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1、7.1 线性变换的定义第1页/共146页一一.线性变换的定义及实例线性变换的定义及实例定义1 映射 A ：VV称为线性空间V上的一个变换；V上的变换A 称为线性变换，如果 对任意的,V,对任意的kP,1)A (+)=A ()+A ()；2)A (k)=k A ().l 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，表示线性变换；l 称如上条件1),2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”；l 注意与同构映射 f：VW（V，W为线性空间）的异同之处。第2页/共146页例1 S S：V2V2,S S ()=/(按逆时针方向旋转度得/)，（即二维平面上的旋转变换）。设,的坐标分别是(x,y),(x/,y/),则
2、 .可以证明，S S 是二维平面V2 上的一个线性变换。证明：对任意的,V2,设+=（如图）第3页/共146页S S (+)=S S ()=/=/+/=S S ()+S S ()，S S (k)=k/=k S S ().故S S 是V2 上的线性变换.k/k/第4页/共146页 ke 第5页/共146页第6页/共146页第7页/共146页例6 设设V是数域是数域P上的线性空间，上的线性空间，kP,定义定义V上上的变换为的变换为k(对任意的对任意的V)，可以证明该，可以证明该变换为线性变换，称为由数变换为线性变换，称为由数k确定的数乘变换，并确定的数乘变换，并用用K K 表示表示.当当k=1时，
3、即为恒等变换，当时，即为恒等变换，当k=0时，即为零变换时，即为零变换.证明：K K 显然是显然是V上的变换上的变换.现仅证其为线性变换现仅证其为线性变换.对任意的对任意的,V,aP,K K(+)=k(+)=k+k=K K()+K K()；K K(a)=k(a)=(ka)=a(k)=a K K().故故 K K 是是V上的线性变换上的线性变换.第8页/共146页二二.线性变换的基本性质线性变换的基本性质1.A (a+b)=a A ()+b A ()；2 A (0)=0,A ()=A ()；3.A (k11+krr)=k1A(1)+kr A (r)；（保持线性关系不变）4.1,r 线性相关，则A
4、 1,A r线性相关.l 反之，则不一定.例如零变换 A（）=0（0）.证明：1.A (a+b)=A (a)+A (b)=a A ()+b A ().第9页/共146页2.A (0)=A (0)=0 A ()=0.A ()=A (1)=(1)A ()=A ().3.据1，易证该等式成立.4.据题设，存在不全为0的数k1,krP,使得 k11+krr=0 据3.,2.可知 A (k11+krr)=k1 A (1)+kr A (r)=A (0)=0，即A 1,A r线性相关.l 性质3说明：设=k11+krr A ()=A (k11+krr)=k1 A (1)+kr A (r),即与A ()具有相
5、同的线性关系.第10页/共146页l 性质1可修改为如下命题：5.A 是线性变换的充要条件是：A (a+b)=a A ()+b A ()对任意的V，a,b P.证明：必要性：即性质1.充分性：取a=b=1,则 A (+)=A ()+A ()；取a=k,b=0,则 A (k)=A (k+0)=kA ()+0 A ()=kA ()，故 A 是线性变换.第11页/共146页7.2 线性变换的运算第12页/共146页 L(V)=A A :VV的线性变换 A :VV是线性空间V上的一种运动，变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质。VL(V)第13页/共146页一一.L(V)上
6、的加法运算上的加法运算定义1 对任意的A,B L(V),V,规定 (A +B)()=A,()+B()称为A,与B的和，记为A +B.命题1 对任意的A,B,C L(V)A +B L(V),且具有如下性质：1.(A +B)+C =A +(B+C)；2.A +B =B+A ；3.存在O L(V),O +A =A ；4.对任意的A L(V)，存在A L(V),A +(A )=O .l据4，可定义 A B =A (B)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算.第14页/共146页证明：首先要证明首先要证明A A +B B L(V)，即证明，即证明A A +B B 是是V上的变换；上的变换；且对向量加法和
