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1、幂级数两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开第1页/共23页一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 其中(在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日型余项.则在复习:若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,该邻域内有:f(x)的 n 阶泰勒公式第2页/共23页f(x)的幂级数为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0 时,(1)对此级数,它的收敛域是什么？(2)在收敛域内,和函数是否为 f(x)?问题问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,泰勒级数又称为麦克劳林级数.第3页/共23页泰勒公式可以表示为第4页/共23页定理定理1各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数证明:设函数 f(x)在点 x0
2、的某一邻域 内具有“”“”第5页/共23页定理定理2 若 f(x)能展成 x 的幂级数,唯一的,证明:则显然结论成立.则这种展开式是设 f(x)所展成的幂级数为且与它的麦克劳林级数相同.第6页/共23页二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1 直接展开法第一步第二步第三步是否为直接展开成幂级数的步骤:展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知函数的幂级数0.展开式求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;判定在收敛区间(R,R)内第7页/共23页例例1 将函数将函数展开成 x 的幂级数.解:其收敛半径为 故得级数 其余项故(在0与x 之间)第8
3、页/共23页例例2 将将展开成 x 的幂级数.解:得级数:其收敛半径为 其余项(在0与x 之间)第9页/共23页对上式两边求导可推出:间接展开第10页/共23页例例3 将函将函数数展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.解:于是得 级数由于级数在开区间(1,1)内收敛.因此对任意常数 m,第11页/共23页称为二项展开式.注：(1)在 x=1 处的收敛性与 m 有关.(2)当 m 为正整数时,级数为 x 的 m 次多项式,上式就是代数学中的二项式定理.第12页/共23页2 间接展开间接展开法法利用已知函数的幂级数展开式,例4 展开成 x 的幂级数.解:将所给函数展开成 幂级数.将函数类似地第1
4、3页/共23页例例5 将函将函数数展开成 x 的幂级数.解:从 0 到 x 积分,定义且连续,域为上式右端的幂级数在 x=1 收敛,所以展开式对 x=1 也是成立的,于是收敛即得第14页/共23页例例6 将将展成解:的幂级数.第15页/共23页例例7 将将展成 x1 的幂级数.解:第16页/共23页第17页/共23页内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用已知函数的幂级数展开式.2.常用函数的幂级数展开式第18页/共23页当 m=1 时第19页/共23页思考与练习思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数”有何不同?提示:后者必需证明前者无此要求.2.如何求的幂级数?提示:第20页/共23页备用题备用题 1将下列函数展开成 x 的幂级数解:时,因此 级数条件收敛,连续,第21页/共23页2 将将在x=0处展为幂级数.解:因此第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页