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1、引入,在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种,保持向量的加法和数乘的一一对应. 我们常称,线性映射.,两个线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为,1 线性变换的定义,本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射,1 线性变换的定义,一.定义,1.变换 V到自身的映射称为V的一个变换.,设V为数域P上的线性空间,dimV=n.,则称为线性空间V上的线性变换.,2.线性变换,简记 为 在 下的像.,注,例1判断下列所定义的变换是否为线性变换？,1在 中，,5复数域C看成是自身上的线性空间，,6C看成是实数域R上的线性空间 ,2在 中，,1 线性变换的定义,例2 (实数域上二维向量空间),把V中每一向量
2、,绕坐标原点逆时针方向旋转角,就是一个线性变换，,易验证：,1 线性变换的定义,这里,即,例3 为一固定非零向量，把V中每一个向量,即,这里表示内积.,验证：,1 线性变换的定义,变成它在上的内射影 是V上的一个线性变换.,例4 上的求微商 D是一个 线性变换，,例5 闭区间 上的全体连续函数 构成的 线性空间 .,上的变换 是一个线性变换.,1 线性变换的定义,二.几个特殊线性变换,3.数乘变换,易验证，,1.单位变换(恒等变换),2.零变换,设V为数域P上的线性空间, 为某数,1 线性变换的定义,1 为V的线性变换，则,2线性变换保持线性组合及关系式不变，即,若,则,3线性变换把线性相关的
3、向量组的变成线性相关,的向量组. 即,三.线性变换的简单性质,证明 因为,1 线性变换的定义,若 线性相关，,证明 若有不全为零的数使,由2即有,因为线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的向量组,如零变换.,注 3的逆不成立，即,未必线性相关.,1 线性变换的定义,线性相关，,则,一.线性变换的乘积,设 为线性空间V的两个线性变换，,证明,定义它们的乘积 为：,2.结论 也是V的线性变换.,1.定义,2 线性变换的运算,即线性变换的乘积还是线性变换.,3.基本性质,（2） ,E为单位变换,（3）交换律一般不成立，即一般地,2 线性变换的运算,（1）满足结合律：,例1 线性空间中，线性变换
4、,而,即,例2. 设A、B为两个固定的矩阵，定义变换,则 皆为的线性变换，且对有,2 线性变换的运算,定义它们的和 为：,证明,二.线性变换的和,即线性变换的和还是线性变换.,2 线性变换的运算,（3） O为零变换.,（4）乘法对加法满足左、右分配律：,3.基本性质,（1）满足交换律：,（2）满足结合律：,2 线性变换的运算,则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.,注,定义变换为：,1.定义,则 也是V的线性变换.,设为线性空间V的线性变换，,三.线性变换的数量乘法,2 线性变换的运算,2.基本性质,注,线性空间V上的全体线性变换所成集合,对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的,一个线性
5、空间,记作,2 线性变换的运算,为线性变换,则称为可逆变换，称为的逆变换，记作,1.定义,设为线性空间V的线性变换,2.基本性质,(1) 可逆变换的逆变换也是V的线性变换.,四. 线性变换的逆,若有V的变换 使,证明对,2 线性变换的运算,是V的线性变换.,2 线性变换的运算,证：,设为线性空间V上可逆线性变换.,任取 若 则有,为单射.,又对令则且,为满射.,故为双射.,(2) 线性变换可逆线性变换是双射.,的线性变换,且,故可逆，.,若为双射，易证 的逆映射也为V,2 线性变换的运算,(3) 设是线性空间V的一组基，为V的线性变,证明 设,于是,因为可逆，由(2)，为单射，,而线性无关，所
