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1、南京市南京市 2023 届高三年级届高三年级期初考试期初考试数学参考答案数学参考答案1B2D3A4C5D6A7B8C9BC10AC11ACD12ABD13141441526316(2，117解：（1）在ABD 中，由ABsinADBADsinABD，得6sinADB3 222，所以 sinADB1因为 0ADB135，所以ADB90，所以 BD AB2AD23 2（2）在ADE 中，DE23BD2 2，因为ADE90，所以 AE AD2DE2 26，cosDAEADAE3 1313在ACD 中，AC2AE2 26，AD3 2，cosDAC3 1313，所以 CD2AD2AC22ADACcosD
2、AC50，即 CD5 2，所以 cosADCAD2CD2AC22ADCD3518（1）解：因为 a16，a212，a320，所以 a2a16，a3a28又因为数列 an1an为等差数列，所以 an1an6(n1)22n4当 n2 时，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)2n66(2n8)(n1)26n23n2当 n1 时，a16 满足 ann23n2，综上，ann23n2（2）证明：由（1）得1an1n23n21(n1)(n2)1n11n2，所以 Sn121313141n11n2121n2因为 nN*，故1n20，所以 Sn1219（1）证明：连 AC 交 BD 于点
3、N，连 MN因为底面 ABCD 为平行四边形，所以 N 为 AC 的中点因为 M 为 PC 中点，所以 MNPA又 PA/平面 MBD，MN 平面 MBD，所以 PA平面 MBD（2）方法方法 1取 CD 中点 E，连 AE因为 ABAD，四边形 ABCD 为平行四边形，所以四边形 ABCD 为菱形，又BAD120，所以ADC60，因此ACD 为等边三角形，所以 AECD，即 AEAB又 PA平面 ABCD，故以 AB，AE，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(1，3，0)，D(1，3，0)，M(12，32，1)，所以A
4、B(2，0，0)，AM(12，32，1)，AD(1，3，0)设平面 AMB 的一个法向量为 n1(x，y，z)，则n1AB0，n1AM0，即2x0，12x32yz0，取 x0，y2，z 3，即 n1(0，2，3)设平面 AMD 的一个法向量为 n2(x，y，z)，则n1AD0，n1AM0，即x 3y0，12x32yz0，取 x 3，y1，z 3，即 n1(3，1，3)FNMDCBAPxyzE则 cos n1，n20 321(3)(3)7 757，又 n1，n2(0，)，所以二面角 BAMD 的平面角的正弦值为2 67方法方法 2因为 ABAD，四边形 ABCD 为平行四边形，所以四边形 ABC
5、D 为菱形又BAD120，所以ABC60，因此ABC 为等边三角形又 AB2，N 为 AC 的中点，所以 BN 3取 AM 中点 F，连 BF，DF，在 RtBMN 中，MN1，BN 3，所以 BM2又因为 AB2，所以 BFAM，同理可证 DFAM，所以BFD 即为二面角 BAMD 的平面角在 RtAMN 中，ANMN1，AM 2在BAM 中，BFBA2AM24142同理在DAM 中计算得 DF142又 BD2 3，所以 cosBFDBF2DF2BD22BFDF57又BFD(0，)，所以 sinBFD 1cos2BFD2 67，FNMDCBAP所以二面角 BAMD 的平面角的正弦值为2 67
6、20解：（1）K2(4553515)(4515355)2(455)(3515)(4535)(515)6.25因为 6.256.635，所以没有 99%的把握认为该校首次参加英语四级考试的学生能否合格与性别有关（2）设 2 人中合格人数为 X，则 X 的可能取值为 0，1，2P(X0)C035C215C250335，P(X1)C135C115C25037，P(X2)C235C015C2501735，所以 2 人中合格人数的概率分布为X012P335371735所以数学期望 E(X)03351372173575（3）该校首次参加英语四级考试的每位学生合格的概率为35451000.8两次考试后两人全
7、部合格可分为三类：第一类：两名学生第一次考试都合格，则概率为 0.820.64；第二类：两名学生中有一位第一次考试不合格，第二次合格，则概率为 C120.80.20.90.288；第三类：两名学生中第一次考试都不合格，第二次都合格，则概率为 0.220.920.0324；所以 0.640.2880.3240.9604，所以 2 名学生至多两次四级考试后，这两人全部合格的概率为 0.960421解：（1）抛物线 y22px 的焦点 F(p2，0)因为 P(0，2)，且 A 为 PF 中点，所以 A(p4，1)因为 A 在抛物线上，所以 12pp4，解得 p 2（2）由题意知直线 l 的斜率存在设
8、直线 l 的方程为 ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y122 2x1，y222 2x2由ykx2，y22 2x，消去 x，得 ky22 2y4 20，则 y1y22 2k，y1y24 2k假设存在定点 T(m，n)，则 TA(x1m，y1n)，TB(x2m，y2n)，所以 TATB(x1m)(x2m)(y1n)(y2n)(24y12m)(24y22m)(y1n)(y2n)18y12y2224m(y12y22)m2y1y2n(y1y2)n24k224m(8k28 2k)m24 2k2 2nkn2(42 2m)1k2(4m4 22 2n)1km2n2要使得 TATB为常数，则42
9、 2m0，4m4 22 2n0，解得 m 2，n4，所以存在定点 T(2，4)，此时 TATBm2n21822解：（1）由 f(x)eaxx，得 f(x)aeax1令 f(x)0，得 x1alna当 x1alna 时，f(x)0；当 x1alna 时，f(x)0，所以，f(x)的减区间为(，1alna)，增区间为(1alna，)（2）设 g(x)f(x)(112ax2)eax12ax2x1，x0，)则 g(x)aeaxax1，g(x)a(aeax1)a f(x)当 a1 时，因为 x0，所以 g(x)a(a1)0，从而 g(x)在0，)上单调递增因此 g(x)g(0)a10，故 g(x)在0，)上单调递增，所以 g(x)g(0)0 恒成立，因此 a1 符合题意当 0a1 时，由（1）知，当 x(0，1alna)时，g(x)a f(x)0，所以 g(x)单调递减，因此，当 x(0，1alna)时，g(x)g(0)a10，所以 g(x)单调递减，故 g(1alna)g(0)0，与 g(x)0 恒成立矛盾因此 0a1 不符合题意当 a0 时，此时 g(x)x，g(1)10，与 g(x)0 恒成立矛盾，因此 a0 不符合题意当 a0 时，此时 g(2a)e210，与 g(x)0 恒成立矛盾因此 a0 不符合题意综上，a1