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1、第七章 线性变换 讲稿 7.1 线性变换的概念与判别1.线性变换的定义:数域尸上的线性空间M的一个变换b称为线性变换，如果对修中任意的向量a,4和数域尸中的任意数k ,都有：c r(a +/)=c r(a)+c r(P),c r p a)=。2.线性变换的相等(1)设b都是数域尸上的线性空间忆的线性变换，那么b =r当且仅当对V ae%,有b(a)=r(a)。(2)设 都 是 数 域P上的维线性空间忆的线性变换，因,。2,，见 是修的一组基，那么b=7当且仅当CT(%)=%)(4=1,2,川。3.线性变换的判别：设CT为数域P上线性空间P的一个变换，V a/e匕V左,/cP,那么：(1)c r
2、为忆的线性变换当且仅当c r(a +/)=c r(a)+c r()，c r(Z a)=h r(a)。(2)c r为忆的线性变换当且仅当c r(Z a +/)=加(a)+/b(/?)。例1.(华中师大2011,3(1)设口是数域，%是数域口上所有次数小于的多项式加上零多项式构成的线性空间,令+x),证明7是忆上的线性变换。V =F xn证明：首先说明7是P上的变换：事实上，任取由次数定理知x+l)/(x)e P且唯一，因此T是P上的变换。再证明T是忆上的线性变换：任取/(x),g(x)e%,任取A J e尸，由次数定理有/(x)+/g(x)e%。设“x)=4f(x)+/g(x),则(x+1)=歹
3、(x+l)+/g(x+l),于是有：T(V(x)+/g(x)=T(A(x)=/?(x+l)-A(x)=(4f(x+l)+/g(x+l)-(V(x)+/g(x)=%(/(x+l)-/(x)+/(g(x+l)-g(x)=5(/(x)+/T(g(x)因此T是忆上的线性变换。4.线性变换的性质：设忆是数域尸上的线性空间，CT为忆的线性变换，X/a,a2,as,a V,仁义,kf P。(1)c r(0)=0,c r(-a)=-c r(a)(2)线性变换保持向量的线性关系，即：若(7=左g+k2a2+ksas,那么0(。)=尢(7(%)+%2。()+%。3)。(3)若a，。2,4线性相关，那么。(%)。(
4、%)，0(4)也线性相关。(4)设线性变换CT为单射，如果名。2,a,线性无关，那么，0(4)也线性无关。5.两种简便写法设忆是数域P上的线性空间，b为忆的线性变换。设，血，,4，九是修中的两个向量组，且:B 入 必+“力+钻夕2=。2+。2 2,2+。2/CM2%将 式(7-1)简记为：/、G l C2 Cm(2”2,4)=(%,及,/)C2 C：2 N O(G s 。2s Cms)由 式(7-1)可得：b (笈)=H%)+G2 b 优)+G O 伉)。(夕2)=。2。(%)+。22。(%)+4。(八)C C2。加若设C=C；2 C；2 -;2，那 么 式（7 1）就被写成：、Cs C2s
5、Cms），乩）=（%-2,，）C式（7-1）就被写成：b（凡夕2,A,）=b（%，72,，九）c）=b（%，72,，兀）C(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6)(7-7)(7-8)于是由式（7-2）可 得 式（7-6）,6.设%是数域尸上的维线性空间，CT为修的线性变换。求b（4）,b（/72）,，（以“）的秩方法：若b（=6（凤）=b（,）=0,那么“回）（2 2）,b（4）的秩为0,否则:取 忆 的 一 组 基 求 b（尸）,0（月2）,z(a)=a=/3知CT是单射。任取令q =crT(),就有 V,T(0)=a由a的唯一性可知？为忆的一个变换，且：crr(7?)=
6、cr(r()=c r(a)=,o r=/因b 是忆到忆的L 1对应或双射，所以对。(夕)修，必存在唯一的7 c P,使得b(y)=。(夕)=丁(。(尸)=7*(。(乃)=夕于是有：Q(4)=s(T(T(y)=r(T r)cr(/)=rz(T(/)=(rz)cr(/)=rcr(/)=r(cr(/)=T b =i综上可知b 可逆。(2)若di m%=，是%的任意一组基，那么b 可逆当且仅当。(%)0(%)一。()也是忆的一组基。证明：必要性：设4 0(囚)+左2 b(%)+&,。(%)=0,因是忆的线性变换，所以有：b(占4+k2a2+knan)=0=cr(O)而O可逆，因此b 是忆到P的双射(或
