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1、当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取当代数和几何结合成伴侣时，他们就相互吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。对方的新鲜活力，并迅速地趋于完美。-拉格朗日（拉格朗日（Lagrange,1736-1813Lagrange,1736-1813）数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少知觉，形少数时难入微。数缺形时少知觉，形少数时难入微。-华罗庚（华罗庚（1910191019851985）第1页/共100页7.1 7.1 线性映射线性映射一、内容分布一、内容分布 7.1.1 7.1.1 线性映射的定义、例线性映射的定义、例.7.1.2 7.1.2 线性变
2、换的象与核线性变换的象与核.二、二、教学目的教学目的:1 1准确线性变换（线性映射）的定义，判断给准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射）定的法则是否是一个线性变换（线性映射）2 2正确理解线性变换的象与核的概念及相互间正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，并能求给定线性变换的象与核的联系，并能求给定线性变换的象与核三、三、重点难点重点难点:判断给定的法则是否是一个线性判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求给定线性变换的象与核变换（线性映射），求给定线性变换的象与核 第2页/共100页7.1.1 7.1.1 线性映射的定义、例线性映射的定义
3、、例 设F是一个数域，V和W是F上向量空间.定义定义1 1 设设是是V V 到到W W 的一个映射的一个映射.如果下列条如果下列条件被满足，就称件被满足，就称是是V V 到到W W 的一个线性映射：的一个线性映射：对于任意对于任意 对于任意对于任意容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件：对于任意对于任意 和任意和任意第3页/共100页在在中取中取 ，对对进行数学归纳，可以进行数学归纳，可以得到得到：（1）（2）例例1 1 对于对于 的每一向量的每一向量 定义定义 是是 到到 的一个映射，我们证明，的一个映射，我们证明，是是一个线性映射一个线性映射.例
4、例2 2 令令H H是是 中经过原点的一个平面中经过原点的一个平面.对于对于 的的每一向量每一向量，令，令 表示向量表示向量在平面在平面H H上的正射上的正射影影.根据射影的性质，根据射影的性质，是是 到到 的一个线性映射的一个线性映射.第4页/共100页例例3 3 令令A A是数域是数域F F上一个上一个m m n n矩阵，对于矩阵，对于n n元列空元列空间的间的 每一向量每一向量 规定：是一个是一个m m11矩阵，矩阵，即是空间即是空间 的一个向的一个向量，量，是是 到到 的一个线性映射的一个线性映射.第5页/共100页例例4 4 令令V V 和和W W是数域是数域F F 上向量空间上向量
5、空间.对于对于V V 的每一向的每一向量量令令W W 的零向量的零向量0 0与它对应，容易看出这是与它对应，容易看出这是V V 到到W W的一个线性映射，叫做零映射的一个线性映射，叫做零映射.例例5 令令V V是数域是数域F F上一个向量空间，取定上一个向量空间，取定F F的一个数的一个数k k，对于任意，对于任意 定义定义容易验证，容易验证，是是V V 到自身的一个线性映射，这样一到自身的一个线性映射，这样一个线性映射叫做个线性映射叫做V V 的一个位似的一个位似.特别，取特别，取k=k=1 1，那么对于每一，那么对于每一 都有都有 这时这时就是就是V V到到V V的恒等映射，或者叫做的恒等
6、映射，或者叫做V V的单位映的单位映射，如果取射，如果取k=k=0 0，那么，那么就是就是V V 到到V V的零映射的零映射.第6页/共100页例例6 6 取定取定F F的一个的一个n n元数列元数列 对于对于 的每一向量的每一向量 规定规定 容易验证容易验证，是是 到到F F的一个线性映射，这个的一个线性映射，这个线性映射也叫做线性映射也叫做F F上一个上一个n n元线性函数或元线性函数或 上一个线性型上一个线性型.例例7 7 对于对于F F x x 的每一多项式的每一多项式f f（x x），令它的导数），令它的导数 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义与它对应，根据导数的基本性质，这样定
