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1、离散数学Discrete Mathematics邓辉文编著邓辉文编著清华大学出版社清华大学出版社2010.32010.3ISBN 978-7-302-21193-8ISBN 978-7-302-21193-8十一五国家级规划教材 计算机系列教材n n离散数学是计算机各专业的专业基础课.n n(1)程序设计语言n n(2)离散数学n n(3)数据结构与算法n n(4)计算机组成原理n n(5)计算机网络n n(6)操作系统n n(7)数据库n n(8)软件工程n n离散数学研究的对象:离散量及其之间的关系.离散量与连续量及其之间的转换离散量与连续量及其之间的转换.现今计算机的处理对象是非常特殊的
2、离散量现今计算机的处理对象是非常特殊的离散量:0:0和和1.1.n n学习离散数学的目的:n n1.培养各种能力.n n2.为后继专业课程的学习作知识上的准备.n n离散数学的主要内容离散数学的主要内容:n n1.1.集合与关系集合与关系 Chapter 1 Chapter 1 集合、映射与运算集合、映射与运算 Chapter 2 Chapter 2 关系关系n n2.2.数理逻辑数理逻辑 Chapter 3 Chapter 3 命题逻辑命题逻辑 Chapter 4 Chapter 4 谓词逻辑谓词逻辑n n3.3.代数结构代数结构(Chapter 5Chapter 5)n n4.4.图论图论
3、 Chapter 6 Chapter 6 图论图论 Chapter 7 Chapter 7 几类特殊的图几类特殊的图n n5.5.组合计数组合计数(Chapter 8Chapter 8)n n学习离散数学的方法:1.1.预习预习.2.2.听课听课.3.3.复习复习.4.(4.(分组分组)作业作业.n n参考文献:屈婉玲屈婉玲,耿素云耿素云,张立昂张立昂,离散数学离散数学,高等教育高等教育出版社出版社,2007.(108144,2007.(108144学时学时)傅彦傅彦,顾小丰顾小丰,王庆先王庆先,离散数学及其应用离散数学及其应用,高高等教育出版社等教育出版社,2008.(,2008.(两个学期
4、两个学期)Chapter 1 Sets,Mappings and Operationsn n集合是现代数学的集合是现代数学的最最基本概念基本概念(?).).n n映射又称为函数映射又称为函数,它它是现代数学的基本概念是现代数学的基本概念,可以可以借助于集合下定义借助于集合下定义.n n运算本质上是映射运算本质上是映射,但但其研究有其特殊性其研究有其特殊性.n n(关系也是集合关系也是集合)集合、映射、运算及关系集合、映射、运算及关系(Chapter 2)(Chapter 2)是贯穿于本书的一条主线是贯穿于本书的一条主线.1.1 集合的有关概念集合的有关概念n n1.集合n n在一定范围内,集合
5、(set)是其具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体,其中的每一个对象都称为该集合的元素(element).n n这里所指范围是全集U(见图1-1).(避免悖论!)n n在数学中常用 表示整体.n n若x是集合A中元素,则记xA,否则xA.n nFuzzy set?n n集合通常用大写字母A,B,C,D,表示.n nN是自然数集合,包括数0；Z是整数集合；Q是有理数集合；R是实数集合；C是复数集合.n nP:2,3,5,7,11,13,17,19,23等.n n(1)m|n:n=mq.n n(2)Dn.n n(3)素数测试与Mersenne素数:2p-1.n n表示集合的常用方法:n n(1)
6、列举法:0,2,4,6,8,N=0,1,2,3,.n n(2)描述法:x|x满足的条件.n n可简记:直角三角形,所有人n n(3)递归法n n自然数集合N可递归定义,在后面章节定义命题公式及谓词公式时还会用此法.n n有限集合A的元素个数|A|,card(A).n nRemarks n n1.集合中的元素可以是集合,例如A=a,a,b,b,c.n na,bA,a,bA.n n2.集合之间的元素原则上是没有次序的,如 A=a,a,b,b,c就是 a,b,c,a,b;n n3.集合中的元素原则上不重复,如a,a,b,b,b,c还是集合A.n n不含有任意元素的集合称为空集不含有任意元素的集合称为
7、空集(empty set),记为记为或或.n n2.子集n nA B,特别地是任意集合的子集.n nA=B.n nTheorem 1-2(P3)n n(1)A A.n n(2)A B,B A A=B.n n(3)A B,B C A C.n nTheorem 1-3 A=B A B 且 B A.n n注意 与 的不同.n n例1-2 由A B,B C可否得出A C?n nSolution 不成立,例如A=a,b,B=a,b,c,C=a,a,b,c.n n课堂练习:4,5.n n3.幂集(power set)n nX=a,b P(X)=,a,b,a,b.n nP(P()=P()=,(P5,6(1)
