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1、一、泰勒级数上节例题存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数问题问题:1.如果能展开,是什么?2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数?第1页/共25页证明证明第2页/共25页泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数第3页/共25页问题问题定义定义泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定.第4页/共25页定理定理2.各阶导数各阶导数,则则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f(x)的泰勒公式余项满足的泰勒公式余项满足:证明证明:令令设函数设函数 f(x)在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有第5页/共25页二、
2、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知由泰勒级数理论可知,第一步第一步 求函数及其各阶导数在求函数及其各阶导数在 x=0 处的值处的值;第二步第二步 写出麦克劳林级数写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径并求出其收敛半径 R;第三步第三步 判别在收敛区间判别在收敛区间(R,R)内内是否为是否为骤如下骤如下:展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开第6页/共25页例1.1.将函数展开成 x 的幂级数.解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0 0与x x 之间)故得级数 第7页/共25页例例2解解其收敛半径为 对任何有限数 x,
3、其余项满足第8页/共25页例例3解解第9页/共25页第10页/共25页两边积分得第11页/共25页即牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注意注意:第12页/共25页双阶乘第13页/共25页2.2.间接法间接法根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.例如第14页/共25页第15页/共25页例4.4.将函数展开成 x 的幂级数.解:因为把 x 换成,得第16页/共25页例例5解解第17页/共25页第18页/共25页三、小结1.如何求函数的泰勒级数;2.泰勒级数收敛于函数的条件;3.函数展开成泰勒级数的方法.第19页/共25页P285 习题习题12-4 2.(2)(3)作业作业第20页/共25页思考与练习思考与练习1.函数函数处处“有泰勒级数有泰勒级数”与与“能展成泰能展成泰勒级勒级数数”有何不同有何不同?提示提示:后者必需证明后者必需证明前者无此要求前者无此要求.2.如何求如何求的幂级数的幂级数?提示提示:第21页/共25页练练 习习 题题第22页/共25页练习题答案练习题答案第23页/共25页第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页