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1、一、对弧长的曲线积分的概念与性一、对弧长的曲线积分的概念与性质质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量采用第2页/共24页第1页/共24页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，称为积分弧段.曲线形构件的质量和对第3页/共24页第2页/共24页如果如果 L 是是 xoy 面上的曲线弧面上的曲线弧,如果 L 是闭曲线,则记为
2、则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为分为思考思考:(1)若在 L 上 f(x,y)1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!对弧长的曲线积分要求 ds 0,但定积分中dx 可能为负.第4页/共24页第3页/共24页3.性质性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)第5页/共24页第4页/共24页二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算法法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 第6页/共24页第5页/共24页点设各分点对应参数为对应参数为 则第7页/共24页第6页/共24页说明说
3、明:因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.因此第8页/共24页第7页/共24页如果曲线如果曲线 L 的方程的方程为为则有如果方程为极坐标形式:则推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则第9页/共24页第8页/共24页例例1.计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)第10页/共24页第9页/共24页例例2.计算半径为计算半径为 R,中心中心角为角为的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解解:建立坐标系如图,则 第11页/共24页第10页/共24页例例3.计算计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利
4、用对称性,得第12页/共24页第11页/共24页例例4.计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解:线第13页/共24页第12页/共24页例例5.计算计算其中为球面 被平面 所截的圆周.解解:由对称性可知第14页/共24页第13页/共24页思考思考:例例5中中 改为改为计算解解:令,则圆的形心在原点,故,如何第15页/共24页第14页/共24页例例6.计算计算其中为球面解解:化为参数方程 则第16页/共24页第15页/共24页例例7.有一半圆有一半圆弧弧其线密度 解解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.第17页/共24页第16页/共24页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性
5、质(l 曲线弧 的长度)第18页/共24页第17页/共24页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧第19页/共24页第18页/共24页思考与练习思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示提示:原式=利用对称性分析分析:第20页/共24页第19页/共24页2.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方程的方程为为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)第21页/共24页第20页/共24页故重心坐标为第22页/共24页第21页/共24页备用题备用题1.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示提示:分段积分第23页/共24页第22页/共24页2.L为球为球面面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为第24页/共24页第23页/共24页感谢您的观赏！第24页/共24页