7、上式左右两端用err作用)，就得：勺4+k2a2+knan=0因/.a2,a”是的一组基，所以线性无关，得左=h=k“=0 =4 ),(7(%),。(%)线性无关,又。(4),7(4),。(%)e v，且di m/=n,因此 7()。(4)，0(%)也是的一组基。充分性：任取/e k,因(7(4)0(。2)，,。(%)是%的一组基，所以/可由，0(%)线性表出，设 夕=4。(因)+/2。()+/。(%)，因o 是 忆 的 线 性 变 换，所 以 有/=7(/乌+/2 a2 +/“),而%+12a2+-+l an V ,因此c r 是满射。任取a,夕 e P,设。=.*。+s2 a2 +s“a”
8、，夕=4%+，2 a2 +%，如果。(1)=。(4)，那么有：b(a)=sq(%)+S 2 r(a2)+s(a“)=o(=付(%)+/2 b(4)+/(%)一(耳因)+(52 T2)b(%)+(sF)(a.)=0因 7(四),(7(%)，。(4)是%的一组基，所以贝。|),7(%),b(a“)线性无关,因此有：s-t=S 2-/2 =.一=5_(=0n*=九$2 =工2,，s“=4 na =，知er是单射。综上可知cr是忆到P的双射，因此T可逆。7.2线 性 变 换 的 运 算、矩阵(一)线性变换的运算1 .加法、乘法、数量乘法的定义：设忆是数域P上的线性空间，是P的两个线性变换，任取左尸，V
9、a e%。(cr+r)(a)=cr(a)+r(a),(o r)(a)=cr(T(a),(a)=Az r(a),(-cr)(a)=-cr(a)(T+7、o r、h r与-cr都是忆的线性变换。2.运算规律：设忆是数域尸上的线性空间，G7,“都是忆的线性变换，左，/是尸中任意数。1)加法：交 换 律：cr+r=r+cr；结合律：(b+r)+=cr+(r+)；o +cr=cr；cr+(-(r)=o。2)数量乘法：(k l)c r =k(l c r)；lcr=cr。3)加法与数量乘法：(k +l)c r =k b +l c r；(cr+r)=Z cr+A r。4)乘法：(o r)=7(r)；不满足交换
10、律，即o r=Q 不一定成立；不满足消去律，即：由CT HO,O T =OW(Q=CT)不一定能推出7 =勿；由O T =O不一定能推出b =O或7 =0。3.线性变换的多项式：设CT是数域P上的线性空间忆的线性变换，是正整数，为非负整数。(1)o的次暴：r =crcr cr；(2)及=，(，为忆的恒等变换或单位变换)；(3)指数法则：/=,()=ak l。(4)b 的多项式：g(x)=bmxm+bm_xxmx+blx+boe P x ,g(x3)=2 7(石,2，七)+7(%,毛,%3)=(4玉-2xz,2x+2x2,2xt-2 x3)+(x2+x3,x2-x3,X 1 +x2)=(4x,-
11、x2+%3,2 X +3X2-X3,3X1+X2-2x3)2c r(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)-1011 仅 01 0 ,r(xpx2,x3)=1 10 -J b -11、1 ,V(xpx2,x3)e K0,于是:TO(21(占,*3)=7(。(，/，演)=丁 (玉,吃,工3)1 10 010-1、21(X i，%,/)-1 1211、00 01 11 Y1(200 T 人 1 -1 077(演，2，七)1、一 177011(0010-1、0113、0 =(2%+2-X3，%2+X3,3XJ0,01-1110、7例3.(华东师大2 0 1 6,四)设8是维线性空间修上的线性变换，
12、a是忆中的向量，已知正整数 满足d(a)H 0,(a)+幻，(。)=(0)=%序(。)+占。”3)+-+(，+(。)=左 3)=0而”(a)w 0,因此得勺=0,代入中得：K e(a)+%/(a)=0用 作 用 式 两 端 得：夕”(左9(a)+&M(a)+(a)=(pm(0)n kx(pm a+k2(pm+x(a)+-+/：,a=kx(p n(a)=0因*(a)H 0,得左=0。如此下去就得&=%,“=0。综上可知由 o a +K 0(a)+A,9 (a)=0=%o =k=k“,=0=线性无关。4.线性变换构成的线性空间：设厂是数域P上的线性空间，令(%)=。匕 为忆的线性变换,那么上(%)