7、义的映射是的映射是F F x x 到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射.第7页/共100页例例8 8 令令C C a a,b b 是定义在是定义在 a a,b b 上一切连续实函数上一切连续实函数所成的所成的R R上向量空间，对于每一上向量空间，对于每一 规定规定 仍是仍是 a a,b b 上一个连续实函数，根据积分上一个连续实函数，根据积分的基本性质的基本性质，是是C C a a,b b 到自身的一个线性映射到自身的一个线性映射.第8页/共100页7.1.2 7.1.2 线性变换的象与核线性变换的象与核定义定义2 2 设设是向量空间是向量空间V V到到W W的一个线性映射的一个线性映射,
8、(1)(1)如果如果 那么那么 叫做叫做 在在之下的象之下的象.(2)(2)设设 那么那么 叫做叫做 在在 之下的原象之下的原象.定理定理7.1.17.1.1 设设V V 和和W W 是数域是数域F F 上向量空间，而上向量空间，而 是一个线性映射，那么是一个线性映射，那么V V 的任意子空间的任意子空间在在之下的象是之下的象是W W 的一个子空间，而的一个子空间，而W W 的任意子空的任意子空间在间在之下的原象是之下的原象是V V 的一个子空间的一个子空间.第9页/共100页特别，向量空间特别，向量空间V V 在在之下的象是之下的象是W W 的一个的一个子空间，叫做子空间，叫做的象的象,记为
9、记为 即即另外，另外，W W 的零子空间的零子空间 0 0 在在之下的原象之下的原象是是V V 的一个子空间，叫做的一个子空间，叫做的核，的核，记为记为即即第10页/共100页定理定理7.1.27.1.2 设设V V和和W W是数域是数域F F向量空间，而是一个线性映向量空间，而是一个线性映射，那么射，那么(i)(i)是满射是满射(ii)(ii)是单射是单射证明证明 论断论断(i)(i)是显然的是显然的,我们只证论断我们只证论断(ii)(ii)如果如果是单射是单射,那么那么ker()ker()只能是含有唯一的零向量只能是含有唯一的零向量.反过来设反过来设ker()=0.ker()=0.如果如果
10、 那么那么 从而从而 所以所以 即即是单射是单射.第11页/共100页如果线性映射如果线性映射 有逆映射有逆映射 ，那么是那么是W W 到到V V 的一个线性映射的一个线性映射.建议同学给出证明建议同学给出证明.第12页/共100页7.2 7.2 线性变换的运算线性变换的运算 一、内容分布一、内容分布7.2.1 7.2.1 加法和数乘加法和数乘线性变换的积线性变换的积7.2.37.2.3线性变换的多项式线性变换的多项式二、二、教学目的教学目的:掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算.掌握线性变换的多项式掌握线性变换的多项式,能够求出给定线性变换能够
11、求出给定线性变换的多项式的多项式.三、三、重点难点重点难点:会做运算会做运算.第13页/共100页7.2.1 7.2.1 加法和数乘加法和数乘 令令V V是数域是数域F F上一个向量空间，上一个向量空间，V V到自身的一个到自身的一个线性映射叫做线性映射叫做V V 的一个线性变换的一个线性变换.我们用我们用L L（V V）表示向量空间和一切线性变换所成的）表示向量空间和一切线性变换所成的集合，设集合，设定义定义:加法加法:数乘数乘:,那么是那么是V V的一个线性变换的一个线性变换.可以证明可以证明:和和 都是都是V V 的一个线性变换的一个线性变换.令令 ，那么对于任意那么对于任意 和任意和任
12、意 证明证明 第14页/共100页所以所以 是是V V的一个线性变换的一个线性变换 令令 ，那么对于任意那么对于任意 和任意和任意 所以所以k k是是V V的一个线性变换的一个线性变换.第15页/共100页线性变换的加法满足变换律和结合律线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明容易证明,对对于任意于任意 ,以下等式成立以下等式成立:(1)(1)(2)(2)令令表示表示V V到自身的零映射到自身的零映射,称为称为V V的零变换的零变换,它显然它显然具有以下性质：对任意具有以下性质：对任意 有有：(3)(3)设设 的负变换的负变换指的是指的是V V到到V V的映的映射射容易验证，容易验证，也是也
13、是V V的线性变换，并且的线性变换，并且（4 4）第16页/共100页线性变换的数乘满足下列算线性变换的数乘满足下列算律：律：这里这里k k,l l是是F F中任意数，中任意数，,是是V V的任意线性变换的任意线性变换.定理定理 L L（V V）对于加法和数乘来说作成数域）对于加法和数乘来说作成数域F F上上一个向量空间一个向量空间.第17页/共100页线性变换的积线性变换的积 设设 容易证明合成映射容易证明合成映射 也是也是V V上的线性变换，即上的线性变换，即 我们我们也把合成映射也把合成映射 叫做叫做与与的积，并且简的积，并且简记作记作 。除上面的性质外，还有。除上面的性质外，还有：对于