7、数乘保持不变且对向量加法和数乘保持不变.第15页/共146页第16页/共146页二二.L(V)上的乘法运算上的乘法运算定义2 对任意的A,B L(V),V,规定 A,B()=A,(B()称A,B是A,与B 的积，记为A,B .l A,与B 的乘法即映射的合成.命题2 对任意的A,B ,C L(V)A,B L(V),且具有如下性质：5.(A,B)C A,(B C)；6.A,(B C)A,B A,C ；7.(B C)A,B A,C A,；8.EA,A,E A,（为V上的恒等变换）.第17页/共146页证明：首先证明A,B L(V),即A,B 是上的变换，且保持向量加法，数乘运算不变.据映射合成即知
8、确为V上的变换.对任意的,V,k P,A,B (+)=A,(B (+)=A,(B ()+B()=A,(B ()+A,(B()=A,B ()+A,B()；A,B (k)=A,(B (k)=A,(kB ()=kA,(B ()=k A,B ().故 A,B 是V上的线性变换，即A,B L(V).因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.(A,(B C)()=A,(B C)()=A,(B()+C()=A,(B()+A,(C()=A,B()+A,C()=(A,B A,C)()6.成立.7.同上可证明7.成立.8.显然成立.第18页/共146页注注:该命题有以下注意问题该命题有以下注意问题第19页/共146
9、页三三.L(V)上的数乘运算上的数乘运算定义3 设 kP,A L(V),对任意的V，规定 (kA)()=kA()称kA 为k与A 的数量乘法.l 设K 是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4）即K ()=k，则(kA)()=kA()=K A()即 kA =K A .所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算.本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的.如上定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质，使用起来方便.第20页/共146页命题3 对任意的对任意的k,lP,A A L(V)kA A L(V),且具有如下性质：且具有如下性质：11.(k l)A =k(
10、lA)；12.k(A +B)=kA +kB ；13.(k+l)A =kA +lA ；14.(kA)B=k(A B)；15.1A =A .证明：仅证11.其它性质类似可证.（kA L(V)证明略）据kA =K A 可知，(k l)A =(K L )A =K (L A )=k(lA).(其中用到乘法的结合律成立).第21页/共146页l 据据L(V)的加法和数乘及其性质的加法和数乘及其性质(命题命题1,3)可知可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的上的线性空间线性空间.四.L(V)上的可逆变换上的可逆变换定义定义4 变换A :VV 称为可逆变换，如果存
11、在B :VV,使得 A B =BA =E .这时称B 为A 的逆变换，记为A 1=B .l B :VV 即为A :VV 的逆映射.命题命题4 A L(V)，且可逆 A 1L(V),规定:16.A n=(A 1)n.l 16.是一种规定，也可看成是性质.即将A n中的幂指数扩充到整数范围（nZ）.可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.第22页/共146页证明：证证A A 1L(V),即证即证A A 1是是V上的变换，且保持向上的变换，且保持向量的加法和数乘运算不变量的加法和数乘运算不变.A 1显然是V上的变换，关键证其为线性变换.A 1(+)=A 1(A A 1()+A A 1()=A 1(A
12、 (A 1()+A (A 1()=A 1(A (A 1()+A 1()=(A 1A )(A 1()+A 1()=A 1()+A 1().A 1(k)=A 1(k(A A 1)()=A 1(k(A (A 1()=A 1(A (kA 1()=(A 1A)(kA 1()=kA 1().故 A 1L(V),第23页/共146页五五.线性变换的多项式线性变换的多项式第24页/共146页注注:该性质的证明略，注意问题如下该性质的证明略，注意问题如下:第25页/共146页例例1 (0)R3,是把向量是把向量射到射到上的内射影上的内射影变换，则变换，则第26页/共146页 ()()x x()()x x R R
13、 x x(x)分析分析:性质性质1),2)即即7.1节例节例2.这里仅需证明这里仅需证明3),4),5)第27页/共146页第28页/共146页例例2 1）线性空间线性空间Pn中，求微商是线性变换中，求微商是线性变换(P274例例5),显然显然 D D n=0.2）线性空间Pn中，变元的平移变换S a：Pn Pn，aP,S a(f()=f(+a).易验证S a是线性变换.据泰勒展开式第29页/共146页l 以上实例说明，线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质.第30页/共146页7.3 线性变换的矩阵第31页/共146页一.引入概念 设V是