13、按线性变换的加法和数量乘法做成数域P上的线性空间。(-)线性变换的矩阵1.线性变换的矩阵：设%,。2，.一，%是数域。上的维线性空间忆的一组基，b 是P 的一个线性变换，则基向量的像b 可以由基囚,见，氏 线性表出：。3)=%乌+2区+-,+%b 3)=+a 2 2 a 2 +an2ab(a“)+-+”.由 式(7-2)与 式(7-5)知 式(7-7)可简记为:4%2 1 a2 a22 a2nN 川 an2,册/、%J设/=；2 an2,将矩阵/称 为 b 在基名,4,a”下的矩阵。、”a2n 1,a,注意：”的 第/列（J =L 2,恰好是b（aj在基因,。2,下的坐标。2.线性变换的和、乘
14、积、数量乘积、逆变换、负变换及多项式的矩阵：设/,。2,，区,是数域尸上的维线性空间的一组基，V c r,re（r）,它们在 基 a?，下的矩阵分别为4 5,s 为任意正整数。（1）7+7、OT、与 c r 在基G，%，下的矩阵分别为，+5、4 5、4与一/。（2）任取左e P,hr在基因，下的矩阵为心。（3）若。为可逆线性变换，则c r T 在基四,见，下的矩阵为力 一 二（4）设=H-平 +旬为数域尸上的任一多项式，那么/（c r）=amam+am_xc r -i-a+ag i在基因，下的矩阵为/（4）=amA +am Am H-aAA +a0En。（5）c r 可逆当且仅当Z可 逆（有限
15、维线性空间上的线性变换可逆的判定定理）；（6）令/：b 1 4 V（7 GZ（r）,那么/是数域尸上的线性空间上（%）到数域尸上的线性空间尸、的同构映射，因此上于是是 2 维线性空间。3.向量在线性变换下像的坐标公式：设数域。上的维线性空间忆的线性变换b 在修的基囚,。2，一，%下 的 矩 阵 为/，,a”下的坐标为（国）则 /-1 =(o-z)(b +z)=(b +i)(b-z)=z =+(b-i)-=(cr 4-z)=z2=i而9 +,)2 也是P上的变换，知 7 =4 2b+/=(b-，)2 是可逆变换。例 5.(辽宁大学2 0 1 4,五)设 b是数域P上的维线性空间忆上的线性变换，且
16、满足。2=b,证明：/(为恒等变换)为忆的一个可逆变换。证明：取定忆的一组基名,，%，设a 在基因,下的矩阵为n ,那么b+i在基a。?,下的矩阵为A +E,于是只需证明N +E 可逆即可。e r2-(7 =0 为零变换)，而CT?一O与。在基四。2,下的矩阵分别为N?-/与 O，知：1 N =O n/2/2 E =2 E n (/一 2 E)(Z +E)=2 E =1；(4 2 E)(/+E)=En N +E 可逆=b +i 为/的一个可逆变换。(b,小例 6.(首都师大2 0 1 4,四)设”为 2阶实方阵组成的线性空间，B=G M,定义映射为3 b4)f(/A)、=A B-B A,验证/
17、是线性映射。并写出了在M 的基f n O W O 1W O 0 fo o|下的矩阵。/%,x,y.y,证明：任取X=1 2,Y=7 2 e M ,任取后,/eR,有：lx3 x4)1 为 yjf(kX+lY)=(kX+lY)B-B(kX+lY)=k(X B-B X)+l(YB-B Y)=k f(X)+lf(Y)所以/是线性映射。、（0）（0 n fO0、（0，则有:-阳（、fO 1f（Ei2）=EnB-BEl2=Jf（E2=E2B-BE2 l=J.、fO 0、/（当2）=E22B-BE22=0 所以：0 4 4b210、/4与/b i0、/0b。3 3A、也o;c成%纨暂如c1、0,H oGo
18、 0、0b j%=%10b4 bhc/bKbf 00、00、%0、%0、%口J0也也0也匕ap,b1o 0O 0b2 0b2、4”,也b储101也b4.b4也07/（E”）=0Eu+b2 g 2 -4鸟+0/（g2）=+（，4 -4）E 2 +。E2 1 +（-。3 ）*2 2/（J）=（-力2）好 +。媪2 +（4-）/+b2E22/（万2 2 ）=041+（-,2 ）42+b?E 21+0 E22于 是/在M的基，0）（00）01）仅 0）（0oji ojoVJ 下的矩阵为:/0瓦-，20、b z0b204I 00 J100、例7.（辽 师2013,十.（1）设忆是实数域上以4 G，6，%
19、为基底的线性空间，C T为忆的线性变换，满足O（与）=（，=1,2,3）,Cr（-4）=，2,（1）写出 CT 在基 1,2,3，%下的矩阵。解：由 题 设 可 知：7（,.）=|=1+0f2+03+0 -4（Z =l,2,3）,cr（-4）=f2=0 f,+2+（）3+Q 4,所以 CT 在基 1 1 1 0、0 0 0 1、,、,4下的矩阵为0 0 0 00、0 0 0 0,例8.（陕西师大2012,七，15分）设数域尸上的3维线性空间修上的线性变换b在忆的基与,？，,下的矩阵为a2 a3Ct2 a22 a23，求b在忆的基+2，2 +3，*3下的矩阵。-3 1 。3 2 “3 3/4 口
