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1、江 苏 省 南 京 市 2023届 高 三 上 学 期 7 月 学 情 调 研 数 学 试 题 题 号 一 二 三 四 五 总 分 得 分 注 意 事 项：1.答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名、班 级、考 号 等 信 息 2.请 将 答 案 正 确 填 写 在 答 题 卡 上 评 卷 人 得 分-一、单 选 题 1,若 印+司，则|z-i|=（A.2 B.3U=N*,M=Jx N*“=tz2.若 集 合 1&M)c N=()C.47T 1 v f 4in x,N=y y=x+,2 J 1 xD.5斗 则 A.5,7 B.V S C.4,8D.r.i7i3.在“8 C 中，记。=，&C
2、 8=，A.掰 _ B.m+n则 而。+=(一 2 一 2C.-m)D.2 2m+n4.在 A/18C中，=8 c=3,则 以 8 c 为 轴，将 A/B C 旋 转 一 周 所 得 的 几 何 体 的 体 积 为（)n2万 4乃 A.3B.3 C.%D.35.从 1至 8 的 8 个 整 数 中 随 机 抽 取 2 个 不 同 的 数，则 这 2 个 数 和 为 偶 数 的 概 率 为()1 1 5 4 3A.14 B.14 C.7 D.7/(x)=sinf x+s i n f-6.已 知 函 数.1”1 9-xg(x)=/(/(x)则 g（x）的 最 大 值 为()试 卷 第 1 页，共
3、5 页3A 血 B G C.2 D.2工 2C：-7-）2=1（Q 0）L7 17 A c7.双 曲 线 a-的 左、右 焦 点 分 别 为 小 玛，”为,左 支 上 一 动 点，直 线“尸 2与 C 的 右 支 交 于 点 8,且 1/8|=3,“8 4 与 8/；的 周 长 相 等，则 电 1=（）2A/3 473 2 4A.3 B.3 c.3 D.3/（x）_ g（x+2）/（2022）28,若 函 数（x），g（x）的 定 义 域 为 R,且 g G）/G-2 y g（2024）,则 弋 f Q k)=台 g(2左+2)一(A.28 B.30 C.46 D.48评 卷 人 9.得 分
4、二、多 选 题 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 直 线.X V 1I I=1a b 与 x 轴 交 于 点 4,与 歹 轴 交 于 点 B,C:x2+y2-ax-by-c=0t 则（）A.若 c=0,则 点。在 圆 C 上 abB.直 线/与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 昼 C.若 点。在 圆 C 内 部，则 c 的 取 值 范 围 为（0,+oo）a=h=c_D.若 一 一-3,则 圆 C 与 A。力 8 中 与 4 8 平 行 的 中 位 线 相 切 10.,i a=t-i=a+已 知 数 列 8 满 足 环 1a,则（）酸！O.郝.OA.0”+它 2。
5、C.凡 人 4%是 递 增 数 列 B.是 递 增 数 列 D a.n2 2n+21 1.在 直 四 棱 柱 8 C C-4 4 G 2 中,A A.1=AD=2AB=2，AAB D1.iAD,且 产 为 G 中 点,。为“4 上 一 动 点，则（）A.1尸 0 目 石，石 2B.三 棱 锥 8-8 4 的 体 积 为 3试 卷 第 2 页，共 5 页 O.期.O.氐 OC.存 在 点。使 得 8 R 与 平 面 与 垂 直 D.存 在 点。使 得“C 与 平 面 QP片 垂 直 12.设&C R 且 上 0,n2,6 N*,(1+依)=%+乎+牝/+ax”,则()的=2“A.鹏%,=(1+e
