alna)，增区间为(1alna，)（2）设 g(x)f(x)(112ax2)eax12ax2x1，x0，)则 g(x)aeaxax1，g(x)a(ae
19、ax1)a f(x)当 a1 时，因为 x0，所以 g(x)a(a1)0，从而 g(x)在0，)上单调递增因此 g(x)g(0)a10，故 g(x)在0，)上单调递增，所以 g(x)g(0)0 恒成立，因此 a1 符合题意当 0a1 时，由（1）知，当 x(0，1alna)时，g(x)a f(x)0，所以 g(x)单调递减，因此，当 x(0，1alna)时，g(x)g(0)a10，所以 g(x)单调递减，故 g(1alna)g(0)0，与 g(x)0 恒成立矛盾因此 0a1 不符合题意当 a0 时，此时 g(x)x，g(1)10，与 g(x)0 恒成立矛盾，因此 a0 不符合题意当 a0 时，此时 g(2a)e210，与 g(x)0 恒成立矛盾因此 a0 不符合题意综上，a1