14、任意对于任意 成立成立。第18页/共100页证明证明 我们验证一下等式（我们验证一下等式（9 9）其余等式可以类似地）其余等式可以类似地验证。设验证。设 我们有我们有因而（因而（9 9）成立）成立。第19页/共100页7.2.3 7.2.3 线性变换的多项式线性变换的多项式 线性变换的乘法满足结合律：线性变换的乘法满足结合律：对于任意对于任意 都有都有 因此因此,我们可以合理地定义一个线性变换我们可以合理地定义一个线性变换的的n n次幂次幂 这里这里n n是正整数是正整数。我们再定义我们再定义 这里这里表示表示V V到到V V的单位映射，称为的单位映射，称为V V的单位变换。这的单位变换。这样
15、一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。样一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。第20页/共100页进一步，设进一步，设 是是F F上一个多项式，而上一个多项式，而 以以代替代替x x，以，以 代替代替 ，得到得到V V的一个线性变换的一个线性变换 这个线性变换叫做当这个线性变换叫做当 时时f f(x x)的值，的值，并且记作并且记作（1 1）因为对于任意）因为对于任意 我们也可将我们也可将 简记作简记作 ，这时可以这时可以写写第21页/共100页（2 2）带入法：如果）带入法：如果 并且并且 那么根据那么根据L L(V V)中运算所满足的性质中运算所满足的性质,我们有我们有 第22页/
16、共100页7.3 7.3 线性变换和矩阵线性变换和矩阵 一、内容分布一、内容分布 7.3.1 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 7.3.2 7.3.2 坐标变换坐标变换 7.3.3 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵相似矩阵相似矩阵二、教学目的二、教学目的 1 1熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵，以及给定n n 阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换阶矩阵和基，求出关于这个基矩阵为的线性变换 2 2由向量由向量关于给定基的坐标，求出关于给定基的坐
17、标，求出()()关于这个基关于这个基的坐标的坐标 3 3已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出关于关于另一个基的矩阵。另一个基的矩阵。三、重点难点三、重点难点 线性变换和矩阵之间的相互转换线性变换和矩阵之间的相互转换,坐标变换坐标变换,相似矩阵。相似矩阵。第23页/共100页7.3.1 7.3.1 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 现在设现在设V V是数域是数域F F上一个上一个n n维向量空间，令维向量空间，令是是V V的一的一个线性变换，取定个线性变换，取定V V的一个基的一个基 令令 第24页/共100页设设 N N 阶矩阵阶矩阵A A 叫做线性变换
18、叫做线性变换关于基关于基 的矩阵的矩阵.上面的表达常常写出更方便的形式上面的表达常常写出更方便的形式:(1)(1)第25页/共100页7.3.2 7.3.2 坐标变换坐标变换设设V V是数域是数域F F上一个上一个n n 维向量空间维向量空间,是它的一个基是它的一个基,关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 而而()的坐标是的坐标是 问问:和和 之间有什么关系之间有什么关系?设设第26页/共100页因为因为是线性变换，所以是线性变换，所以 （2 2）将（将（1 1）代入（）代入（2 2）得）得 第27页/共100页最后，等式表明最后，等式表明，的坐标所组成的坐标所组成的列是的列是 综合上面所述综
19、合上面所述,我们得到坐标变换公式我们得到坐标变换公式：定理定理7.3.17.3.1 令令V V是数域是数域F F上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间，是是V V的一个线性变换，而的一个线性变换，而关于关于V V的一个基的一个基 的矩阵是的矩阵是 第28页/共100页如果如果V V中向量中向量关于这个基的坐标是关于这个基的坐标是 ，而而()的坐标是的坐标是 ，那么那么第29页/共100页例例1 1 在空间在空间 内取从原点引出的两个彼此正交内取从原点引出的两个彼此正交的单位向量的单位向量 作为作为 的基的基.令令是将是将 的每一向量旋转角的每一向量旋转角的一个旋转的一个旋转.是是 的一个的