6、以,故 线性无关.,若 线性无关，,则它也为V的一组基.,因而，对有,2 线性变换的运算,为满射.,若 则有,又任取 设,线性无关,由(2)， 为可逆变换.,从而 为单射.,即,故为双射.,2 线性变换的运算,(4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关,的向量组.,设,证明 设 为线性空间V的可逆变换，,线性无关.,则有,又可逆，于是是一一对应，且,故 线性无关.,由 线性无关，有,2 线性变换的运算,当时，规定（单位变换）.,1.线性变换的幂,设为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义,称之为的n次幂.,五.线性变换的多项式,注(1),(2)当 为可逆变换时,定义 的负整数幂为,(3
7、)一般地，,2 线性变换的运算,设,为V的一个线性变换，则,2.线性变换的多项式,也是V的一个线性变换，称 为线性变换的多项式.,则有,即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.,注 对,(2),(1)若,2 线性变换的运算,证明：,例2设 为线性变换,若,证明 对k作数学归纳法.,对两端左乘得,假设命题对时成立,即,当k=1时，有,2 线性变换的运算,即 ,得证.,设是线性空间V的一组基，,则对任意 存在唯一的一组数,使,则,由此知，由 完全确定.,一组基在下的像即可.,所以要求V中任一向量在下的像，只需求出V的,一. 线性变换与基,设 为V的线性变换,3 线性变换的矩阵,则,注 一个线性变换
8、完全由它在一组基上的作用所决定.,证明 对,1.结论设是线性空间V的一组基，,为V的线性变换，,若,3 线性变换的矩阵,证明,定义,都存在线性变换A使,任意n个向量,2.结论 设是线性空间V的一组基,对V中,显然A为V的一个变换,下证它是线性的.,任取设,则,3 线性变换的矩阵,为V的线性变换.,又,注 此结论说明了线性变换的存在性,并且基向量的像完全可以是任意的.,3.定理设为线性空间V的一组基，,对V中任意n个向量存在唯一的线性,变换A使,综合1,2两点,有,3 线性变换的矩阵,用矩阵表示即为,1.线性变换的矩阵 设为数域P上线性空间,二. 线性变换与矩阵,V的一组基,A为V的线性变换.,
9、设,可以被 线性表出,3 线性变换的矩阵,其中,A的第i列是在基下的坐标，,矩阵A称为线性变换在基下的矩阵.,它是唯一的. 故A在取定一组基下的矩阵是唯一的.,注 因为,3 线性变换的矩阵,例1 设线性空间 的线性变换为,求在标准基下的矩阵.,解,3 线性变换的矩阵,例2 在线性空间 的线性变换 为,求D在标准基 下的矩阵.,解,3 线性变换的矩阵,例3. 设为n维线性空间V的子空,间W 的一组基，把它扩充为V的一组基：,并定义线性变换：,则,称这样的变换为对子空间W 的一个投影.,易验证,3 线性变换的矩阵,例4. 设为n维线性空间V的任意一组基.,1. 单位变换,则,即单位变换在任意一组基
10、下的矩阵皆为单位矩阵E.,即零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵O.,即数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵kE.,2. 零变换,则,3. 数乘变换,则,3 线性变换的矩阵,建立映射,三. 与,设V 为数域P上线性空间,dimV=n,为线性变换,注1 由结论1知 为单射,由结论2知 为满射,即 双射.,注2 下面说明 也保持线性运算,从而 是同构运算.,3 线性变换的矩阵,中的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：,基，在这组基下，V的每一个线性变换都与,(1)线性变换的和对应于矩阵的和；,(2) 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；,(3) 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；,(4) 可逆
