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1、第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示一一.泰勒级数泰勒级数第三章研究过泰勒公式:其中f(x)在 的某邻域内具有n+1阶导数.余项此时,f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为由此引入泰勒级数:1.定义 若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,则f(x)在 的泰勒级数泰勒系数麦克劳林级数2.泰勒定理:若f(x)在 的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论,证明略)注:(1)则f(x)在 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若f(x)在 的泰勒级数收
2、敛于f(x),即泰勒展开式(2)如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.则称 f(x)在 可以展开成泰勒级数二二.函数展开成幂级数函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成 x 的幂级数.麦克劳林级数1.直接展开法(1)求出如果某阶导数不存在,说明不能展开(2)求出(3)求出收敛半径R(4)在(-R,R)内,如果则 f(x)例 将函数展开成 x 的幂级数收敛半径有限趋于零,因为 收敛所以(循环)收敛半径所以0牛顿二项式级数注:1时,展式在 x=1成立;0时,展式在 x=1成立.2.间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分,逐项求导法(2)变量替换法(3)四则运算法例 将函数展开成 x 的幂级数作变量替换例 将 分别展开成 x 的及 x1 的幂级数例 将 展开成 x1的幂级数练习