6、-1B.泊 4=成(1+幻”C.7 2=2(_1*(1+%尸 D.0,且 2 6+6=1,则 了 的 最 小 值 为.f(x)=anx+-+x,g(x)=f(x)14.已 知 函 数.x-.若 g(l)=g(3)=0,则/(2)=15.已 知 一 个 正 四 面 体 的 棱 长 为 2,则 其 外 接 球 与 以 其 一 个 顶 点 为 球 心，1为 半 径 的 球 面 所 形 成 的 交 线 的 长 度 为.四、双 空 题 评 卷 人 得 分 16.在 平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，已 知 抛 物 线 C：/=2 p x（p 0）的 焦 点 为“（四，）,则 C 的 方 程 为；若
7、P，/两 点 关 于 y 轴 对 称，且 以 小 为 直 径 的 圆 与 C 的 一 个 交 点 为 4 则 cos4O/F=评 卷 人 得 分 五、解 答 题 17.记 篦 为 数 列%的 前 项 和,。,1，S,已 知 1 2是 公 差 为 5 的 等 差 数 列.（1）证 明：“J 是 等 差 数 歹 U；（2）若 4,2,6 可 构 成 三 角 形 的 三 边，求 4 4 的 取 值 范 围.C：与+一=1（6）A/（W EVI18.已 知 椭 圆/b2 的 上 顶 点 为（，】），右 焦 点 为 尸（1，）.试 卷 第 3 页，共 5 页(1)求 C 的 万 程；(2)若 尸 为 C
8、 上 一 点，且 tan/FP=2+退，求 直 线 尸 的 方 程.a2-b2 az+b2-c219.记 A/B C 的 内 角/,B,C 的 对 边 分 别 为“，b,c,已 知 C?ab.C=-若 4,求 4,B,a(2)若 N8C为 锐 角 三 角 形，求 力 cosB的 取 值 范 围.20.根 据 北 京 冬 奥 组 委 与 特 许 生 产 商 的 特 许 经 营 协 议，从 7 月 1 日 开 始，包 括 冰 墩 墩 公 仔 等 在 内 的 2022北 京 冬 奥 会 各 种 特 许 商 品 将 停 止 生 产.现 给 出 某 零 售 店 在 某 日(7月 1 日 前)上 午 的
9、两 种 颜 色 冰 墩 墩 的 销 售 数 据 统 计 表(假 定 每 人 限 购 一 个 冰 墩 墩)：蓝 色 粉 色 男 顾 客 5aTa6女 顾 客 2aT4aT(1)若 有 99%的 把 握 认 为 顾 客 购 买 的 冰 墩 墩 颜 色 与 其 性 别 有 关，求 a 的 最 小 值；(2)在。取 得 最 小 值 的 条 件 下，现 从 购 买 蓝 色 冰 墩 墩 的 顾 客 中 任 选 p 人，从 购 买 粉 色 冰 墩 墩 的 顾 客 中 任 选 q 人，且 p+q=9(p,死 0)，记 选 到 的 人 中 女 顾 客 人 数 为 X 求 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望.
10、n(a d-b e)2(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)P g k)0.05 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828 翻 的-邪,1一-蛙 祖 都 磐 冰 O郛.O.女 O.堞 21.如 图，四 棱 锥 尸-48。的 体 积 为 4,平 面/MZXL平 面/5CZ),尸 ZZ)是 面 积 为 百 的 等 边 三 角 形，四 边 形 是 等 腰 梯 形，BC=,E 为 棱 P 4上 一 动 点.试 卷 第 4 页，共 5 页 O.氐.Oo举 o OO塞 oB(1)若 直 线 E C 与 平 面 A B C D 的 夹 角 为 6 0,求 二 面 角 B-CE-D的
11、正 弦 值：ED(2)求 正 的 取 值 范 围.f(x)=g(x)=-2 2.已 知 函 数 砂 和 a x 有 相 同 的 最 大 值.求 a；(2)证 明：存 在 直 线 产 6,其 与 两 条 曲 线 y=/a)和 y=g a)共 有 三 个 不 同 的 交 点，并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 比 数 列.odo自 do邮 d氐 o _ o试 卷 第 5 页，共 5 页答 案:1.D【分 析】先 设 z=x+W(x，y*R),根 据 复 数 的 运 算 和 模 的 定 义 得 到|l+W=|z-i,再 根 据 己 知 条 件 计 算 即 得 所 求.