11、线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应,于逆矩阵.,定理2 设为数域P上线性空间V的一组,3 线性变换的矩阵,证明设为两个线性变换,它们在基,下的矩阵分别为A、B，即,(1),A+B 在基 下的矩阵为AB.,3 线性变换的矩阵,(2), AB 在基 下的矩阵为AB.,(3),kA在基 下的矩阵为kA.,3 线性变换的矩阵,(4) 由于单位变换(恒等变换) 对应于单位矩阵E.,所以可逆线性变换 与可逆矩阵A对应,且逆变换 对应于逆矩阵,注3 保持线性运算,从而 是同构运算,即,任意取定V的一组基后，,定义,这里A为在基下的矩阵.,则就是到的一个同构映射.,3 线性变换的矩阵,定理3 设线性变换 在
12、基 下的矩阵为A,在基下的坐标为,在基下的坐标为,则有,四. 向量 与像 在同一组基下的坐标,注 上式给出了向量 与像 在同一组基下的坐标,3 线性变换的矩阵,证明 由已知有,又,3 线性变换的矩阵,由于 线性无关,所以,五.同一线性变换在不同基下的矩阵的关系,和 下的矩阵分别为A、B，,定理4 设线性空间V的线性变换在两组基,且从基 到基 的过渡矩阵矩阵是X，,则,3 线性变换的矩阵,证明 由已知有,于是,由此即得,3 线性变换的矩阵,例5 给定 的两组基:,定义线性变换,(1)写出由基 到基 的过渡矩阵.,(2)写出A在基 下的矩阵.,(3)写出A在基 下的矩阵.,解 设 ,X为所求过渡矩
13、阵,设 为 的标准基.,3 线性变换的矩阵,3 线性变换的矩阵,(2)由 得,所以,A在基 下的矩阵为X.,(3),A在基 下的矩阵为X.,所以,A在基 下的矩阵 .,3 线性变换的矩阵,1.定义,设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆,矩阵 使得,则称矩阵A相似于B，记为,六.相似矩阵,例6 若矩阵A可逆,则AB与BA相似.,证明,注1 由定理4,同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的.,注2 A合同于B 存在可逆矩阵C使得 注意两者的区别. 若A合同于B ,3 线性变换的矩阵,(1)相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：,反身性:,对称性：,2基本性质,传递性：,3 线性变换的矩阵,
14、(2) 若 ,则,证明 则存在可逆矩阵X使得,即,(4) 若则,即若 ,则,3 线性变换的矩阵,3.定理5 线性变换在不同基下的矩阵是相似的;反过来,如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.,证明 前一部分由定理4显然. 下证后一部分.,设,因为X可逆， 也是V的一组基，且,所以矩阵B就是A在 基下的矩阵.,且A是n维线性空间V中一个线性变换A在基,下的矩阵,即,3 线性变换的矩阵,例6 设 为线性空间V一组基, 线性变换A在这组,(1)求A 在 下的矩阵B.,(2)求,解 记,3 线性变换的矩阵,(2) 由有,(1)由定理4, A在基 下的矩阵为,3 线性变换的
15、矩阵,例7 在线性空间 中，线性变换定义如下：,(1) 求A 在标准基 下的矩阵.,(2) 求A 在下的矩阵.,解 (1),3 线性变换的矩阵,设A 在标准基 下的矩阵为A，即,(2)设A在 下的矩阵为B,则A与B相似,且,3 线性变换的矩阵,设线性空间V,dimV=n, 为一组基.,线性变换 在基 下的矩阵为A.,则同构映射：,同构映射：,且,引入,为了用矩阵研究线性变换的性质，希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.,4 特征值与特征向量,从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵或若尔当形矩阵?,分析 若A在基下 的矩阵为对角矩阵,即,
16、因此研究满足 的 和 有重要意义.,4 特征值与特征向量,设是数域P上线性空间V的一个线性变换，,若对于P中的一个数存在一个V的非零向量,使得,则称为A 的一个特征值,称为A的属于特征值,的特征向量.,一 特征值与特征向量的定义,注1,且 方向相同,方向相反,几何意义:特征向量 经线性变换A变成 ,4 特征值与特征向量,注2,若 是A的属于特征值的特征向量，则,也是A的属于的特征向量.,证明,注4 特征向量不是被特征值所唯一确定的, 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的,注3 同一特征向量不能属于不同的特征值,即若,则,4 特征值与特征向量,二 特征值与特征向量的求法,设 是V的一组基，,线性