8、.n n,(P5,2)n nTheorem 1-4 n nProof(加法原理)n n由乘法原理证明?n n4.n元组n nDef 1-4 将n个元素(?)x1,x2,xn按一定顺序排列就得到一个n元(有序)组(n-tuple).n n线性代数中的n维向量(?):n nn=2,n=3(see below)n n n=2:(x,y).n=3:(x,y,z)n n4元组?n n显然,一般说来(x,y)(y,x).n n注意区别(a,b,c),(a,b),c),(a,(b,c)的不同.n nn维向量是n元组,长度为n的线性表是n元组,抽象数据结构Data_Structure=(D,S)本身是一个2
9、元组.n n2元组常称为有序对(ordered pair)或序偶.n n5.笛卡儿积(cross product)n n例1-4(P4)设A=a,b,B=1,2,C=,求A B,B A,A B C,B C.n nSolutionn nA A B B C=(=(a a,1,1,),(),(b b,1,1,),(),(a a,2,2,),(),(b b,2,2,).).n nBC=(1,),(2,)n nRemark A=B =.n nP5,10?n nTheorem n nHint n n可推广到更多个集合的笛卡儿积的情形:n n作业 习题1.1 6,9,10.1.2 映射的有关概念映射的有关概
10、念n n1.映射的定义n n映射mapping=函数function.n nC语言是一种函数型语言:从main开始.n nDefn nA,B:ABn nCeiling function:n nFloor function:n n(取整函数)n n复杂度:n n函数的表示:(1)(1)解析式解析式 (2)(2)图形图形(3)(3)表格表格(数值计算中出现较多数值计算中出现较多)n n函数符号的选取(P6):f,g,F,G,sin,exp,main,add,average,n n注意区别函数f与函数表达式f(x).n n映射的两个特点:(1)(1)全函数全函数;(2)(2)唯一性唯一性.n nB上
11、A:n n例1-5 n nTheorem 1-6 n n注意B上A的记号与该结论的关系.x1x2x3y1y2n n Xf(X)Y f-1(Y)n nn元函数(n 1):n nfloat average(flot array,int n)n nn=0:C语言中的无参函数?一般处理方式:A到B的一个0元函数是B中某一个元素(see P136).n n2.映射的性质n n(1)单射(injection)n n(2)满射(surjection)n n例1-7 是Z到N的满射,但不是Z到Z的满射(?).n n(3)双射(bijectionbijection,one-to-one corresponden
12、ce),one-to-one correspondence)n n双射又称为一一对应:既单又满.n n例1-8n n例1-9(P8)n nDef 1-11 有限集合A上自身的双射称为A上的置换(permutation).n n例1-10n n第一种方式:123123n n第二种方式:n nA=1,2,3,4上的所有置换有多少个?n n4!n n3.逆映射n n设f:AB,将对应关系f逆转(改变方向),一般来说,不能得到B到A的映射:abc123n nDef 1-12 设f:AB,若将对应关系f逆转后能得出一个得到B到A的映射,则称该映射为f的逆映射(invertible function),记
13、为f-1.abc123n nTheorem 1-7 f 的逆映射存在的充要条件是f是双射.n n对于y=sin x,当 时,有反函数,常记为n n当 时,y=sin x仍有反函数,但不能 记为arcsin.显然,当 时,无反函数.n n4.复合映射(composition function)n nTheorem1-8 设f:A B,g:B C:n n则h:A C.xy=f(x)z=g(y)=g(f(x)n nDef 1-13 n n例1-12abc123n nRemarksn n(1)y=sin u,u=x2n n未引入运算符号,有时是不方便的.n n(2)顺序问题:n n有些专业书n n但会
14、出现一些混乱.n n例1-13(P9)f:RR,f(x)=x2,n ng:RR,g(x)=x+2,求fg和gf.n nSolution x R:n n(fg)(x)=g(f(x)=g(x2)=x2+2.n n(gf)(x)=f(g(x)=f(x+2)=(x+2)2.n nRemark fg gf.n nIA:A An nTheorem 1-9n n理解:abc123abc123abc123n nTheorem 1-10n n(1)若f和g是单射,则fg是单射.n n(2)若f和g是满射,则fg是满射.n n(3)若f和g是双射,则fg是双射.n nProof(2)任意z C,由于g是满射,存在