20、一个线性变换线性变换.我们有我们有 所以所以关于基关于基 的的矩阵是矩阵是设设 ，它关于基它关于基 的坐标是的坐标是 ,而而 的坐标是的坐标是 .那么那么 第30页/共100页7.3.3 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换矩阵唯一确定线性变换 引理引理7.3.27.3.2 设设V V是数域是数域F F上一个上一个n n 维向量空间维向量空间，是是V V的一个基，那么对于的一个基，那么对于V V 中任意中任意n n个向量个向量 ，有且仅有有且仅有 V V 的一的一个线性变换个线性变换，使得，使得:证证 设设 是是V V中任意向量中任意向量.我们如下地定义我们如下地定义V V到自身的一个映到自身的一
21、个映射射：第31页/共100页我们证明，我们证明，是是V V的一个线性变换。设的一个线性变换。设那么那么 于是于是 设设 那么那么 第32页/共100页这就证明了这就证明了是是V V的一个线性变换。线性变换的一个线性变换。线性变换显显然满足定理所要求的条件：然满足定理所要求的条件：如果如果是是V V的一个线性变换，且的一个线性变换，且 那么对于任意那么对于任意从而从而 第33页/共100页定理定理7.3.37.3.3 设设V V 是数域是数域 F F 上一个上一个n n 维向量空间，维向量空间，是是V V 的一个基，对于的一个基，对于V V 的每一个线的每一个线性变换性变换，令，令关于基关于基
22、 的矩阵的矩阵A A与它对应，与它对应，这样就得到这样就得到V V 的全体线性变换所成的集合的全体线性变换所成的集合L L（V V）到）到F F上全体上全体n n 阶矩阵所成的集合阶矩阵所成的集合 的一个双的一个双射，并且如果射，并且如果 ,而而 ，则则 (3)(3)(4)(4)证证 设线性变换设线性变换关于基关于基 的矩阵是的矩阵是A A。那么。那么 是是 的一个映射的一个映射。第34页/共100页是是F F上任意一个上任意一个n n阶矩阵。令阶矩阵。令 由引理由引理7.3.27.3.2，存在唯一的，存在唯一的 使使 反过来，设反过来，设 显然显然关于基关于基 的矩阵就的矩阵就是是A.A.这
23、就证明了如上建立的映射是这就证明了如上建立的映射是 的双射的双射.第35页/共100页设设 我们有我们有 由于由于是线性变换是线性变换,所以所以 因此因此 所以所以关于基关于基 的矩阵的矩阵就是就是ABAB。（。（7 7）式成立，至于（）式成立，至于（6 6）式成立，是显然）式成立，是显然的。的。第36页/共100页推论推论7.3.47.3.4 设数域设数域F F上上n n 维向量空间维向量空间V V 的一个线性变的一个线性变换换关于关于V V 的一个取定的基的矩阵是的一个取定的基的矩阵是A A，那么，那么可逆可逆必要且只要必要且只要A A可逆，并且可逆，并且 关于这个基的矩阵就是关于这个基的
24、矩阵就是 .证证 设设可逆。令可逆。令 关于所取定的基的矩阵是关于所取定的基的矩阵是B B。由（。由（7 7），），然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵然而单位变换关于任意基的矩阵都是单位矩阵 I I .所以所以ABAB=I I.同理同理BA BA=I I.所以所以第37页/共100页注意到（注意到（5 5），可以看出），可以看出 同理同理 所以所以有逆，而有逆，而 反过来，设反过来，设 而而A A可逆。由定理可逆。由定理7.3.37.3.3，有，有 于是于是 我们需要对上面的定理和定理的深刻意义加以说明我们需要对上面的定理和定理的深刻意义加以说明:1.1.取定取定n n 维向量空间维向量
25、空间V V的一个基之后的一个基之后,在映射在映射:之下之下,(作为线性空间作为线性空间)第38页/共100页研究一个抽象的线性变换研究一个抽象的线性变换,就可以转化为研究一就可以转化为研究一个具体的矩阵个具体的矩阵.也就是说也就是说,线性变换就是矩阵线性变换就是矩阵.以以后后,可以通过矩阵来研究线性变换可以通过矩阵来研究线性变换,也可以通过线性也可以通过线性变换来研究矩阵变换来研究矩阵.2.2.我们知道我们知道,数域数域F F上一个上一个n n 维向量空间维向量空间V V 同构同构于于 ,V V上的线性变换上的线性变换 转化为转化为 上一个具体的变上一个具体的变换换:也就是说也就是说,线性变换
