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1、7.3 函数展开成幂级数函数展开成幂级数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数前面研究的是幂级数的收敛域及和函数,现在反过现在反过来来,某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示某个函数是否可以在某个区间内用幂级数表示7.3.1 泰勒泰勒(Taylor)级级数数第第4章研究过泰勒公式章研究过泰勒公式:其中其中f(x)在在 的某邻域内具有的某邻域内具有n+1阶导数阶导数.余项余项此时此时,f(x)可以用前可以用前n+1项近似表示项近似表示,误差为误差为由此引入泰勒级数由此引入泰勒级数:1.定义定义 若若f(x)在在 的某邻域内具有各阶导数的某邻域内具有各阶导数,则则f(x)在在 的泰勒级数的泰勒级数泰
2、勒系数泰勒系数麦克劳林级数麦克劳林级数2.泰勒定理泰勒定理:若若f(x)在在 的某邻域内具有各阶导数的某邻域内具有各阶导数,(由泰勒公式很容易得出结论由泰勒公式很容易得出结论,证明略证明略)注注:(1)则则f(x)在在 的泰勒级数在该邻域内收敛于的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)若若f(x)在在 的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于f(x),即即泰勒展开式泰勒展开式(2)如果函数可以展开成幂级数如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一则展开式唯一.则称则称 f(x)在在 可以展开成泰勒级数可以展开成泰勒级数7.3.2 函数展开成幂级数函数展开成幂级数主要研究函数如何展开成主要研究函数如何展开成 x
3、的幂级数的幂级数.麦克劳林级数麦克劳林级数1.直接展开法直接展开法(1)求出求出如果某阶导数不存如果某阶导数不存在在,说明不能展开说明不能展开(2)求出求出(3)求出收敛半径求出收敛半径R(4)在在(-R,R)内内,如果如果则则 f(x)例、例、将函数展开成将函数展开成 x 的幂级数的幂级数收敛半径收敛半径有限有限趋于零趋于零,因为因为 收敛收敛所以所以(循环循环)收敛半径收敛半径所以所以0牛顿二项式级数牛顿二项式级数注注:1时时,展式在展式在 x=1成立成立;0时时,展式在展式在 x=1成立成立.2.间接展开法间接展开法利用已知的基本展开式和幂级数的性质利用已知的基本展开式和幂级数的性质(1).逐项积分逐项积分,逐项求导法逐项求导法(2)变量替换法变量替换法(3)四则运算法四则运算法几个常用展开式：几个常用展开式：1.2.3.4.例例 将函数展开成将函数展开成 x 的幂级数的幂级数作变量替换作变量替换例例 将将 分别展开成分别展开成 x 的及的及 x1 的幂级数的幂级数例例 将将 展开成展开成 x1的幂级数的幂级数例例 将将 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解因为因为所以所以所以所以所以所以即即练习练习（略）