17、变换A在这组基下的矩阵为A.,1.分析,设 是A的特征值,它的一个特征向量 ，,4 特征值与特征向量,设 在基 下的坐标为,由,令,是以 为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解.,4 特征值与特征向量,以上分析说明:,则(1) 满足,则特征向量,(2) 的坐标满足,若解出的非零解为,4 特征值与特征向量,若是A的特征值,它的一个特征向量为 ,一般地,设 是一个文字,矩阵称为,称为A的特征多项式.,A的特征矩阵，它的行列式,下设,4 特征值与特征向量,2. 求特征值与特征向量的一般步骤,(1) 在V中任取一组基 写出 A 在这组基下,的矩阵A .,的特征向量在基 下的坐标.,(3) 对每个 ,求解齐
18、次线性方程组,方程组的一组基础解系即为属于 的全部线性无关,(2) 求A的特征多项式 在P上的全部,根 就是A的全部特征值.,4 特征值与特征向量,则,就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.,而,（其中 不全为零）,就是A的属于的全部特征向量.,如果特征值 对应方程组的基础解系为：,4 特征值与特征向量,解 A的特征多项式,例1 设线性变换A 在基 下的矩阵是,求A 的所有特征值与特征向量.,故A的特征值为:,4 特征值与特征向量,当 时求解方程组,解得它的一个基础解系为：,因此,属于 的两个线性无关的特征向量为,从而属于 的全部特征向量为,不全为零,由系数矩阵,4 特征值与特征向量,
19、因此，属于5的一个线性无关的特征向量为,解得它的一个基础解系为：,从而属于5的全部特征向量为,当 时求解方程组,由系数矩阵,4 特征值与特征向量,对 ,求解 得,所以,V中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量.,例2 在n维线性空间V中,求数乘变换K的所有的特征值 和特征向量.,K在任何基下的矩阵都是数量矩阵kE,解,kE的特征多项式是,故数乘变换K的特征值为,4 特征值与特征向量,设 为n维线性空间V的线性变换，,三 特征子空间,为A的一个特征值,记,为A的属于的全部特征向量再添上零向量所成的集合.,证明,是V的一个子空间.,4 特征值与特征向量,非空.,又,注,的解空间的维数,且由方程组(
20、*)得到的属于的,若在n维线性空间V的某组基下的矩阵为A，则,即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组,(*),全部线性无关的特征向量就是 的一组基.,4 特征值与特征向量,1. 设 则A的特征多项式,四.特征多项式的有关性质,设 在复数域上的n个根为,为数域P上n次多项式.,4 特征值与特征向量,(2) A的全体特征值的积,(1) A的全体特征值的和,则,由根与系数的关系得,注 称 为矩阵A的迹,记作trA.,4 特征值与特征向量,证明 设 则存在可逆矩阵X，使得,2.定理 相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.,于是，,4 特征值与特征向量,注,(2)反之不成立,即有相同特征多项
21、式的矩阵未必相似.,它们的特征多项式都是，但A、B不相似.,相似矩阵具有相同的行列式、秩、特征 值、 特征多项式、迹;,如,而相似矩阵可以看成同一线性变换在不同基下的矩阵.,因此线性变化A的矩阵的行列式、秩、特征值、迹不受基的影响, 就称为线性变换的行列式、秩、特征值等.,4 特征值与特征向量,3 若为A 的一个特征值，则,(1)对任意 为 的特征值.,(2) 为 的特征值.,(3)对 为 的特征值.,(4)若A可逆, 为 的特征值.,注 若线性变换A或矩阵A可逆,则其特征值不为零.,4 特征值与特征向量,(5)若阵A可逆, 为 的特征值.,行列式 .,例3 已知3阶方阵A的特征值为:1、1、