26、都具有上述形式线性变换都具有上述形式.第39页/共100页7.3.4 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵线性变换在不同基下的矩阵 相似矩阵相似矩阵 定义：定义：设设 A A，B B 是数域是数域 F F 上两个上两个 n n 阶矩阵阶矩阵.如果如果存在存在F F上一个上一个 n n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 T T 使等式使等式成立，那么就说成立，那么就说B B与与A A相似，记作：相似，记作：.n n阶矩阵的相似关系具有下列性质：阶矩阵的相似关系具有下列性质：1.1.自反性：每一个自反性：每一个n n阶矩阵阶矩阵A A都与它自己相似，都与它自己相似，因为因为2.2.对称性：如果对称性：如果 ，
27、那么那么 ；因为由因为由第40页/共100页3.3.传递性：如果传递性：如果且且那么那么事实上，由事实上，由 得得设线性变换设线性变换关于基关于基 的的矩阵是矩阵是 A A,关于基关于基 的的矩阵是矩阵是 B B,由基由基 到基到基 的过的过渡矩阵渡矩阵T T,即即:第41页/共100页定理定理7.3.47.3.4 在上述假设下在上述假设下,有有:即即:线性变换在不同基下的矩阵是相似的线性变换在不同基下的矩阵是相似的.反过来反过来,一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的一对相似矩阵可以是同一个线性变换在不同基下的矩阵矩阵.证明留做练习证明留做练习第42页/共100页7.4 7.4 不变子
28、空间不变子空间一、内容分布一、内容分布 7.4.1 7.4.1 定义与基本例子定义与基本例子 7.4.2 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简 7.4.3 7.4.3 进一步的例子进一步的例子二、教学目的二、教学目的 1 1掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线掌握不变子空间的定义及验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间方法性变换的不变子空间方法 2 2会求给定线性变换的一些不变子空间会求给定线性变换的一些不变子空间三、重点难点三、重点难点 验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给验证一个子空间是否某线性变换的不变子空间、会求给定线性变换的一
29、些不变子空间。定线性变换的一些不变子空间。第43页/共100页7.4.1 7.4.1 定义与基本例子定义与基本例子 令令V V是数域是数域F F上一个向量空间上一个向量空间,是是V V的一个线性变的一个线性变换换.定义定义 V V的一个子空间的一个子空间W W说是在线性变换说是在线性变换之下不之下不变变,如果如果 .如果子空间如果子空间W W在在之下不变，那么之下不变，那么W W就叫做就叫做的一个不变子空间的一个不变子空间.注意注意:子空间子空间W W在线性变换在线性变换之下不变之下不变,指指 ,即即:并不能说并不能说:第44页/共100页例例1 1 V V本身和零空间本身和零空间00显然在任
30、意线性变换之下不显然在任意线性变换之下不变变.例例2 2 令令是是V V的一个线性变换，那么的一个线性变换，那么的核的核KerKer()的像的像ImIm()之下不变之下不变.例例3 3 V V的任意子空间在任意位似变换之下不变的任意子空间在任意位似变换之下不变.例例4 4 令令是是 中以某一过原点的直线中以某一过原点的直线L L为轴，旋为轴，旋转一个角转一个角的旋转，那么旋转轴的旋转，那么旋转轴L L是是的一个一维的一个一维不变子空间，而过原点与不变子空间，而过原点与L L垂直的平面垂直的平面H H是是的一个的一个二维不变子空间二维不变子空间.第45页/共100页例例5 5 令令F F x x
31、 是数域是数域F F上一切一元多项式所成的向量上一切一元多项式所成的向量空间，空间，是求导数运对于是求导数运对于每一自然数每一自然数n n，令，令 表示一切次数不超过表示一切次数不超过n n的多项式连同零多项式所成的子空间的多项式连同零多项式所成的子空间.那么那么 在在不变不变.设设W W是线性变换是线性变换的一个不变子空间的一个不变子空间.只考虑只考虑在在W W上的作用，就得到子空间上的作用，就得到子空间E E本身的一个线性变换，本身的一个线性变换，称为称为在在W W上的限制，并且记作上的限制，并且记作 这样，这样，对于任意对于任意 然而如果然而如果 那么那么 没有意没有意义。义。第46页/