20、 叫 100解：因（T在/的基与,邑 倨 下的矩阵为2 1 。2 2 。23，又 佃+2+3，？）=（与，J省）1 1 0a320a33）OY/a2&、q0 0、（0 1 1所以O在%的 基|+4,邑+G，/下 的 矩 阵 为110。2 1a22a2311 00、01d4 3 1a32。3 3,、1 由于:因此:1 01 1、0 130、00010100a2 a。22 一 12 23-131 6。2 1+%1 a32 a22 a33 23 13 得O在/的基与+3，3 5的矩阵为:011a +a2a2 a +22 _ q 231 一 21+I 1 +32 一。22+a20 0、1 01 1。3
21、2 a22+4 2 +%3-23+a3。33。23+。13)7.3特 征 值、特征向量与对角矩阵(-)矩阵的特征值与特征向量1.矩阵的特征多项式：设/=(%)为数域。上的一个级方阵，力是一个文字，将矩阵/IE,-/的行列式：J f nn,a a2 anI 0 r A a2-a22 1 。2n|犯-/|=;：an a2%一%”称为矩阵N的特征多项式，记为这是数域P上的一个次多项式，且：，(/1)川 纥 H=4 +(T)(卬+%2+/)犷 +一 +(-1)”H=r+(-i)t r(i)r-1+-+(-i y,|/4|注：将;IE“-/称为矩阵N 的特征矩阵，p lE“-旬=0称为矩 阵/的特征方程
22、。2.矩阵的特征值与特征向量的定义：级方阵力的特征多项式/(冷=忆纥在复数域上的所有根都叫做/特 征值。设 eC是N 的特征值，将齐次线性方程组(4)E“-N)x =O的每个非零解都叫做矩 阵/的属于特征值4的特征向量。3.矩阵的特征值与特征向量的判定：设N 为级方阵，4 e C。(1)4是矩阵Z 的特征值当且仅当人(4)=体 纥 川=0。(2)4是矩阵N 的特征值当且仅当存在OH a e C,使得Z a =4)a。(3)设%是矩阵/的 特 征值，0 力。=(%,2,4)w C,则a为矩阵/的属于特征值4的特征向量当且仅当(4 g,-/)a =0,即a 是齐次线性方程组(4)E“N)x =0
23、的一个非零解。4.矩阵的特征值与特征向量的求法：设/为级方阵。第一步：求 力(X)=ME“-H在复数域上的所有根4,4,，4,(重根按重数计算)；第二步:设4,为，4(i 是矩阵z的所有不同的特征值，对4.(左=1,s),解齐次线性方程组(4 -z)x =o,得其一个基础解系九,小2,，私/*(4 =_尸(4纥/),贝1 如,松，私，4就是与矩阵N 的特征值4(左=1,S)相对应的线性无关特征向量，矩阵力的属于特征值人 的全部特征向量为小 -+5%2/2+，其中S%，1人为不全为零的任意常数(复数)。5.重要结论：设/为级方阵。(1)若4,为,4是矩阵力的全部特征值，那么”的迹(4)=4+4+
24、%，”的行列式词=444。(2)相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，相同的迹，相同的行列式。(3)设4 eC是矩阵N 的特征值，X。是 矩 阵/的属于特征值4的特征向量，g(x)为一复系数多项式，那么：g(4)为g(N)的特征值，X。为g(N)的属于特征值g(4)的特征向量；如果z 还是可逆矩阵，那么-与 回 分别为/T和/*的特征值，x 0 为/T的 属 于 特 征 值 的 特 征 向 量，x 0 为/*的属于特征值回的特征向量；设。是级可逆矩阵，则儿 是。一，。的特征值，Q-X。是。的属于特征值4的特征向量；若4，为,乙是矩阵4的全部特征值，那么g（4），g（否），g（4.）就
25、是g（z）的全部特征值，如果力还是可逆矩阵,则工,1 ,1-为 的 全 部 特 征 值，回，回，回 为4的全部特征值。4 4 4,4 4 4,6.矩阵的特征子空间：设N 为“级方阵。1）矩阵的特征子空间的定义：设a是矩阵N 的特征值，则 七=a e C|Z a =4）a 是C 的子空间，将称为矩阵N 的（属于特征值乙 的）特征子空间，d i m%称为4的几何重数，而4在 刀（4）=以纥中的重数称为4的代数重数。2）矩阵的特征子空间的求法：由1）知就是齐次线性方程组（4）E“-力）*=。的解空间，因此只需求得（4纥 _ 力）*=0的一个基础解系7,（左=一 尸（4纥 一），那么=A（7,小）。（