22、2，,例4,4 特征值与特征向量,(1)定理 设 为A的特征多项式,4.哈密尔顿凯莱（HamiltonCaylay）定理,则,(2)推论 设 为有限维线性空间V 的线性变换，,是的A的特征多项式，则,4 特征值与特征向量,例5 设求,解 A的特征多项式,令,因为,则由哈密尔顿-凯莱定理,所以,4 特征值与特征向量,例6 已知A是n阶可逆矩阵,A的特征多项式为,由哈密尔顿-凯莱定理,解 因为A可逆,则,其中, 求,4 特征值与特征向量,证明设 是 的伴随矩阵，则,又的元素是的各个代数余子式，它们,因此，可写成,补充:哈密尔顿凯莱定理的证明,都是 的多项式，且其次数不超过n1.,其中，都是 的数字
23、矩阵.,4 特征值与特征向量,再设,而,比较、两式，得,4 特征值与特征向量,以依次右乘的第一式、第二式、,、第n式、第n1式，得,把的n1个式子加起来，即得,4 特征值与特征向量,引入 对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种.,5 对角矩阵,问题(1)是否所有V的线性变换都可以找到一组基使其在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵.,问题(2)如何选择一组适当的基,使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵.,本节主要讨论:,设对角矩阵,的行列式,的特征值为,定义1 设A 是n 维线性空间V的一个线性变换，,若存在V的一个基,使 在这组基下的矩阵为对,角矩阵，则称线性变换A可对角化.,对角矩阵
24、，则称矩阵A可对角化.,定义2 矩阵A是数域P 上的一个n阶方阵. 若,存在一个P 上的n 级可逆矩阵X使得 为,一. 可对角化的概念,5 对角矩阵,1 定理 设A为n 维线性空间V的一个线性变换，,则A可对角化 有n个线性无关的特征向量.,设A 在基 下的矩阵为对角矩阵,就是A的n个线性无关的特征向量.,二.可对角化的条件,证明,5 对角矩阵,若A 有n个线性无关的特征向量,且,则 构成V 的一组基,且有,即A在基 为对角矩阵.,注 由此定理,A是否可对角化问题就转化成是否能找出A的n个线性无关的特征向量.,5 对角矩阵,2 定理8 属于A的不同特征值的特征向量线性无关.,征向量,则 线性无
25、关.,证明 对k作数学归纳.,当 时， 线性无关. 命题成立.,即设A为n维线性空间V的一个线性变换,分别是A的属于互不相同的特征值,的特,假设属于k个不同特征值的特征向量来说结论成立.,对k+1个属于不同特征值 的特征向量,有,5 对角矩阵, 得,A作用得,-得,5 对角矩阵,由归纳假设， 线性无关，所以,再由得,又 互不相同，,所以,5 对角矩阵,故 线性无关.,推论2 在复数域C上的线性空间中,若如果线性变换,3 推论1 设A为n 维线性空间V的一个线性变换，,则A 可对角化.,A的特征多项式没有重根,则 A 可对角化.,如果A 的特征多项式在数域 P 中有n个不同特征值，,特征向量 为
26、所求的一组基.,5 对角矩阵,4 定理9 设A为线性空间V 的一个线性变换，,特征值,特征向量,则 线性无关.,注1,为A的特征子空间.,若A为n维线性空间V的一个线性变换，,为A 的全部不同的特征值,则A可对角化,5 对角矩阵,注2,设A在某组基下的矩阵为A，若,称 为 的代数重数,(2)对每个 ,称 为 的几何重数.,(1),一般地,特殊地,A 可对角化,5 对角矩阵,注3 设A为n维线性空间V的一个线性变换，,若A 在某组基下的矩阵为对角矩阵,则(1) A的特征多项式就是,(2)对角矩阵 主对角线上元素除排列次序外是唯一,确定的,它们就是A的全部特征根(重根按重数计算).,5 对角矩阵,
27、(1) 求出矩阵A的全部特征值,(2) 对每一个特征值 ,解齐次线性方程组,设A为维线性空间V的一个线性变换，,为V的一组基,A在这组基下的矩阵为A.,步骤:,三.对角化的一般方法,的一个基础解系,(3) 若 ,则A可对角化,且令,5 对角矩阵,下以,5 对角矩阵,构成V的一组基,且,即T为两组基之间的过渡矩阵.,(5)A在基 的矩阵为,对角矩阵 ,即,5 对角矩阵,(1)求A的特征值与特征向量.,例1. 设复数域上线性空间V的线性变换A在基,下的矩阵为,(2)求V的一组基使A在此基下的矩阵为对角矩阵.,(3)求一可逆矩阵T使 为对角矩阵.,解 (1)由,得A的特征值,5 对角矩阵,取其基础解