32、共100页7.4.2 7.4.2 不变子空间和线性变换的矩阵化简不变子空间和线性变换的矩阵化简 设设V V是数域是数域F F上一个上一个n n维向量空间，维向量空间，是是V V的一个的一个线性变换。假设线性变换。假设有一个非平凡不变子空间有一个非平凡不变子空间W W，那么，那么取取W W的一个基的一个基 再补再补充成充成V V的一个基的一个基 由于由于W W在在之下不变，所以之下不变，所以 仍在仍在W W内，因而可以由内，因而可以由W W的基的基 线性表示。我们有：线性表示。我们有：第47页/共100页因此，因此，关于这个基的矩阵有形状关于这个基的矩阵有形状 而而A A中左下方的中左下方的O
33、O表示一个表示一个 零矩阵零矩阵.这里这里 是是 关于关于W W的基的基 的矩阵，的矩阵，第48页/共100页由此可见，如果线性变换由此可见，如果线性变换有一个非平凡不变子空有一个非平凡不变子空间，那么适当选取间，那么适当选取V V的基，可以使与的基，可以使与对应的矩阵对应的矩阵中有一些元素是零。特别，如果中有一些元素是零。特别，如果V V可以写成两个非可以写成两个非平凡子空间的平凡子空间的 直和：直和：那么选取那么选取 的一个基的一个基 和和 的一个基的一个基 凑成凑成V V的一个基的一个基 当当 都在都在之之下不变时，容易看出，下不变时，容易看出，关于这样选取的基的矩阵关于这样选取的基的矩
34、阵是是这里这里 是一个是一个r r阶矩阵阶矩阵,它是它是 关于基关于基第49页/共100页一般地，如果向量空间一般地，如果向量空间V V可以写成可以写成s s个子空间个子空间 的直和，并且每一子空间都在线性变的直和，并且每一子空间都在线性变换换之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑之下不变，那么在每一子空间中取一个基，凑成成V V的一个基，的一个基，关于这个基的矩阵就有形状关于这个基的矩阵就有形状 这里这里 关于所取的关于所取的 的基的矩阵的基的矩阵.的矩阵，而的矩阵，而 是是 nrnr阶矩阵，它是阶矩阵，它是 关于基关于基 的矩阵的矩阵。第50页/共100页例例6 6 令令 是例是例4 4
35、所给出的所给出的 的线性变换的线性变换.显然显然 是一维子空间是一维子空间L L与二维子空间与二维子空间H H的直和，而的直和，而L L与与H H在在 之下不变之下不变.取取L L的一个非零向量的一个非零向量 ，取，取 H H 的的两个彼此正交的单位长度向量两个彼此正交的单位长度向量 那么那么 是是 的一个基，而的一个基，而关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是第51页/共100页7.4.3 7.4.3 进一步的例子进一步的例子例例7 7 如果如果 ，那么那么证：证：1.1.任取任取2.2.任取任取第52页/共100页例例8 8 如果如果 ，那么对任何那么对任何 证：证：，那么那么 例例9 9
36、判定下列子空间在给定的判定下列子空间在给定的 下是否为不变下是否为不变子空间子空间（1 1）第53页/共100页（2 2）（3 3）（4 4）解解 (1)(1)是是.(2)(2)否否.(3)(3)是是.(4)(4)否否.第54页/共100页例例1010 是是V V上一个线性变换，上一个线性变换，W W 是是 生成生成的子空间：的子空间：.则则.证：证：必要性：必要性：W W中不变子空间，中不变子空间，充分性：如果充分性：如果 是包含是包含的最小子空间，的最小子空间，第55页/共100页例例1111 设设是是V V上的线性变换，上的线性变换，是是V V上的非零向量，上的非零向量，且且 线性无关，
37、但线性无关，但线性相关线性相关.那么那么 是包含是包含的最小不变子空间的最小不变子空间.证证 (1)(1)线性表出线性表出,因此因此 这样，这样，的生成元在的生成元在下的象下的象 全部属全部属 于于 .所以所以 是一个是一个不变子空间不变子空间第56页/共100页（2 2）对任何包含）对任何包含的不变子空间的不变子空间W W，故故 ，即即 包含包含W W的的一个最小子空间一个最小子空间.例例1212 设设 是是V V的一给基的一给基,在在 下的矩阵为下的矩阵为 求包含求包含 的最小子空间的最小子空间.第57页/共100页解解 算算 的坐标为（用的坐标为（用“()”()”表示取坐标）表示取坐标）
38、中线性无关中线性无关 第58页/共100页的坐标排成的行列式为：的坐标排成的行列式为：第59页/共100页因此因此 是包含是包含 的最小子空间的最小子空间.注意到注意到 与与 是等价是等价向量组，因此向量组，因此 第60页/共100页一一一一.内容分布内容分布内容分布内容分布 7.5.1 7.5.1 引例引例 7.5.2 7.5.2 矩阵特征值和特征向量的定义矩阵特征值和特征向量的定义 7.5.3 7.5.3 特征值和特征向量的计算方法特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 7.5.4 矩阵特征值和特征向量的性质矩阵特征值和特征向量的性质二二二二.教学目的教学目的教学目的教学目的 1.1.理解