14、数域P上n维线性空间，1,2,n是V的一组基，A L(V)，则对任意的（V），=x11+x22+xnn,且其中系数是唯一确定的，称为向量在基1,2,n下的坐标.由于 A=A（x11+x22+xnn）=x1 A（1）+x2 A（2）+xn A（n）.故A 完全由 A（1）,A（2）,A（n）有必要研究基1,2,n与其象 A（1）,A（2）,A（n）之间的相互联系.从而得到如下结论：第32页/共146页定理定理1 设 1,2,n是V 的基 对任意的1,2,nV,存在唯一的A L(V),使得 A i=i,i=1,2,n.l 分析证明思路：1)存在性：对任意的1,2,nV,存在A L(V),使得 A
15、i=i,i=1,2,n (即 P282，2.).2)唯一性：若另存在BL(V),Bi=i,i=1,2,n A =B (即 P281，1.).第33页/共146页第34页/共146页第35页/共146页l 定理意义分析定理意义分析:第36页/共146页第37页/共146页(2)设1,2,n是V的基，对任意的V，A A L(V),=x11+x22+xnnA A=x1A A1+x2 A A2+xnA An由此看出由此看出研究研究A A 的特征，关键在于研究的特征，关键在于研究i与与A Ai 的关系的关系,这里这里i ,A Ai V，i=1,2,n第38页/共146页第39页/共146页A A L(V
16、)APnnV的基1,2,n下第40页/共146页第41页/共146页第42页/共146页l 定理定理1的意义就在于证明了的意义就在于证明了 是满射，从而是双射是满射，从而是双射.这这就为引入如下概念奠定了理论基础就为引入如下概念奠定了理论基础.第43页/共146页 V m+1,n A A A AW1,2,n 0 第44页/共146页第45页/共146页第46页/共146页二二 的性质的性质第47页/共146页l L(V)Pnn,且保持加，减，乘，数乘，可逆性.第48页/共146页第49页/共146页第50页/共146页第51页/共146页第52页/共146页 A 三三 线性变换下的坐标变换线性
17、变换下的坐标变换向量与A在同一基下的坐标变换公式l 注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别（见P6.4）第53页/共146页第54页/共146页三三 A A (L(V)在不同基下的矩阵在不同基下的矩阵B=X-1AX定理4 A (L(V)在基在基1,2,n下的矩阵是下的矩阵是A A (L(V)在基在基1,2,n下的矩阵是下的矩阵是B (1,2,n)=(1,2,n)X A A(1,2,n)=(1,2,n)X B =X-1AX同一A 在不同基下的矩阵之间的关系式是完全由基变换公式所确定的 第55页/共146页第56页/共146页定义定义3 A,BPnn,称称A相
18、似相似B，记，记AB，如果存，如果存在可逆矩阵在可逆矩阵XPnn,使得使得 B=X1AX 相似关系相似关系的性质：的性质：1）自反性：对任意的自反性：对任意的APnn,AA.(存在E Pnn,A=E1AE)2）对称性：对称性：AB，则，则 BA.(AB 存在可逆阵X Pnn，B=X1AX XBX1=X(X1AX)X=A,即存在Y=X1，A=Y1 BY BA）3）传递性：传递性：AB,BC,则则 AC.(AB,BC 存在可逆阵X,YPnn,B=X1AX,C=Y1BY C=Y1(X1AX)Y=(XY)1A(XY)AC)l 矩阵的相似关系是矩阵的相似关系是P上的等价关系上的等价关系.第57页/共14
19、6页4）X1A1X+X1Ar X=X1(A1+Ar)X (X1AX)(X1AX)(X1AX)=X1(A1A2 Ar)Xl 即 A1B1 ArBr,则 A1+A2+ArB1+B2+Br,A1A2 ArB1B2 Br.5）X1(Ar)X=(X1AX)r (是性质4的特例)6）AB,则 Ar Br (AB B=X1AX 据性质5,Br=(X1AX)r=X1(Ar)X Ar Br).l 据以上性质得：AB,则 f(A)f(B),f(x)Pnn.(设 f(x)=a0+a1x+anxn,因 AB Ar Ar,r=0,1,n,又由B=X1AX得 kB=k(X1AX)=X1(kA)X,即 kAkB 据性质4知