12、【详 解】设 z=x+yi(x,yeR)|z-i|=|x+(j-l)i|=J，+(y_i)2|l+iz|=|l+i(x+j4)|=|(l-y)+xi|=iy(l-7)2+x2=|z-i|由 已 知 得 卜 明 3+4i|=5,J z M=5,故 选：D2.A【分 析】根 据 正 切 函 数 的 性 质 可 求 解，根 据 对 勾 函 数 的 单 调 性 可 求 解 N,进 而 根 据 集 合 的 交 并 补 运 算 即 可 求 解.【详 解】M=1xeN*|y=tangx=2 4,6,8-_,y=x+-x 2因 为 2 J x 在 2 单 调 递 减，在 2 4 x 4 4 单 调 A?=L|
13、yx+-,-x 4=y 4 事 递 增，故 x 2 J I 2 J 7一 x=2%+l,%wN,N=4,“浦 因 为 2，所 以 Q)C N=5,7故 选：A3.C【分 析】答 案 第 1页，共 16页根 据 向 量 的 减 法 法 则 得 而=而 一 声=3-五，进 而 根 据 数 量 积 的 运 算 绿 即 可 求 解.【详 解】因 为 AB-C B-C A=n-m,/.、/、z1-*-*、2*2斤 以 力 8 74+C8)=Qz-7)a+/n)=-m故 选：C4.C【分 析】确 定 旋 转 体 是 由 哪 些 基 本 组 合 体 组 成 的，再 由 体 积 公 式 计 算 即 可 得 出
14、 答 案.【详 解】过 N 作 R D，B C 交 8 c 于 点。，则 题 中 旋 转 体 是 以“8,小 0 8 绕 直 角 边 所 在 直 线 B C旋 转,3 5+2-9 Mcos Z.CAB=-7=-所 成 的 两 个 圆 锥 的 组 合 体.因 为 2J5-J2 10,snZ-CAB=-所 以 10,所 以 NBC的 面 积 为：S=x/5 x/2 x 3=x3x JZ)2 10 2 解 得.力。=1V=Sh=K-V-3=7 T所 以 将 NBC旋 转 一 周 所 得 的 几 何 体 的 体 积 为：3 3故 选：C.5.D答 案 第 2 页，共 16页【分 析】先 由 组 合 求
15、 出 8 个 整 数 中 随 机 抽 取 2 个 不 同 的 数 的 总 情 况，再 求 出 2 个 数 和 为 偶 数 的 情 况,最 后 由 古 典 概 型 求 解 即 可.【详 解】从 1至 8 的 8 个 整 数 中 随 机 抽 取 2 个 不 同 的 数 共 有=28种 情 况，其 中 要 使 2 个 数 和 为 偶 数，则 2 个 数 都 为 奇 数 或 都 为 偶 数，22 _ 3共 有 C；+C：=1 2,由 古 典 概 型 可 得 这 2 个 数 和 为 偶 数 的 概 率 为 三 一 7故 选：D.6.B【分 析】7 Cf=X+记 9,sin；+cos/2 2，由 三 角
16、函 数 的 性 质 即 可 求 出 的 最 大 值.【详 解】7 1t=x+记 9,f(x)=/?(?)=sin?+sin则/+=-smt+2 c o s t27 133.2A（Z）=G sin所 以 且 所 以/（/（*）最 大 为 5故 选：B.7.B【分 析】由 题 意 可 求 出 出 用=2c=2/7 W,又 2 8 片 与 4 8 耳 鸟 的 周 长 相 等，即 I阴+|/用=阳 局+网,结 合 题 意 代 入 即 可 求 出-3,即 可 求 出 闺 用 的 值.【详 解】记 C 的 焦 距 为 2 c,则 怩 用=2c=2内，又 8 与 8耳 的 周 长 相 等，即 以 即+用=阳