39、特征值和特征向量的概念理解特征值和特征向量的概念 2.2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法 3.3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质掌握特征值与特征向量的一些常用性质三三三三.重点难点重点难点重点难点重点难点 矩阵的特征值和特征向量的求法及性质矩阵的特征值和特征向量的求法及性质第61页/共100页7.5.1 7.5.1 引例引例 在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和在经济管理的许多定量分析模型中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题特征向量的问题.它们之间的关系为它们之间的关系为 写成矩阵形式，就是写成矩阵形式，就是是目前的工
40、业发展水平是目前的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位以某种工业发展指数为测量单位).).例例例例 发展与环境问题已成为发展与环境问题已成为2121世纪各国政府关注和重点，为了定量分世纪各国政府关注和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设析污染与工业发展水平的关系，有人提出了以下的工业增长模型：设 是某地区目前的污染水平是某地区目前的污染水平(以空气或河湖水质的某种污染指数为测以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位量单位)，若干年后若干年后(例如例如5 5年后年后)的污染水平和工业发展水平分别为的污染水平和工业发展水平分别为 和和第62页/共100
41、页记记，即即(2)(2)式可写成式可写成 设当前的设当前的，则，则 即即，由此可以预测若干年后的污染水平与工业发由此可以预测若干年后的污染水平与工业发 展水平。展水平。由上例我们发现，矩阵由上例我们发现，矩阵A A乘以向量乘以向量 恰好等于恰好等于 的的4 4倍，倍数倍，倍数4 4及向量及向量 即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量即是我们本节要讨论的矩阵的特征值和特征向量.第63页/共100页7.5.2 7.5.2 特征值和特征向量的定特征值和特征向量的定义义定义定义1 1：设设A A是一个是一个n n阶矩阵，阶矩阵，是是 F F 中的一个数，如果存在中的一个数，如果存在 V V 中非零
42、中非零向量向量 ，使得，使得 那么称那么称为矩阵为矩阵A A的一个特征值，的一个特征值，称为称为A A属于特征值属于特征值的特征向量的特征向量.例例 因因 解解:所以所以4 4是是 的一个特征值的一个特征值，是是A A的属于的属于4 4的特征向量的特征向量.又又 故故 也是也是A A的属于的属于4 4的特征向量的特征向量.注注1 1：是是A A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则 ，cc也是也是A A的属于的属于的特的特征向量征向量 第64页/共100页练习练习1(1)(1)如果向量如果向量 是矩阵是矩阵 的特征向量，的特征向量，则则k k=_=_(2)(2)设设 ，下列向量中可以成为，下
43、列向量中可以成为A A的的特征向量的是（特征向量的是（）A.B.C.D.2(1)(1)解：解：(2)(2)解解：A.A.B.B.C.D.第65页/共100页7.5.3 7.5.3 特征值和特征向量的计算方特征值和特征向量的计算方法法使使 是是A A的特征值的特征值 有非零解有非零解 注注2：是是A A的特征值的特征值 是方程是方程 的根的根.是是A A属于属于的特征向量的特征向量 且且 是是 的非零解。的非零解。注注3 3：是是A A属于属于的特征向量的特征向量 是是的非零解。的非零解。第66页/共100页定义定义2 2：称为称为A A的特征多项式。的特征多项式。称为称为A A的特征方程，的特
44、征方程，称为称为A A的特征矩阵。的特征矩阵。第67页/共100页例例1 1 设设 ，求，求A A的全部特征值、特征的量。的全部特征值、特征的量。解解：A A的特征多项式为的特征多项式为A A的特征值为的特征值为 对于对于 解解由于由于 得基础解系得基础解系A A的对应于的对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为 即即第68页/共100页对于对于 解解 即即由于由于 得基础解系得基础解系A A的对应于的对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为第69页/共100页注注4 4：A A的特征向量有无穷多个，分为两大类：的特征向量有无穷多个，分为两大类：一类为一类为 一类为一类为问题问题1 1：同类的