20、 a0 A0+a1A+anAn a0B0+a1B+anBn，即 f(A)f(B）).第58页/共146页 7）（定理（定理5）（1）A A (L(V)在不同基下矩阵在不同基下矩阵A，B相似；相似；（2）AB（A,BPnn）,则存在则存在A A (L(V)，使使A,B是是 A A 在不同基下的矩阵在不同基下的矩阵.证明：由定理4即知(1)成立.这里仅证(2).AB 存在可逆阵X,使 B=X1AX,又据定理1,有A (L(V),A (1,2,n)=(1,2,n)A 设 (1,2,n)X=(1,2,n)因X可逆，故 (1,2,n)X 1=(1,2,n)1,2,n 与1,2,n 等价 1,2,n 是V
21、的基,且A (1,2,n)=A (1,2,n)X)=(A (1,2,n)X=(1,2,n)AX =(1,2,n)X1)AX=(1,2,n)X1AX =(1,2,n)B A,B分别是在基1,2,n 和基1,2,n 下的矩阵.第59页/共146页l 矩阵的相似关系作为矩阵的相似关系作为Pnn上的等价关系把上的等价关系把Pnn分成若干个互不相交的子集分成若干个互不相交的子集 提出问题：提出问题：对任意的对任意的A A L(V),找到一个基，使在该基找到一个基，使在该基下的矩阵最简单？下的矩阵最简单？（这是今后要讨论解决的一个（这是今后要讨论解决的一个问题）问题）基1,2,n基1,2,nL(V)A P
22、 nn A B第60页/共146页第61页/共146页l 利用矩阵相似性质可以简化矩阵的运算利用矩阵相似性质可以简化矩阵的运算 （如利用如上例题可简化如下矩阵的计算）（如利用如上例题可简化如下矩阵的计算）第62页/共146页7.4 特征值与特征向量第63页/共146页一一.特征值、特征向量概念引入特征值、特征向量概念引入 问题：对任意的AL(V),如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？定义定义4 A L(V),若存在A P，存在(0)V，使得 A=0（1），则称0为A 的特征值，为A 的属于0的特征向量.几何意义：V3中，A 与 在同一直线上，其长度相差|0|倍.特征向量不为特征值所唯一
23、确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.第64页/共146页证明：1）A A 0 对任意的kP,k0,A A (k)kA A k(0)0(k).即即:凡凡k都是都是A A 的属于的属于0的特征向量的特征向量.2)设是A 的属于特征值1,2 特征向量 A =1=2 (1 2)=o 因0,故 1 2=o 1=2.两集合无公共向量A A 1统领的特征向量全体2统领的征征向量全体第65页/共146页 V=V|A A=是是V的子空间，称为的子空间，称为A A 的属于特征值的属于特征值的的特征子空间特征子空间，由，由A A 的属于特的属于特征值征值的特征向量与零向量的特征向量与
24、零向量(非非的特征向量的特征向量)组组成成.证明：对任意的 kP,V,A ()=A ()A ()=()V A (k)=kA=k()=(k)kV 故V是V 的子空间.例例 取数乘变换K L(V)，对任意的(0)V,kP,K ()=k,即V中非零向量均为K 的属于特征值 k 的特征向量，特征子空间即为V.特别当 k=1时,V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量；当k=0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量.它们的特征子空间均为V.第66页/共146页二二.特征值、特征向量的计算特征值、特征向量的计算1.命题:设A (L(V)在基1,2,n 下的矩阵A=(aij
25、)nn,则=x11+x22+xnn 是A 的属于特征值的特征向量的充要条件是第67页/共146页第68页/共146页第69页/共146页 该命题说明，该命题说明，是否为是否为A A 的特征值，的特征值，(0)是是否为否为A A 的属于的属于的特征向量，关键在于的特征向量，关键在于|EA|是是否等于否等于0，故有必要研究多项式，故有必要研究多项式|EA|的特性的特性 促使引入一下概念促使引入一下概念：2.定义定义5 APnn,是文字，矩阵|EA|的行列式称为矩阵A的特征多项式，记为 fA().fA()=|EA|Px,fA()=n.为A 的特征值的充要条件是fA()=0.第70页/共146页 对命
26、题对命题是是A A 的特征值的充要条件是的特征值的充要条件是 fA()=0 的证明分析的证明分析:l 以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为 fA()的根，设0是的特征值，即 fA(0)=|0 EA|=0 如上齐次线性方程组(0EA)X=0 的非零解均为A 的属于特征值0 的特征向量 给出如下课题的思路：第71页/共146页3.求特征值，特征向量的方法求特征值，特征向量的方法（对给定的（对给定的A A ）第72页/共146页第73页/共146页第74页/共146页第75页/共146页第76页/共146页第77页/共146页第78页/共146页该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数，其中
