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1、1 对随机向量来说，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，还希望知道分量之间的相关程度，因此引进协方差和相关系数这两个概念。定义计算公式：一、协方差的概念及其性质一、协方差的概念及其性质其中第1页/共35页2协方差的性质：1.对称性：2.线性性：3.若X和Y相互独立，则 因为X和Y相互独立注意：反之未必成立。第2页/共35页34.类似地有推广：因此，若X1,X2,Xn两两独立,，则有第3页/共35页4 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念.可以验证，标
2、准化随机变量消除了量纲的影响。二、相关系数的概念及其性质二、相关系数的概念及其性质第4页/共35页5定义设 D(X)0,D(Y)0,计算公式：第5页/共35页6 设(X,Y)的联合分布律为 例1解先求出边缘分布，第6页/共35页7第7页/共35页8 设(X,Y)的联合密度函数为 例2解先求出边缘密度，第8页/共35页9类似地，第9页/共35页10第10页/共35页11注：实际上,本题不必求边缘密度,可以直接用以下公式计算E(X)、E(Y)等.实际上,第一种方法限定了求积分的次序,有时不方便.第11页/共35页12性质1证性质2证相关系数的性质：相关系数的性质：第12页/共35页13性质2证第1
3、3页/共35页14例3解第14页/共35页15例3解第15页/共35页16第16页/共35页17 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).|的值越接近于1,Y与X的线性相关程度越高;|的值越接近于0,Y与X的线性相关程度越弱.三、随机变量的线性相关性三、随机变量的线性相关性第17页/共35页18定义下列事实彼此等价：若X与Y 相互独立，则X与Y 不相关。定理注意：(2)在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。(1)逆命题不成立,即X与Y 不相关时,不一定独立.第18页/共35页19二维正态分布前面已证:X,Y 相互独立可以计算得 于是，对二维正态随机变量(X,Y)
4、来说,X和Y 不相关与X和Y 相互独立是等价的.第19页/共35页20例4设(X,Y)的分布律为所以这表示X,Y 不存在线性关系.但,知X,Y 不独立.事实上,X,Y 具有非线性关系:第20页/共35页21证即A与B相互独立,例5第21页/共35页22即A与B相互独立,故X和Y相互独立 第22页/共35页23即(X,Y)服从单位圆上的均匀分布.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 试验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的.解边缘密度为 例6第23页/共35页24边缘密度为 同理,即X和Y不独立.(奇函数)同理,第24页/共35页25(或利用对称性)所以即X和Y不相关.第25页/共35页2
5、6练习：P131 习题四第26页/共35页27补充题：1.2.设(X,Y)的联合密度函数为 3.设A,B是二随机事件,试证明X和Y 不相关的充分必要条件是A与B独立.并定义随机变量X,Y如下：第27页/共35页28证补补1 1第28页/共35页29设A,B是二随机事件,试证明X和Y 不相关的充分必要条件是A与B独立.记则XY的可能取值为-1,1,并且并定义随机变量X,Y如下：证补补2 2第29页/共35页30所以因此即X和Y 不相关的充分必要条件是A与B独立.第30页/共35页31设(X,Y)的联合密度函数为 解先求出边缘密度，补补3 3第31页/共35页32类似地，第32页/共35页33第33页/共35页34或解不求出边缘密度，其余同解法一。第34页/共35页35感谢您的观看！第35页/共35页