17、 用+忸 用，答 案 第 3 页，共 16页又 幽=3”，口 阴+忸 用-所=2，即 旷“闺 周=2 门=所 以 3.故 选：B.8.B【分 析】h（x）=-L 2 M Z 2）设 g（x+2）,证 明 做 X）是 周 期 函 数，周 期 为 4,再 计 算 出 g（2）和 g（4）,然 后 由 周 期 性 可 得 结 论.【详 解】/(x)g(x+2)/(x)/(x-2)因 为 g(x)/(x-2),所 以 g(x+2)g(x)/?(x)=J(x)记 g(x+2),所 以 M X(X-2)=1,(X+2)M X)=1,则(X)=(X+4),所 以(24)=%(2(4+2)/（2022）_/（
18、2）=二，g（2024 g 一/（o）J且“2（0）=g（2）g（4）,则 g（2）2；.fQ k)所 以 jg(2A+2)；+2 1 2=30故 选：B.9.ACD【分 析】由 点 与 圆 的 位 置 关 系 判 断 A C,求 出 直 线 与 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 判 断 B,由 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 判 断 D.【详 解】答 案 第 4 页，共 16页对 于 A,圆 JH Ia（6丫 _ a2+4b 2+=a2+4 b2，令 x=y=Oab对 于 B,由 已 知 4，）,B（O，b）,三 角 形 面 积 为 2.a2+b2 a2+h2-+c-对 于
19、 C,点 O 在 圆 C 内 部，则 4 4,即 c0；恰 符 合;对 于 D,圆 89O Q/（-,0）B（o,-）中 点 为（3）,中 点 为 3）,x y.r+-r=l_4 _4与 48 平 行 的 中 位 线 方 程 为 3,即 3x+3y+4=0,圆 心 到 此 中 位 线 的 距 离 为 272一 亍 此 条 中 位 线 与 圆 C 相 切.故 选：ACD.10.ABD【分 析】根 据 所 给 的 递 推 公 式，结 合 选 项 构 造 对 应 的 表 达 式 推 导 即 可【详 解】23 勺+工 汽”“，=2对 于 A,因 为-=+121,故 V%，所 以 用 2%，当 且 仅
20、当%=1时 取 等 号，故 A 正 确；对 于 B,由 A 可 得 依，为 正 数 数 列，且%+信 2%,贝 产，故 J 为 递 增 数 列，且%=1,根 据 对 勾 函 数 的 单 调 性，%凡 为 递 增 数 列，故 B 正 确;a2 _+1对 于 C,由 4+|-4。“=（。”-2）-3,由 题 意 4=1,%4,即。2=2 可 知 a“+4a”不 是 递 增 数 列;答 案 第 5 页，共 16页对 于 D,因 为 所 以 对+广 片=1 I=(-2,-1,2),设 平 面。尸 耳 的 法 向 量 n-BP=Q f-2x+z=0”=(x,y,z),且 1万.8。=0,即 y+qz=O
21、,则 可 以 是(1,2%2),所 以 而 不 可 能 平 行 于,故 C 错 误；答 案 第 6 页，共 16页对 于 选 项 D,因 为“G=(-2 J 2),所 以 祝 也 不 可 能 平 行 于.故 D 错 误.故 选：AB.12.BC【分 析】对 原 等 式 令 x=l和 x=求 解 后 判 断 A B,对 已 知 等 式 求 导 后 令=1可 判 断 C,再 一 次 求 导 后 令 x=l可 判 断 D.【详 解】。,=(1+左)对 于 A,代 入 x=1得 i=o；如=(1+4)-1对 于 B,代 入 x=0 得。=1,所 以 间；对 于 C,对 等 式 两 边 x 同 时 求
22、导 得.(1+日)=ai+2a2x+-+naxn()tVza,.=nk(+k)代 入*=1得 I；对 于 D,对(*)式 两 边 x 同 时 求 导 得 加(1)(1+3 2=2。2+6。/+-一+(-1)%/=二(-1)(1+幻”-2代 入 x=l,则，=2,所 以=Z i(l)q+Z a=nk2(n-1)(1+k)-2+nk(l+k)-at=nk(nk+1)(1+k)-2-nki=2 i=2 i=2故 选：BC.13.0【分 析】”Q T Y 由 题 可 得 4，代 入 b,结 合 均 值 不 等 式 即 可 得 出 答 案.【详 解】因 为 2 6+6=1,所 以 I 2 J 4(答 案