27、非零常数均为求导线性变换D 的属于特征值0的特征向量.第79页/共146页例例4 S S：V2V2,S S ()=/(按逆时针方向旋按逆时针方向旋转转 度得度得/).(即二维平面上的旋转变换即二维平面上的旋转变换,见见P274例例1).第80页/共146页第81页/共146页第82页/共146页第83页/共146页三三 特征多项式特征多项式 fA()(APnn,P为复数域为复数域)的的性质性质第84页/共146页2.设 f A()在复数域C上有n个根1,2,n（重根按重数计），a1+a2+an=Tr(A),称为A的迹，则1）1+2+n=Tr(A)；（2）12n=|A|.第85页/共146页证明
28、:据根与系数的关系及性质1 1+2+n=a11+a22+ann=Tr(A)成立.12n=(1)n()n|A|=|A|成立.3.(定理定理6)n阶矩阵AB，则存在可逆矩阵XPnn,使得 fA()=fB().证明：AB 存在可逆矩阵XPnn,使得 B=X1AX fB()=|EB|=|EX1 AX|=|X1(eA)X|=|X1|EA|X|=|X1|X|EA|=|X1 X|EA|=|EA|=fA().第86页/共146页 3.说明，说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换换A A 的矩阵的矩阵A的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故的特征多项
29、式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故可将矩阵可将矩阵A的特征多项称为线性变换的特征多项称为线性变换A A 的特征多项式，记为的特征多项式，记为 fA A().不同基下 A A fA()=fB()=fA ()BL(V)A Pnn A B第87页/共146页 AB，则，则|A|=|B|.证明证明:AB fA()=fB()两多项式的常数项相等，即(1)n|A|=(1)n|B|A|=|B|.定理定理 6 的逆一般不成立，即的逆一般不成立，即 fA()=fB()一般推不出一般推不出AB|.但 A，B不相似.因为与A=E 相似的矩阵只能是 A.(设 X1 AX=B B=X1 AX=X1 X=E
30、=A)第88页/共146页4.哈密顿哈密顿 凯莱凯莱(Hamilton Caylay)定理定理:设设 fA()是数域是数域 P上上n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式，则的特征多项式，则 fA(A)=An (a11 a 22 ann)A+(1)n|A|E=0.Caylay(1821-1895)英国数学家，天文学家.矩阵论的创立人。1845年发表“线性变换理论”，1858年给出哈密尔顿-凯莱定理.他也是n维几何，高位抽象空间的创立人.在群论和天文学方面也有贡献.1895年卒于英国剑桥.Hamilton(1805-1865)英国数学家，物理学家.对分析力学做出重要贡献.在数学方面的主要贡献是发现“四元数”
31、，其主要著作为“四元数讲义”.17岁发现“光束理论”。矩阵论的提出，源于四元数的研究,故一般称该定理为哈密顿 凯莱定理.第89页/共146页 该定理的证明从略.其意义为:当矩阵A的特征多项式 fA()中的文字 取矩阵数域P上的n阶矩阵X，从而构成矩阵多项式时 fA(X)时，A是该矩阵多项式的根，即 fA(A)=0（零矩阵）.由于 L(V)Pnn,A 与A之间保持运算，故有如下推论成立.5.(推论推论)设设A A L(V),fA A ()是是A A 的特征多项式，则的特征多项式，则 fA A (A A )=O .O .第90页/共146页7.5 对角矩阵第91页/共146页 对角矩阵对角矩阵 是
32、矩阵中最简单是矩阵中最简单的一种的一种 哪些哪些A A (L(V)在适当的基下在适当的基下,其矩阵是对角其矩阵是对角矩阵？矩阵？若若A A 在某基下的矩阵是对在某基下的矩阵是对角矩阵，则称角矩阵，则称A A 可对角化可对角化 本节问题：什么样本节问题：什么样的线性变换可以对角化？的线性变换可以对角化？1.(定理1)A A (L(V),dimV=n)可对角化的充要条件是：A A 有n个线性无关的特征向量.第92页/共146页第93页/共146页2 (定理8)属于不同特征值的特征向量线性无关.证明：对特征值的个数n进行归纳.仅一个特征值1时，据定义存在非零向量V，有 A=1成立 显然线性无关.设属