26、二）线性变换的特征值与特征向量1.线性变换的特征值与特征向量的定义：设 b是数域。上的线性空间忆的线性变换，46尸，若存在O waw%,使得b（a）=4）a,就称乙 为c r的一个特征值，a为c r的一个属于特征值4的特征向量。2.线性变换的特征多项式：设C T是数域P上的维线性空间P的线性变换，则 b在忆的不同基下的矩阵彼此相似，而相似矩阵具有相同的特征多项式，所以b在忆的不同基下矩阵的特征多项式是相同，于是任取厂的一组基设C T在该基下的矩阵为N,称矩阵N 的特征多项式力（4=W纥-为C T的特征多项式，记为力（/1）=|/1纥 H，即线性变换C T的特征多项式为其在%的任意基下矩阵的特征
27、多项式。3 .有限维线性空间的线性变换的特征值与特征向量1）判别：设。是数域P上的维线性空间忆的线性变换，b在忆的基囚,a 2，,下的矩阵为N，O wae%，a=+a 2a 2 +ana，4 C。（i）4是 b的特征值当且仅当W P,且纥 z|=o,即4是a的特征多项式，（a）=p i纥 一 划 在 中的根。（2）设4是C T的特征值，那 么a是C T的属于特征值4的 特 征 向 量 当 且 仅 当 是齐次线性方程组（4纥-z）x =o的非零解。2）求法：设b是数域。上的维线性空间忆上的线性变换。第一步：取定忆的一组基四,。2，,一，。.，求出b在该基下的矩阵N；第二步：求L（/i）=p i纥
28、 一 划 在尸中的所有根4，为4（0 机4，重根按重数计算，且加=0表示b无特征值）；第三步：若加o,设4，为，4（”/?）是6的所有不同的特征值，对儿（左=1,求齐次线性方程组（4一4）*=0的一个基础解系如,也,，以4（4 =尸（4纥 N），则b的属于特征值4的线性无关特征向量为:（以,一,%）%（J=1,2,-4）,or的属于特征值4.的 全 部 特 征 向 量 为,%乂5-%+s*2私2+s*，4%J%，S*2,，S4为P中不全为零的任意常数。0100、10oo0例9.（辽大2013,四.（1）设矩阵/=012,的一个特征值为3,（1）求。00a1解：因3是矩阵N 的一个特征值，所以有
29、:300|3 6-止-10-13003 C L0-13-1-133-a -1-18工（3 _ 1）=8（2-4=2-1-1例1 0.（辽大2013,六）是矩阵/=23-2的一个特征向量，（1）求m b及自对应的特征值。00111、2、已知J15ab7解：设岁对应的特征值为4,则有=4自，即:25ab、-2J4 il-u4、4 a-1 =42+=4 =1+6=-44 =-1a=-3 ob =-22、312+a1+b ,l-A）J例1 1.（首都师大2016,征向量）。五）设2阶方阵N 中所有元素都是正实数，证 明/有实特征向量（即每个分量都是实数的特（a b ,证明：设 4=,a,bfc,d G
30、 R,有:d）/%f（A）=AE2-A=-bA-d=%2 （a+d）4+ad b e而因。力,c,d e R+,所 以 是 实 系 数 多 项 式,且 其 判 别 式 =（a+d）f -2（a d-b c）a2+d2+b c 0,因此/1）有两个互异的实根，即/有两个互异的实特征值。于是设%是/的一个特征值，则4为实数，且（4）七2一工卜=0是实数域上的二元齐次线性方程组，它在IV中有非零解设为。，那么a就是/的一个实特征向量（属于特征值4）。例1 2.（东大2010,八）设/为 阶方阵，且存在正整数根，使得H =0,证明：/没有非零特征值。证明：设4是N 的任意一个特征值，a是N的属于特征值
31、4的特征向量，于是有a H O,且：A a =4 a =Am a =而H”=O,得 明a =Oa=0,又。w O,因 此 有 用=0=4=0,由4的任意性可知力没有非零特征值。例 1 3.(辽师2 0 1 0,十.(2)设力=010、0100000210、012,，(2)求N、A-.4 2 +z 的特征值。解：先求N的特征值，因:2 -11 40 00 0002-2-100-12-2A-12-2 -1-1 2-2=(2 +1)(2-1)(/12-4/1 +3)=(/1-1)2(2 +1)(2-3)所以N的特征值为1,1,-1,3,进而有:|几区-/|=/T 的特征值为 1 =1,1 =1,=一