23、 第 7 页，共 16页3=U，+_L N 2.所 以 8 4b 4 4b 2 4 4b 2当 且 仅 当”=力=1时 取 等.a所 以 6 的 最 小 值 为 0.故 0.14.“，C I-41n2+2【分 析】求 出 函 数 的 导 函 数，由 g)=g*)=得 到 方 程 组，即 可 求 出“、b,即 可 求 出 函 数 解 析 式,再 代 入 计 算 可 得.【详 解】/,、1 b/、a b、x2 a x-b解：因 为 f(x)=a n x+x+x,所 以 g(Ix)=/(x)=-X-7f+l=-f；-,fl+a-6=0P2+36Z-6_A又 g(l)=g(3)=0,即 32,解 得
24、M=-3,3 If(x)=-41nx-+x/(2)=-41n2+-所 以,x,所 以 八)2.-41n2+-故 2国 r15.3【分 析】两 个 球 相 交 形 成 的 截 面 图 形 为 圆 面，根 据 几 何 形 质 求 出 截 面 圆 的 半 径 即 可.【详 解】设 外 接 球 半 径 为，外 接 球 球 心 到 底 面 的 距 离 为 力，答 案 第 8 页，共 16页两 球 相 交 形 成 形 成 的 图 形 为 圆，1+6_6cos Z.DPO=&,2xlx 逅 6 sinZ)PO=如 图，在 2。中，2 6,A orr D O、=PD sin Z.DOP=-在 poq 中，6,
25、V30所 以 交 线 所 在 圆 的 半 径 为 一 厂，c 同 属 r所 以 交 线 长 度 为 6 3底 兀 故 3亚-116./=8 x I-【分 析】根 据 5-可 得 C 的 方 程；以 巴 7为 直 径 的 圆 为/+=4,设”(%,%),则=(x,%),E4=(x0-2,%),抛 物 线 方 程 和 圆 的 方 程 联 立 可 得,由 向 量 的 夹 角 坐 标 公 式 可 得 答 案.答 案 第 9 页，共 16页【详 解】因 为/=2px 的 焦 点 为 9P-=Tp 2所 以 2,解 得 P=4,则 C 的 方 程 为 V=8%因 为 厂 两 点 关 于 轴 对 称，且 斤
26、=2,所 以 以 尸 尸 为 直 径 的 圆 为 V+V=4,设(%,%),则 0 A=(.%-2,%),联 立 y=8 xx2+y2=4则，+8x-4=0,解 得。=2拓-48s皿 尸=/驾 节 2=旦|。4|科 2也 4-8-2且 亚-I故/=8 x 二 17.(1)证 明 见 解 析【分 析】(1)利 用 等 差 数 列 定 义 和 a-=J-Ei(2 2)可 得 答 案；品 7 3%(2)由-%，%可 构 成 三 角 形 的 三 边 可 得 4 久 利 用 又 J+13,根 据 q 的 范 围 可 得 答 案.1(1)(1)因 为 I 2 J是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，N2
27、时，c 2 f r,1,2 V 1 1 2 1 2 12 1 2 J 2,即 2 2 2,所 以，又 所 以 所 以”是 等 差 数 列.答 案 第 10页，共 16页（2）因 为 q g q 可 构 成 三 角 形 的 三 边，所 以 2 q+l q+5,即 4 4,又 8=13%1 3 4+7 8二 匕 _ 9 1 Ja,如 q+13 q+1 3,且 q 4,所 以 4等 3X2 2 4-V=118.2 百 y-x+1=0 或 V3x+y-百=0【分 析】（1）根 据 题 目 条 件，利 用 待 定 系 数 法 求 解.（2）利 用 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 以 及 直 线