28、系,令,当 时，解方程组,由,由,当 时，解方程组,不全部为零,是A的属于特征值1的所有的特征向量.,所以,5 对角矩阵,取基础解系,令,(2)取以上 作为V的基，则,(3)令,则,5 对角矩阵,并证明:D在任何一组基下的矩阵都不可能是对角,例2 在 中,求微分变换D的特征多项式.,解 在 中取一组基,则D在这组基下的矩阵为,矩阵,即D不可对角化.,5 对角矩阵,由,因为系数矩阵的秩为n1,从而方程组的基础解系,故D不可对角化 .,只含有一个向量，它小于 的维数n(1).,得D的特征值 (n重).,当 时,解方程组,5 对角矩阵,1 定义 设A是线性空间V的一个线性变换，,V的像的集合,称为线
29、性变换A的值域，也记作或,零向量的原像的集合,称为线性变换的核，也记作,2 结论 皆为V的子空间.,一.值域与核的概念,证明,为V的非空集合,6 线性变换的值域与核,有,为V的子空间.,对,又对 有,即,从而,故 为V的子空间.,注 即为A的属于特征值0的特征子空间 .,特征值0的线性无关的特征向量构成 的一组基.,6 线性变换的值域与核,1 定义 称 为A 的秩, 记为 r(A).,例1 在线性空间 中，令,则,所以D的秩为n1，D的零度为1.,二.值域与核的维数与基,称 为A 的零度.,6 线性变换的值域与核,2 定理10 设A是n维线性空间V的线性变换,是V的一组基,A在这组基下的矩阵是
30、A，,则(1),(2) A的秩A的秩.,即A的值域 AV是由基向量的像所生成的子空间.,证明 (1)显然,又,则,6 线性变换的值域与核,即秩(A )秩(A).,(2) 由(1),的秩.,又,因为 线性无关,注1 线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变.,故,注2 与矩阵A的列向量组具有相同的线性关系, A的列向量组的极大无关组即为AV的一组基的坐标.,6 线性变换的值域与核,由此,证明 设A的秩为r, 为AV的一组基.,令 的原像为 ,即,再取 的一组基,且,其中,6 线性变换的值域与核,两边用A作用,得,即,由 的线性无关性得,由式及 线性无关得,6 线性变换的值域与核,设,得,即,设,故
31、,6 线性变换的值域与核,则,所以D的秩为n1，D的零度为1.,但,所以,6 线性变换的值域与核,A是单射 A是满射.,证明,4 推论 设A为n 维线性空间V的线性变换，则,是满射.,A是单射,是单射.,A是满射,6 线性变换的值域与核,例2设A是一个n阶方阵， 证明：A相似于,证明：设A是n维线性空间V的一个线性变换A,在一组基 下的矩阵，即,对角矩阵,只需证明A 在某组基下的矩阵为对角矩阵,6 线性变换的值域与核,在 中取一组基：,则 就是V的一组基.,显然有,在 中取一组基,由 知,因为,则 的原像仍为,用矩阵表示即,6 线性变换的值域与核,方法二 因为,则A的特征值满足,即,又,又,6
32、 线性变换的值域与核,线性变换A在此基下的矩阵为,(1) 求 及,(2) 在 中选一组基，把它扩充为V的,一组基，并求A在这组基下的矩阵.,一组基，并求A 在这组基下的矩阵.,(3) 在 中选一组基,把它扩充为V的,例3设是线性空间V的一组基，已知,6 线性变换的值域与核,解(1),因为,且A的第一、二列线性无关,故 线性无关,解方程组,由 取基础解系,6 线性变换的值域与核,是 的一组基且,从而,(2)由定理11取 的基,及AV的基 的原像,构成V的一组基且,6 线性变换的值域与核,A在基 下的矩阵为,(3)由取AV 的基 和,因为,6 线性变换的值域与核,D可逆 .,又,从而 线性无关,构
33、成V的一组基.,A在这组基下的矩阵为,6 线性变换的值域与核,设A 是数域P上线性空间V的线性变换,则称W是A的不变子空间，简称为A子空间.,一 不变子空间,证明 因为V及零子空间都是V的子空间,称V 和 为平凡的不变子空间,其余的称为非平凡的不变子空间.,7 不变子空间,又因为,例2 线性变换A的值域AV与核 都是A-子空间.,所以AV是A-子空间.,又因为,所以 是A-子空间.,证明 因为A 的值域与核都是V的子空间,又,例3 若线性空间V 的线性变换A与B可交换，则B 的核与值域都是A-子空间,证明 因为B的值域与核都是V的子空间,对核,7 不变子空间,对存在 使,于是有，,为A 的不变