32、1,1,+/的特征值为 F +1 =2/2 +1 =2,(一 1)2 +1 =2,3 2+11 1-1 3 1 0。例 1 4.(辽师2 0 1 2,八)设 N为阶正交矩阵，证明：(1)/的 实特征值只有1和-1;(2)当为奇数且|N|=1,那么 1为N 的一个特征值。证明：(1)设 4,是/的任一实特征值，OH I GR 为 的属于特征值4 的特征向量，而 N为阶正交矩阵，于是有:、f/IAa-4a n aAa-(H a)a-da=A g tz T z 4 CL CL 0A)(i)a=aa=147因 0 w a e R,所以有 a a 0,得 4=0=1 击=0=4=1 或-1。A)(2)只
33、需说明1 是Z的 特 征 多 项 式-川 的根。事实上，|1 E H=(I E /)=|1 E =M 而M =l,因此有：_ 止=|司1七_/1=(1 _/7)卜|/-国=(-1)”阿_ 旬又为奇数，因 此 有 =-旬=|1 后 一 旬=0 n 1为N的一个特征值。例 1 5.(吉 大 2 0 1 5,6)设N是阶正定矩阵，/(/l)=|N 2|,其中/为阶单位矩阵，证明：(1)/(X)的根皆大于零；(2)/(X)的根都是1=Z=/。证明：证明：因/(丸)=|/一/1/|=|一(/1/一/)|=(一1)|/1/|,所以/(/I)与 N 的特征多项式|4 1 一川有完全相同的根，而 N的特征多项
34、式以/-7|的所有根恰好是/的全部特征值，因N是阶正定矩阵，所以N的全部特征值都大于零，因此/(小 的根皆大于零。(2)由(1)的证明知/(/I)的根恰好是N的全部特征值。必要性：/(X)的根都是1,于是阶正定矩阵”的全部特征值都为1,因此存在阶正交矩阵U,使得UAU=WAU=/n Z=UIU =UlT=I充分性：/=/=回/一/|=设/一/|=|(/1-1)4 =(/1 一1)|/|=(/1-1)=的全部特征值都为1=/(/1)的根都是1。例1 6.(华中师大2 0 1 2,8 (2)已知0#a =(q，4,q)e R ,C=aTa,求。的特征值与特征向量。A-af|犯-C|=一 师-Q 1
35、七,一 一%册A-a1 一4-ana2 1丸 一 4；10000 2 00 0 2A0 0 02因此C的特征值为0,0,片。/=1不妨设q#0,设。=自4 2,因0/1 =(%,%,%)e R ,所以b =fq2。/=1=1对特征值0,解齐次线性方程组(O E“-C)X =O：(0 纥-0=-C10、0a2%oo殳、ai0,得(O E“_ f)x=0的一般解：斗=_ 马aa“qoj其中4,，马为自由未知量。得特征值0对应的线性无关特征向量:/y/y7 =-,%=-,0,1,0,ok a 7 a )于是C的属于特征值0的全部特征向量为用7 +左2小+，其中勺，左2,人1为任意不全为o的常数。对特
36、征值人=Q；,解齐次线性方程组p g,-C)x =0：/=bE-C=b-a；aia一%b-a1-aan a2an-D-F U y%a2aa2 4b-a；a2anana-aai,b-a；、一6,ana2 ,b-a；)Tb+%qa2b%alba“b0得 0纥 C)x =001/0a2a.西是自由未知量,0 0、1 00 1/得 特 征 值 对 应 的 线 性 无 关 特 征 向 量;=11A,-Aa a,于是C 的属于特征值b =的全部特征向量为尢刃“，其中k为任意不等于o的常数。例 17.（华 中 师 大 2 0 1 4,4 （2）设 四,%,%是 3 维 复 列 向 量 空 间 C3的 一 组
37、 基，令 尸=（四,。2，。3），T 1。=（四,4+%，%+。3）。设 43均 是 3阶复矩阵，且满足：尸 一，尸=0 1o o0、11 ,Q B Q=001100、i 。证明：（1）P,。都可逆；（2）45具有完全相同的特征值（计重数）和完全相同的特征向量;(3)A B 丰 B A。证明：（1）因因,。2，%是 3维复列向量空间C?的一组基，所以四,。2，%线性无关，得的秩即。的秩为3,因此尸可逆,而10(00=(四,%。3)0 1 0=P 010(01(01设 T1000,所以T可逆，又P 可逆，因此。可逆。1100、(1 0 4 5 都 与 001100117I相似=43都 与 001