28、的 点 斜 式 方 程 进 行 求 解.（1）记 椭 圆 C 的 焦 距 为 2 c,则 由 题 可 知 b=c=l,所 以 a=&,所 以 椭 圆 C 的 方 程 为|-+r=记 坐 标 原 点 为,且 ta n/N F P=tan（/W O+/P F C tan Z AFP=t a n PFO-Z AFO)因 为 t a n/4 Q=2+J J 0,6=c=,所 以 N 4T O=45./,八 t a n/AFO+t a n/PFOtanZAFP=-所 以 1-tanZ/R T tanN T T7。l+tan/PFO=2+/1-tan-ZPFO,或.f t a n/PFO-t a n/AF
29、Ot a n/AFP=-1+t a n/PFO tan AFOt a n O-l=2+7 J1+t a n/PFOtanZ PFO=r-,所 以 3 或 一 J 3,记 直 线 尸 尸 的 斜 率 为 3k=&r-且（x-1）则 3 或-x/3,所 以 尸 产 的 方 程 为 3”或 N=f A(x-l),即 P F 的 方 程 为 G y 7+1=0或 G x+y-百=0工=丝 8=四 19.(1)8 8【分 析】（1）由 正 弦 定 理、余 弦 定 理 结 合 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 化 简 已 知 等 式 即 可 求 出 s11（-8）=1,再 结 合+-彳 即 可 得
30、出 答 案.答 案 第 11页，共 16页(2)由 知 sin2C=sin(，-8),分 别 讨 论 2 c=4-8 或 2C+4-8=万，结 合 题 意 即 可 7 1 n 汽 a sin3B _ 2 c一 5-z-z-=3-tan B求 出 6 4,由 正 弦 定 理 将 bcos2化 简 为 sinB cos,代 入 即 可 求 出 答 案.a2-b2 a2+62-c2。万 _ _ 2 cos(1)因 为 岫，所 以 sin?4-sin25=2sin2CcosC=sin2CsinC=sin(4+3)sin(4 _ 3)=sinCsin(4 8)彳 弋 入 c=-4,s i n则 sin/
31、(x/-8n)-.1,所 以 A-B=-2,且 A+B=4,所 以 A=8,B=8;(2)由 知 sin2C=s i n(/-8),当 2 c=时，且 Z+8+C=%，若 8 C 是 锐 A 一 角 三 角 形，则 2,所 以 2/f=;r+C-A+B+C=,所 以 C=2 8,所 以 2a _ sinJ _ sin3B且 6 c o s s i r i 8 c o s2S sin5cos冗 c 7 1 8 一 则 6 4,20.(1)12(2)分 布 列 答 案 见 解 析，数 学 期 望：6【分 析】(1)根 据 独 立 性 检 验，计 算 卡 方 值，与 临 界 值 比 较 即 可 求
32、解，(2)根 据 超 几 何 分 布 即 可 求 解 分 布 列，以 及 用 超 几 何 的 期 望 公 式 即 可 求 解.(1)(1)因 为 有 99%的 把 握 认 为 顾 客 购 买 的 冰 墩 墩 颜 色 与 其 性 别 有 关，不 妨 给 出 零 假 设 小：顾 客 购 买 的 冰 墩 墩 颜 色 与 其 性 别 无 关，且 该 假 设 成 立 概 率 小 于 等 于 6 0 1 0,且 由 表 知 K2=产 化 2 6.635)=0.010 则-/5。4。a 2aI 6 3 6 33a 3a。x x z a x a2 2=6.6353,即 心 9.9 5 2 5,又 r d a