33、于k个不同特征值的特征向量线性无关，现证属于k+1个不同特征值1,k,k+1的特征向量 1,k,k+1线性无关.设 a11+akk+ak+1k+1=0 (1)给等式（1）两边同乘以k+1，得 a1 k+1 1+ak k+1 k+ak+1 k+1 k+1=0 （2）给等式（1）两边同施以线性变换A ，得第94页/共146页 A A（a11+akk+ak+1k+1)=a1A A 1+akA A k+ak+1A A k+1=a111+akkk+ak+1k+1k+1=0 (3)由(3)(2)得 a1(1k+1)1+ak(kk+1)k+ak+1(k+1k+1)k+1=0 a1(1k+1)1+ak(kk+
34、1)k=0 因 1,k 线性无关(归纳假定)可知 ai(ii)=0,i=1,n 因特征值互异，即ii 0,i=1,n，故得 a1=a k=0 等式(1)为 a k+1k+1=0 由k+1 0 推出 a k+1=0 1,k,k+1线性无关.第95页/共146页3 （推论1）A A L(V),dimV=n,fA A()在数域P中有n个 不同的根，则可对角化.12n 1 2 nA A 第96页/共146页4 (推论2)A A L(V),dimV=n,fA A()在复数域C中无重根，则可对角化.l 证明思路与定理证明思路与定理8相仿，对特征值的个数相仿，对特征值的个数k 进行归纳即可，此处从略进行归纳
35、即可，此处从略.关键是正确理关键是正确理解意义解意义.第97页/共146页 1 2 k A A (L(V)第98页/共146页第99页/共146页第100页/共146页第101页/共146页第102页/共146页第103页/共146页第104页/共146页第105页/共146页第106页/共146页7.6线性变换的值域与核第107页/共146页一一 引入概念引入概念定义6 A(L(V)的值域 A V=A|V；A 的核 A 1(0)=|A=0,V.也将A 的值域和核表示为：A V=ImA ,A 1(0)=KerA .vA A V 0 A V A 1 1(0)0)第108页/共146页 称称dim
36、A A V为为A A 的秩，的秩，dimA A 1(0)为为A A 的零度的零度.A A V,A A 1(0)是是 V 的子空间的子空间.证明：对任意的A，A A V，A+A=A (+)，kA=A (k)A V，且A V非空，故A V是V的子空间.对任意的,A 1(0)A=A=0 A (+)=A+A=0，A (k)=kA=0 +，kA 1(0),且 A 1(0)非空 故A 1(0)是V的子空间.第109页/共146页例 线性空间 Pxn 中 D D (f(x)=f/(x).则 D D 的值域为Pxn-1,D D 的核为子空间P.二二.值域与核的性质值域与核的性质1(定理定理10)10)A A
37、A A L(V),L(V),1 1,n,n是是V V的基，且的基，且 A A A A 在在该基下的矩阵为该基下的矩阵为A A，则，则 1)1)A A A A V=V=A A A A (L(L(1 1,n n )=L()=L(A A A A 1 1,A A A An)n)；2)2)A A A A 的秩的秩 =A=A的秩的秩.A（L(1,n)）=L(A 1,A n)第110页/共146页第111页/共146页第112页/共146页2(定理11)A L(V),dimV=n，则 A 的秩+A 的零度=n.第113页/共146页第114页/共146页3.(推论)L(V),dinV=n，则 A 是单射的充
38、要条件为A 是满射 证明思路分析证明思路分析证明思路分析证明思路分析：分三步完成：分三步完成：（1 1）A A 是单射的充要条件为是单射的充要条件为 A A 1 1(0)=0(0)=0；（2 2）A A 1 1(0)=0(0)=0的充要条件为的充要条件为 A A V=VV=V；（3 3）A A V=V V=V 的充要条件为的充要条件为A A 是满射是满射.第115页/共146页第116页/共146页 该性质说明该性质说明：dimA A V+dimA A 1(0)=n.但此时但此时不能断定不能断定A A V+A A 1(0)=V.例如在例如在 Pxn 中中,DD Pxn=Pxn-1,D D 1(
39、0)=P,DD Pxn+D D 1(0)=Pxn-1 Pxn.其中其中，DD Pxn D D 1(0)=P.即即dim(DD Pxn+D D 1(0)=n1,而而dim(DD Pxn D D 1(0)=1.例 设APnn，A2=A.证明A相似于一个对角矩阵第117页/共146页 第118页/共146页第119页/共146页第120页/共146页7.7不变子空间第121页/共146页一一 不变子空间的概念及性质不变子空间的概念及性质定义7 A L(V),W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A A 的不变子空间，简称为A A 子空间，如果：对任意的W，AW.即 A W W（对线性变换A 封闭）.