38、100有完全相同的特征值，因此43有完全相同的特征值。设/=1 1 00 1 10 0 1、,它的特征值为1 （三重）,因此46的特征值都为1 （三重），再设J,4 6 的属于特征值1的特征7之 空 间 分 别 记 为 匕 匕“，匕（要证明4 5 具有完全相同的特征向量只需证明匕”匕），则匕/为齐次线性方程组 0-1 0、(1 E3-J)X =O的解空间，而因1七3-/=0 0 -1、0 0 0 ,010、0 0 1，得0 0 x=0的一般解为V,其中 须 为 自 由 未 知 量，从 而 得 片 的 一 组 基a =（1,0,0/（1 3-J）X=0的 一 个 基 础 解 系），于是K/=L(
39、a)=kak e C =化0,0)k e C)。因为P T/PM/QTB QMJ,所以有:A=PJP,B=QJQ n K=P(ka)k eC=kPak e C,=(左。)k e C =kQak e C)又11P a =(,%。3)|0 aiQa=(,a2+a3,+a,)000因此有:匕 JTJT =TJT J。而（口 为）=0,00、01,01-10、0L11-1-n01.11-1-101因此:JTJT TJTJ1001001100110、00,00111100、110010011011-1oViT)01 0、11-11 11 0-1010、1L0、0T0,01211111111120、00,
40、020-121-1-iii0、10,1101、77101、X、7推出 J T J T T w 777 J,矛盾，因此N 5 H A 4。1 01人07、777 T=o7111720000101X、200例1 8.（辽宁大学2 0 1 2,四,（1）已 知 相 似，其中力=,B=00-170y07,(1)求xj。解：因4 5 相似，所 以 区%/|=|花 同，即:2-2 0 0 2一2 0 00 2 -1=0/l-y 00 -1 A-x 0 0 2 +1=（力 一 2）（万 _x/l-1）=（/2）（/y）（/l +1）.人 .z、A f-x =1 -y fx =0-l=-y y =l（三）线性
41、变换的特征子空间1 .定义：设O 是数域尸上的线性空间厂的线性变换，4是 的 特 征 值，则=。忖（。）=4。是忆的子空间，将其称为b的（属于特征值乙 的）特征子空间.2 .特征值的代数重数与几何重数：设o 是数域尸上的维线性空间忆的线性变换，4是o的特征值，那么di m（）称为b的特征值4的几何重数，而 凡 作为b的特征多项式/（4）的根，其重数称为4的代数重数，且4的几何重数小于或等于4的代数重数。3 .有限维线性空间的线性变换的特征子空间求法：设（T是数域产上的维线性空间忆的线性变换，4,是O的特征值。第一步：取定修的一组基因,。2,，%，求得b在 基,。2,下的矩阵为N ；第二步：求齐
42、次线性方程组（4 E,/）x =0的一个基础解系为 ,（左=令：Yj=（，）%，j =l，2,k那么外，,九就是cr的（属于特征值乙 的）特征子空间 的一组基，于是=（%，,九）。由此可见di m（G）=（4E“/）x =0的解空间的维数。（四）矩阵与线性变换可对角化1.矩阵可对角化1）矩阵可对角化的定义：设N 是数域。上的一个级方阵，如果存在数域P上的一个级可逆矩阵T ,使得广/丁 为对角矩阵，就称矩阵，在数域P上的可对角化或“在数域P上与对角矩阵相似。如无特殊说明，矩阵可对角化指的是该矩阵在复数域上可对角化。2）矩阵特征值的代数重数与几何重数：设4,4,4是级方阵力的所有不同的特征值，N
43、的特征多项式：人 力 纥 一/|=（4）（4户-仅-4）*其 中/,.（i =l,2,为 正 整 数，称 i =l,2,为 矩 阵 N 的 特 征 值4的 代 数 重 数。称（4纥-4）。=1，2,为矩阵力的特征值4的几何重数。注：设 齐 次 线 性 方 程 组（4纥-/）、=0的 解 空 间 为 阴，那 么/的 特 征 值4的 几 何 重 数S j=d i m（也），而叱=匕、=a e Cn Aa-4 a，因此可=d i m化）；可4（i =l,2,。3）矩阵可对角化的判定（1）级方阵/可对角化当且仅当N有个线性无关特的征向量。（2）如果级方阵N有个不同的特征值，则/可 对 角 化。（3）级
44、方阵/可对角化当且仅当N 的每个特征值的代数重数都等于几何重数。（4）级方阵Z可对角化当且仅当力的最小多项式在复数域上无重根。4）求可逆矩阵T使 为 对 角 矩 阵：已知级方阵/可对角化。第一步：求矩阵N的特征值；第二步：设4，勾,，4是N的所有不同的特征值，对 4=1,2,求出与其相应的线性无关的特征向量:如，小2,，=一尸(4E-/),/,+4=n)第三步：令 T =（%,就有:T AT5）求（左为正整数，）已知级方阵/可对角化。第一步：求级可逆矩阵T,使得厂，7为对角阵;第二步：A =TT-,推 出/=TT oAU2.线性变换可对角化1）线性变换可对角化的定义：设b是数域P上的维线性空间