45、两个特征向量的线性相关性如何？：同类的两个特征向量的线性相关性如何？问题问题2 2：不同类的任两个特征向量的线性相关性如何：不同类的任两个特征向量的线性相关性如何？第70页/共100页求求A A的全部特征值和特征向量的方法：的全部特征值和特征向量的方法：1.1.计算特征多项式计算特征多项式 2.2.求特征方程求特征方程 的所有根，的所有根，即得即得A A的全部特征值的全部特征值 3.3.对于对于A A的每一个特征值的每一个特征值，求相应的齐次线性方程组求相应的齐次线性方程组（不全为零）例例2 2：求矩阵：求矩阵 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。的一个基础解系的一个基础解系，则则A A的
46、属于的属于 的全部的全部特征向量为特征向量为第71页/共100页解解 A A的特征多项式的特征多项式 A A的特征值为的特征值为，对于对于，解，解 得基础解系得基础解系:第72页/共100页A A的属于特征值的属于特征值1 1的全部特征向量为的全部特征向量为 对于对于，解解 得基础解为得基础解为 A A的属于特征值的属于特征值 1 1 的全部特征向量为的全部特征向量为 第73页/共100页7.5.4 7.5.4 特征向量和特征值的性特征向量和特征值的性质质性质性质1 1 有相同的特征值有相同的特征值 分析分析：要证：要证 有相同的特征值有相同的特征值 只须证只须证 注意到注意到 性质性质3 3
47、 A A的主对角线上的元素的和称为的主对角线上的元素的和称为A A的迹，记作的迹，记作，则则 性质性质2 2 A A的属于不同特征值的特征向量线性无关。的属于不同特征值的特征向量线性无关。第74页/共100页注意到注意到（*）（*）在（*）和（*）中令=0 第75页/共100页练习：求练习：求 的特征值，特征向量。的特征值，特征向量。解：解：A A的特征多项式为的特征多项式为所以所以A A的特征值为的特征值为 对于对于，解解 对于对于，解解 第76页/共100页小结小结1 1、定义、定义1 1：设设A A是一个是一个n n阶矩阵，阶矩阵，是是 F F 中的一个数，如果存在中的一个数，如果存在
48、V V 中中非零向量非零向量 ，使得，使得 那么称那么称为矩阵为矩阵A A的一个特征值，的一个特征值，称为称为A A属于特征值属于特征值的特征向量的特征向量.2、是是A A的特征值的特征值 是方程是方程 的根的根 .3、是是A A属于属于的特征向量的特征向量 是是的非零解。的非零解。4 4、求、求A A的全部特征值和特征向量的方的全部特征值和特征向量的方法：法：1.1.计算特征多项式计算特征多项式 2.2.求特征方程求特征方程 的所有根，的所有根，即得即得A A的全部特征值的全部特征值 3.3.对于对于A A的每一个特征值的每一个特征值，求相应的齐次线性方程组求相应的齐次线性方程组（不全为零）
49、的一个基础解系的一个基础解系，则则A A的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量为为5 5、3 3个性质。个性质。第77页/共100页作业作业：P296 1P296 1、（、（i i）（）（iiiiii）思考题思考题：矩阵：矩阵A A的特征值由特征向量唯的特征值由特征向量唯一确定吗？为什么？一确定吗？为什么？第78页/共100页7.6 7.6 可以对角化矩阵可以对角化矩阵 一、内容分布一、内容分布 7.6.1 7.6.1 什么是可对角化什么是可对角化 7.6.2 7.6.2 本征向量的线性关系本征向量的线性关系 7.6.3 7.6.3 可对角化的判定可对角化的判定 7.6.4 7.6.4 矩
50、阵对角化的方法及步骤矩阵对角化的方法及步骤二、二、教学目的教学目的 1 1掌握可对角化的定义与判断掌握可对角化的定义与判断 2 2熟练掌握矩阵对角化的方法步骤熟练掌握矩阵对角化的方法步骤三、重点难点三、重点难点 可对角化的判断与计算。可对角化的判断与计算。第79页/共100页7.6.1 7.6.1 什么是可对角化什么是可对角化 设设A A是数域是数域F F上一个上一个n n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在F F上一个上一个n n阶逆矩阵阶逆矩阵T T，使得，使得 具有对角形式具有对角形式（1 1）则说矩阵则说矩阵A A可以对角化可以对角化.我们知道我们知道,可以通过矩阵来研究线性变换可以通过矩