40、性质性质1 对任意的AL(V),V,0是A子空间（例1）.V WA A W第122页/共146页性质性质2 对任意的A L(V),A 的值域A V,核 A 1(0)是A 子空间(例2).证明证明：对A VVA A V,A 1(0),A=0A 1(0)，故命题成立.性质性质3 AB =BA ，则B V,B 1(0)是A 子空间(例3).证明证明：对任意的BB V，A (B)=B(A)B V B V是A 子空间.对任意的B 1(0),B=0,要证明 B 1(0)，关键证B(A)=0.而 B(A)=A (B)=A (0)=0,故B 1(0)是A 子空间.同理：A V，A 1(0)是B 子空间.由于A
41、 f(A )=f(A )A ，故 f(A )V,f(A )1(0)是A 子空间.第123页/共146页性质性质4 K L(V),则V的任一子空间是K 子空间.V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间.证明证明：设W是V的任一子空间，对任意的W,由子空间的定义可知，K=kW,故命题成立.性质性质5 A L(V),W是A 子空间，f(x)Px,则W是f(A )子空间.第124页/共146页性质性质6 W1,W2是是A A 子空间，则子空间，则 W1+W2,W1W2仍是仍是A A 子空间子空间.证明证明：对任意的对任意的1+2W1+W2，A A(1+2)=A A1+A A2 W1+W2.对任意的
42、对任意的W1W2，A AW1且且A AW2，故，故A AW1W2，所以命题成立，所以命题成立.性质性质7 A A L(V),则则A A 的属于特征值的属于特征值的特征子空间的特征子空间V是是A A子空间子空间.证明证明：对任意的对任意的V,A A=V V是是A A子子空间空间.性质性质8 A A L(V),则则A A 有一维有一维A A子空间的充要条件子空间的充要条件是：存在是：存在P,对任意的对任意的(0)W,A A=,且且 W=L().第125页/共146页 该性质即说：该性质即说：W是是A A 的一维不变子空间的充的一维不变子空间的充要条件是：要条件是：W是是A A 的某特征值的某特征值
43、的一维特征子空的一维特征子空间间V.证明证明：必要性 设W是A 子空间，dimW=1 取W的基，即W=L()A W,即存在P,使得 A=成立.充分性 设A=(0)L()=W显然是V的一维子空间，对任意的W，=x 应有 A=A (x)=xA=x()=(x)=W,即W是一维A 子空间.第126页/共146页二二 线性变换在子空间上的限制（线性变换在子空间上的限制（A AW）定义 A L(V),W是A 子空间，规定 AW：WW，AW()=A(W),称AW为A 在W上的限制.A AWVWVW第127页/共146页 实例：实例：1.A AA A 1(0)是是A A 1(0)上的零变换上的零变换.（对任意
44、的（对任意的A A 1(0),A AA A 1(0)()=A A =0 ）2.A AL(V),W是是V的子空间，则的子空间，则A AWL(W).3.A AV是是V上的数乘变换上的数乘变换.（对任意的（对任意的V，A A=）性质性质10 A AL(V),W=L(1,r)是是V的的A A子空子空间的充要条件是：间的充要条件是：A A1,A ArW.证明证明：A A W=A A L(1,r)=L(A A1,A Ar)，故，故第128页/共146页三三 不变子空间与线性变换的对角化不变子空间与线性变换的对角化第129页/共146页第130页/共146页第131页/共146页第132页/共146页 V分解成A 子空间直和的充要条件：A 在某基下矩阵是准对角矩阵第133页/共146页命题：A 可对角化的充要条件是V可分解成A 的一维不变子空间的直和.第134页/共146页第135页/共146页第136页/共146页第137页/共146页第138页/共146页第139页/共146页第140页/共146页第141页/共146页第142页/共146页第143页/共146页第144页/共146页第145页/共146页感谢您的观看！第146页/共146页