45、P的线性变换，如果存在的一组基，使得C T 在该基下的矩阵为对角矩阵，就称b可对角化。2）线性变换可对角化的判定：设C T 是数域尸上的维线性空间P的线性变换，C T 在 忆 的 一 组 基,下的矩阵为/,4,4,，4 是级方阵/的所有不同的特征值。（1）C T 可对角化当且仅当b有个线性无关的特征向量；（2）如果C T 有个不同的特征值，则C T 可对角化；（3）若 4,4,cP,那么b可对角化当且仅当对i =1,2,左，4的代数重数等于4的几何重数;注：4的几何重数=d i m（匕J ,其中/=a e忆卜（。）=4。为0的属于特征值4的特征子空间，也等于一 尸（4纥 一/）,即齐次线性方程
46、组（4%-N）x =0的解空间的维数。而4的代数重数等于4作为。的特征多项式4（2）的根的重数。（4）若4乙,4.中至少有一个不在数域尸里，则c r不可对角化。3）求过渡矩阵T及基已知数域。上的维线性空间忆的线性变换。可对角化，求 的一组基，使得c r在该基下的矩阵为对角矩阵，并求过渡矩阵。第一步：取定P一组基囚,火，求出。在基因,，下的矩阵N ；第二步：求可逆矩阵T,使 厂/T为对角阵，T就是所求的过渡矩阵；第三步：令（4,四，瓦）=（。2/一，%）丁，四，瓦 就 是所求的基，c r在基回，瓦 下的矩阵为对角矩阵为对角阵。2 0例1 9.（辽宁大学2 01 2,四.（1）己知45相似，其中/
47、=0 09 10 (2 01 ,B=0 yx j 1 0 00、0,(1)求；-I（2）求可逆矩阵P,使得尸一以尸=5。解：（2）由例1 8可知x =0 j =l。因45相似，而5为对角矩阵，所 以（2）就是要求过渡矩阵P,使得尸一二尸=5为对角阵。45相似，所以它们有完全相同的特征值，而5=0,00、0-I的特征值为2,1,-1,因此/的特征值为2,1,010对，的特征值2,解齐次线性方程组（2E3 /）X=0,因为:、00、0得（2七3-4）*=0的一般解.,00,002-10、-12,000-2、-10,-230 00,00、10，其 中m为自由未知量,进 而 得 力 的 特 征 值2对
48、应的线性无关特征向量2纥31201007100X 0 0X 1X j 0 0 j V 17,=(1,0,0)o对/的 特 征 值1,解齐次线性方程组（1E3-N）X=0,因为:、得（I E 3/）x =0的一般解，0 0Ei-A=0 1 -1,0-11X =0 x3&=X3J 10、00-100-10，其中w为自由未知量，进而得A的特征值1对应的线性无关特征向量%=（0,1,1）。70107100007对）的特征值-1,解齐次线性方程组（一1%-力 卜=0,因为:-Ei-A =-3 0 00-1 -1、0-1 -1、-7 1 0 0、0 1 10 ,得(_1七3 _/)=0的一般解.X.0 0
49、%二13,其中七 为自由未知量，进而得力的特征值-1对应的线性无关特征向量73 100021121、701010110、7征值-1的特征子空间的维数为3-2=1,所以特征值-1的几何重数为3-尸(-1 E 3-4)=3-2 =1#特征值口的代数重数3,知A不存在3个线性无关特征向量，因此N不能相似于对角矩阵。例 2 0.（东师 2 01 2,三，（2）设“阶方阵 N 满足 d =E ,证明：（1）r ank（+E）+r ank A-E =n（2）/可对角化。证 明（1）A2=（A+E）（A-E）=O=r ank（A +E）+r ank（A-E）ra 左（/+E）+（-N +E）=r ank（2
50、 E）=n因此 (4+与+-助 吠)一 二 及o(2)方 法1：彳=E =/(x)=x 2 -1是 N的一个零化多项式，/(x)复数域上没有重根，而N 的最小多项式啊(x)是/(x)的因式，因此用(X)复数域上无重根，推出N可对角化。方法2：说明，有 个 线性无关特征向量。首先求/的特征值：设%是/的任一特征值，a是/的属于特征值4的特征向量，那么有a H O,且N a =4)a,再由 4 2=E 得 Z 2 a=%a =E a =a n（片一1,=0 ,而 因。声。得 下 一1 =0 =（4+l）（4-l）=0n4=1 或设力的属于特征值1和-1的特征子空间分别为匕”与 匕，接着说明匕 与匕