15、y B,使得z=g(y).又由于f是满射,存在x A,使得y=f(x).于是z=g(y)=g(f(x)=(fg)(x).故fg是满射(see below).n nTheorem 1-11n n(1)若fg是单射,则f是单射,g不一定.n n(2)若fg是满射,则g是满射,f 不一定.n n(3)若fg是双射,则f是单射且g是满射.n nProof(1)任意x1,x2 A,若f(x1)=f(x2),n n显然,g(f(x1)=g(f(x2),即(fg)(x1)=(fg)(x2).由于fg是单射,因此 x1=x2.故f是单射.n ng不一定(见上图)?n n一般来说fg gf,但n nTheore
16、m 1-12n n作业 习题1.2:3,4,7,8,12.n nHint n n7.使用定理1-10和第3题.n n8.使用第7题结论.n n12.使用第7题结论.1.3 运算的定义及性质运算的定义及性质 n n运算是讨论对象之间有何联系的一种方法运算是讨论对象之间有何联系的一种方法.其实，其实，我们已经接触过很多运算我们已经接触过很多运算,如数之间的加法运算、如数之间的加法运算、多项式之间的乘法运算、矩阵的逆运算、向量的多项式之间的乘法运算、矩阵的逆运算、向量的线性运算等线性运算等.在讨论离散数据结构时也会经常遇到在讨论离散数据结构时也会经常遇到各种各样的运算，如在下节即将研究的集合间的各种
17、各样的运算，如在下节即将研究的集合间的运算运算.n n虽然运算本质上是映射，但研究的侧重点不同，虽然运算本质上是映射，但研究的侧重点不同，在运算中更注重于运算满足的一些运算性质，而在运算中更注重于运算满足的一些运算性质，而根据这些性质可以对一些离散对象分门别类进行根据这些性质可以对一些离散对象分门别类进行讨论讨论.n n因此，有必要先把运算的一般定义及其性质进行因此，有必要先把运算的一般定义及其性质进行讨论讨论.n n1.运算的定义n n(1)定义 A1,A2,An到B的n元运算(n-ary operation):A A到到B B(或或A A上上)的的n n元运算元运算:A A上的上的n n元
18、封闭运算元封闭运算(代数运算代数运算):):n n(n=0?一般处理方式:A到B的一个0元运算可理解为B中某一个元素.)n n例1-14 f:Z N,f(x)=|x|.n n例1-15(模运算)f:Z N,f(x)=x(mod k),n n x=qk+r,0 r 1.n nProof(?)n n2.集合的覆盖n nDef 设A是集合,由A的若干非空子集构成的集合称为A的覆盖(covering),如果这些非空子集的并等于A.n na,b,b,cn n集合的划分 集合的覆盖,但反过来不成立.n nA=a,b,c上所有不同的覆盖有哪些?n n作业 习题1.5 1,4,7.1.6 集合的对等集合的对等
19、n n集合的对等,它是集合间的另一种关系.通过集合对等以及相关内容的学习,加深对函数概念的理解,提高正确使用函数工具作为研究手段的能力.n n1.集合对等(equivalent)n nDef A B:存在双射f:A B.n nN E.n nZN?n n(0,1)R.n nG.Cantor.n nN N N.n nTheorem 1-28(对等的性质)n n(1)A A.n n(2)A B B A.n n(3)A B,B C A C.n n2.无限集合n n有了集合对等的概念,就可以给出无限集合及有限集合的严格定义.n nDef 设A是集合,若存在A的一个子集与自然数集合N对等,则称A为无限集合
20、(infinite set),否则称A为有限集合(finite set).n nN.n n0,1.n n3.集合的基数n n有限集合的基数就是的元素个数.借助于集合对等概念,可以将其扩展到无限集合.n nDef 若集合A和B对等,则称这两个集合的基数(cardinality)相同.n n|A|,card(A),#(A).n nG.CantorG.Cantor被这些问题所折磨难以自拔被这些问题所折磨难以自拔,1884,1884年后年后患精神病患精神病(受到很多人的批评和攻击受到很多人的批评和攻击,包括他的老包括他的老师师,用脑过度用脑过度?)?)n n4.可数集合n nDef 能与自然数集合N对
21、等的集合称为可数集合(countable set).n n根据无限集合的定义知：任意无限集合均存在一个可列的子集合.根据这一点,可以证明无限集合的特征性质.n nTheorem 设A是无限集合,则存在A的一个真子集B,使得 A B.n nProof 因为A是无限集合,存在可数的子集合n n考虑n nQ是可列集合.n n5.不可数集合n n是否所有无限集合都是可数的?答案是否定的.n n例 证明:(0,1)是不可数集合.n nProof(反证)n n取n n6.基数的比较n nDef 给定集合A和B,若存在A到B的单射,则称A的基数小于等于B的基数,记为|A|B|.若进一步,不存在A到B的双射,则称A的基数小于B的基数,记为|A|B|.n n由定义易知,若存在B到A的满射,则|B|A|.n n显然,n nProblem 是否存在集合A,满足n n(著名的连续统假设?!)n n作业 习题1.6 2,4,6.