33、G Z,e Z6,所 以。的 最 小 值 为 12；(2)因 为 P+q=9,所 以 X 的 所 有 可 能 取 值 是 0,1，2,3,4,5,6,7,8,9,女 生 一 共 有 2 4人，男 P(X=i)=,i=0,l,2,3,4,5,6,7,8,9生 一 共 有 1 2人 所 以 X 的 分 布 列 为 C3 6,且 答 案 第 12页，共 16页z nM _ 216 _X“(9,24,36),所 以/刈=丁=方=6421.(1)5【分 析】OT=（1）根 据 四 棱 锥 的 体 积 可 求 解 2,根 据 直 线 E C与 平 面/B C D 的 夹 角 为 60。，可 判 断 E，尸
34、 重 合，进 而 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 法 向 量 的 夹 角 求 二 面 角，（2）根 据 空 间 中 两 点 间 距 离 公 式，可 表 达 出 ED,4/2-4 7+4/1 r r-=/=J1-fl H-,EC d 4 t2-5f+4 V 4广 一 5/+4 4t+4-5丫 1 进 而 用 基 本 不 等 式 即 可 求 解.（1）（1）因 为 4。是 面 积 为 G 的 等 边 三 角 形，所 以 4=尸。=/。=2,因 为 平 面 P 4 D，平 面 4 B C D,四 边 形 力 8 8 是 等 腰 梯 形，过 P 作/D 的 垂 线，垂 足 为,过 E 作
35、的 垂 线，垂 足 为 胡，连 接 M C,因 为 平 面 P/O J平 面/8C Z）,其 交 线 为 平 面 4 8 8,故/E C W 为 直 线 EC与 平 面 4 8 8 的 夹 角，记 8 C 中 点 为 7,连 接。T,所 以 O T 1/O,以 为 坐 标 原 点，OT为 x轴，。为 了 轴，为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 3标 系。-k z,且 8 c=1,0?=百，又 四 棱 锥 尸-8 C O的 体 积 为,所 以 四 边 形 的 面 积 为 丁 3 故”=了 6 设 E（/0 T 百 广 一 l、）（又 r仁 f-2（）J 1所 以 EC=，4产 一 5 1+4,
36、EM=道-&/E C M=60。,即）4产-5 f+4=2-2 f,解 得，“,尸 两 点 重 合,又 响 元=（。，。）昼+M M E S；。），/7 1 BC 0,设 平 面 5 C E的 法 向 量 4=（再，必，4）,平 面 C Q E的 法 向 量 2=（/2/2）,且=即 乂=0 _ V3 1 r|-C F=0,丁 厂 5 凹+3 4=0,令 2,则 1,故 展（2,01）%丽=0,即 答 案 第 13页，共 16页+后,=02 2 一 有 1 n 力 升=。,令 乙=1,则%=白，Z2=1,故 小 G)记 二 面 角 限 同 3 3.八 4丽 二 万 3 2 1,即 二 面 ED
37、.空 亚 一 I，aEC，所 以“L J22.(l)fl=1(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)由 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性，得 最 大 值，由 最 大 值 相 等 得 参 数 值；(2)设 例 乃=/(幻-6,由(1)确 定 结 合(1)中 所 得 单 调 性，利 用 零 点 存 在 定 理 证 明 函 数 存 在 两 个 零 点，得 y=b 与 y=x)的 图 象 有 两 个 交 点，同 理 得 y=b 与 y=/(lnx)=g(x)也 有 两 个 交 点，于 是 为 满 足 题 意 有 两 个 交 点 重 合，结 合 g(x)=/(lnx)可 得 出 三 个 交 战 的