34、子空间.,对值域,于是,故 为A的不变子空间.,7 不变子空间,例5 线性变换A的特征子空间 是A的不变子空间.,例4 任何子空间W都是数乘变换K的不变子空间.,证明,所以W都是K的不变子空间.,证明,又,是V的子空间,所以 是A的不变子空间.,注 设 ,A与 可交换，则,的核与值域都是A-子空间,7 不变子空间,2 不变子空间的简单性质,(1)两个A子空间的交与和仍是A子空间.,证明 设 为两个A 子空间,则 ,存在 使得,且,故 是A 子空间.,对 ,故 是A 子空间.,7 不变子空间,(2) 设 则,证明,任取 并设,则,W是A子空间,若W是A子空间,则,若,故W是A子空间.,7 不变子
35、空间,二 A在不变子空间W上引起的线性变换,W是V的A 子空间,则 为W上的线性变换，,或A在W上的限制 .,称 为A在W上引起的线性变换,注,但,则 没有定义.,7 不变子空间,1 设A是n维线性空间V的线性变换，,W是V 的A子空间, 为W的一组基,三 不变子空间与线性变换的矩阵化简,因为 ,可以由 线性表示.,可以由 线性表示.,把它扩充为V的一组基,则A在这组基下的矩阵形如,其中 为 在 基 下的矩阵.,7 不变子空间,从而,设,7 不变子空间,反之,若A在基 下的矩阵为,则 是V 的A子空间,且,为 在 基 下的矩阵.,2 设A是n维线性空间V的线性变换，,若V可以分解成若干个A 子
36、空间 的直和,则A在某组基下的矩阵为准对角矩阵,7 不变子空间,在这组基下的矩阵为,因为对每个 ,取基,则A在基,下的矩阵为准对角矩阵,7 不变子空间,的子空间 为A的不变子空间,下的矩阵为准对角矩阵, 则由生成,反之，若A在基,且V具有直和分解,特别地,若,为特征子空间的直和分解,则A在由特征向量组成的,某组基下的矩阵为,其中,7 不变子空间,四 线性空间的直和分解,下面应用哈密尔顿-凯莱定理将线性空间V按特征值分解成不变子空间的直和 .,引理1 设V是域P上的线性空间,A是V上的线性变换，,则,是A的不变子空间的直和分解.,在 中 且,证明 (1)证 是 的子空间.,只需证,7 不变子空间
37、,同理,(2)证,因为,存在 使得,从而,7 不变子空间,其中,因为,故,7 不变子空间,(3)证直和.,故,(4)证是A不变的.,因为 都与A可交换,所以 都是 A-子空间.,综合以上四点 ，结论成立.,7 不变子空间,引理2 设V是域P上的线性空间,A是V上的线性变换，,则,是A的不变子空间的直和分解.,在 中,且 两两互素.,证明 对s作归纳.,当s=2时即引理1.,假设对小于s的情形结论成立,令,由归纳假设,7 不变子空间,由 两两互素,则,故结论成立.,下证等于s的情形，,注 零线性变换O的核是空间V，即,则V可以分解成A的非平凡不变子空间的直和.,将 分解成两两互素的多项式乘积，,
38、因此若存在 使得,7 不变子空间,定理12 设A为数域P上线性空间V的线性变换.,若A的特征多项式 在 中分解成,其中 为互不相同的首项系数为1,的不可约多项式,则,证明 由哈密尔顿-凯莱定理,由引理2 结论成立.,7 不变子空间,其中,则,其中 为P中互不相同的数,且,称 为A 的属于特征值 的广义特征空间.,称为V的广义特征空间分解.,7 不变子空间,特别的,若 在 分解成,进一步,对每个 取一组基,在此基下的矩阵为 ,即,的矩阵为准对角矩阵,则A在基,7 不变子空间,下,的所有不同特征子空间的维数之和等于n.,可见，并不是任一线性变换都有一组基，,使它在这组基下的矩阵为对角矩阵.,下面在复数域上讨论线性变换A的在某组基下的最简单形式.,8 若尔当(Jordan)标准形介绍,的矩阵称为若尔当(Jordan)块,其中 为复数.,定义 形式为,由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.,一 若尔当(Jordan)形矩阵,形如,8 若尔当(Jordan)标准形介绍,