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1、一、对弧长的曲线积分的概念与性一、对弧长的曲线积分的概念与性质质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”可得为计算此构件的质量,1.1.引例引例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共32页设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点,2.定义定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分.称为被积函数被积函数，称为积分弧段积分弧段.注注1：曲线形构件的质量
2、和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共32页注注2：如果如果 L 是是 xoy 面上的曲面上的曲线弧线弧,注注3：如果 L 是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若在 L 上 f(x,y)1,注注4.存在条件：存在条件：第3页/共32页注注5：几何与物理意义：几何与物理意义(1)几何意义几何意义:对弧长的曲线积分表示以曲线表示以曲线L为准为准线,母线平行于z轴的柱面介于曲面z=f(x,y)(0)与xoy平面之间部分的面积.当f(x,y)1时,对弧长的曲线积分在数值上就等于在数值上就等于曲线曲线L的弧长的弧长.(2)物理意义物理意义:.
3、设设(x,y)表示曲线表示曲线L的线密度的线密度,则则曲线L的质量:.曲线L关于 x 轴和 y 轴的转动惯量:第4页/共32页.第5页/共32页3.性质性质（k 为常数)(由 组成)(l 为曲线弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共32页二、对弧长的曲线积分的计算二、对弧长的曲线积分的计算法法基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理:且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分求曲线积分根据定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共32页点设各分点对应参数为对应参数为 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页说明说明:
4、因此积分限必须满足(2)注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页特殊情形特殊情形（3）方程为极坐标形式:则第10页/共32页推广推广:设空间曲线弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共32页对弧长的曲线积分的计算三原则:一代、二换、三定限一代、二换、三定限.代:将积分曲线的参数方程代入被积函数，换:换弧微元定限:确定定积分限:下限小参数,上限大参数.第12页/共32页例例1.计算计算其中 L 是抛物线与点 B(1,1)之间的一段弧.解解:上点 O(0,0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页例2
5、 计算其中L为在第二象限的部分解一将L表示为第14页/共32页解二将L表示为解三将L表示为参数方程第15页/共32页例例3解解第16页/共32页例例4.计算曲线积分计算曲线积分 其中为螺旋的一段弧.解解:线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共32页解解:例例5 5:求求其中L为抛物线 y2=4x 从(1,2)到(1,-2)一段.若若L关于关于y 轴对称轴对称:(2)当 f(x,y)=f(x,y)时,(1)当 f(x,y)=f(x,y)时,其中其中L1是是L的关于的关于y 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段:注注:关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性第18页/共32
6、页 若若L关于关于x 轴对称轴对称:(2)当 f(x,y)=f(x,y)时,(1)当 f(x,y)=f(x,y)时,其中其中L2是是L的关于的关于x 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段:若若L关于原点对称关于原点对称:(2)当 f(x,y)=f(x,y)时,(1)当 f(x,y)=f(x,y)时,其中其中L3是是L的关于原点对称的部分弧段的关于原点对称的部分弧段:若若L关于直线关于直线 y=x 对称对称:第19页/共32页例6 计算其中L为的上半圆解:原式=0由对称性第20页/共32页例例7.计算计算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结
7、束 第21页/共32页例例8.已知椭圆周长为a,求解解:原式=由对称性由对称性分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共32页例例9.设均匀螺旋形弹簧设均匀螺旋形弹簧L的方的方程为程为(1)求它关于 z 轴的转动惯量(2)求它的质心.解解:设其密度为 (常数).(2)L的质量而(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共32页故重心坐标为第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共32页例例10.计算计算其中为球面解解:化为参数方程 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共32页内容小结内容小结1.定义定义2.性质性质(l 曲线弧 的长度)机动 目录
8、上页 下页 返回 结束 第26页/共32页3.计算计算 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共32页备用题备用题1.设 C 是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示提示:分段积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页2.L为球为球面面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共32页作业作业1-4.计计算算其中L为双纽线解解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共32页作业作业P131 t3(1)-(6)第31页/共32页感谢您的欣赏！第32页/共32页