38、 横 坐 标 之 间 的 关 系，从 而 证 得 结 论 成 立.(1)x)定 义 域 是(一 叫+8),g(x)的 定 义 域 是(。，帝)，因 为 答 案 第 14页，共 16页 I-ex/ax2,当。0 时，/(x)0=x0nxlg(x)0=0 x=x e,则/(x)在()上 单 调 递 减，在 0，+8)单 调 递 增,不 存 在 最 大 值，g（x）在（Qe）上 单 调 递 减，在 3+8）单 调 递 增，也 不 存 在 最 大 值；同 理 知 当。0时，/（x）在（-8,1）上 单 调 递 增，在 0，+8）单 调 递 减，8（%）在（通）上 单 调 递 增，在（e，+8）单 调
39、递 减，所 以/（X）有 极 大 值）一，即/（X）的 最 大 值，g（x）有 极 大 值/j_ q=J_8 C ae,即 g（x）的 最 大 值，所 以 e ae,即。=1；由 知 O/g O W）一 工，由 于 x 0 时，x）0,xl时，1，、丫 1/、八 0b-h（x）=一 一 b 0b,因 此 只 有 e 才 可 能 满 足 题 意，记、e、，且 e,由（1）得（x）在（-00）上 单 调 递 增，在（*）单 调 递 减，旦）=”一,所 以 存 在 不（0,1）,使 得“不）=0,设 9（x）=e*72,贝 产（x）=e*_2x,设 M x）=d（x）,贝 1mx）=cx-2 f 0
40、cxln2时，加（x）0,相（外 递 增,所 以 加（x）mm=M（ln2）=2-21n20,所 以 d（x）2”（ln2）0,。是 增 函 数，时,所 以 存 在 I 6人 使 得“0。）=,即 此 时 与，=/（）有 两 个 交 点，其 中 一 个 交 点 在（/）内，另 一 个 交 点 在（L+8）内，同 理 y=b与，=/（12）=8（、）也 有 两 个 交 点，其 中 一 个 交 点 在（通）内，另 一 个 交 点 在 3+8）内，若 y=%与 y=/G）和 y=g a）共 有 三 个 不 同 的 交 点，则 其 中 一 个 交 点 为 两 条 曲 线 y=/G）和 y=g G）的
41、公 共 点，记 其 横 坐 标 为*2,令/（）=g（）=/（瓜 今），则 x2 e（l,e）,lnx2 e（0,1）,记 y=6与 N=/（x）j=g（x）的 三 个 交 点 的 横 坐 标 从 左 到 右 依 次 为 x2 _ lnx2匕，匕，且 满 足 X3lX2eX4，/（x J=/（X2）=g（X2）=g（X4）,且 e*一 X,即 X；=elnx2,又/（七）=/（3）/&）=/（1nx4）,且 不，皿 e（O，l），W，1n4 l，e）,且/（x）在（0,1）和（l,e）上 分 别 单 调，所 以 X3=1政 2，彳 2=124,即 X4=e,所 以 X；=%4，超 为 答 案
42、第 15页，共 16页七 户 4的 等 比 中 项，所 以 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 鼻，马，匕 成 等 比 数 歹|J.本 题 考 查 用 导 数 求 函 数 的 最 值，用 导 数 研 究 方 程 的 根 的 问 题，属 于 难 题.对 于 方 程 的 根 的 问 题，难 点 在 于 寻 找 两 个 方 程 的 根 之 间 的 关 系，首 先 第 一 步 由 零 点 存 在 定 理 证 明 存 在 两 个 零 点（方 程 有 两 个 根），其 次 通 过 函 数 式 关 系 g（x）=/（lnx）找 到 两 个 方 程 的 根 之 间 的 关 系，再 根 据 等 比 数 列 的 性 质 证 明 结 论 成 立.答 案 第 16页，共 16页