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1、会计学1随机变量随机变量(su j bin lin)的方差协方差的方差协方差与相关系数与相关系数第一页，共34页。退出(tuch)第1页/共34页第二页，共34页。退出第2页/共34页第三页，共34页。一四三退出 二第3页/共34页第四页，共34页。式给出的平均式给出的平均(pngjn)波动，称为二者的协方差，记为波动，称为二者的协方差，记为 退出(tuch)返回(fnhu)1.方差、协方差与相关系数的定义方差、协方差与相关系数的定义 随机变量随机变量X 对其均值的偏差以差的平方的形式所给出对其均值的偏差以差的平方的形式所给出的波动，称为该随机变量的方差，记为的波动，称为该随机变量的方差，记为
2、 亦即亦即 两随机变量两随机变量X 与与Y 对各自均值的偏差以差之乘积的形对各自均值的偏差以差之乘积的形亦即亦即 比值，称为二者的相关系数，记为比值，称为二者的相关系数，记为 两随机变量两随机变量X 与与Y 的协方差与该二变量标准差乘积的的协方差与该二变量标准差乘积的亦即亦即 方差的算术平方根方差的算术平方根 称为随机变量的标准差称为随机变量的标准差.第4页/共34页第五页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)2.方差方差(fn ch)与协方差与协方差(fn ch)的理论的理论计算公式计算公式 对离散型变量对离散型变量 对连续型变量对连续型变量或或或或易见，方差是协方差的特例，协方差是方
3、差的推广易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广并且显然还有并且显然还有第5页/共34页第六页，共34页。退出(tuch)协方差（含相关系数）(设 C 是常数(chngsh)方差(fn ch)2)当 X 与Y 相互独立时,恒有1)3)4)当 X 与Y 相互独立时,恒有3)1)2)4)第6页/共34页第七页，共34页。退出(tuch)方差与协方差（含相关系数）重要(zhngyo)性质选证一返回(fnhu)又 X 与Y 相互独立时,总有当 X 与Y 相互独立时,恒有以及从而,作为协方差的特例，方差也应有证第7页/共34页第八页，共34页。退出(tuch)方差(fn ch)与协方差(fn ch)
4、（含相关系数）重要性质选证二返回(fnhu)惟当 X 与Y 相互独立时,故此时必恒有一般而论,总有由于证第8页/共34页第九页，共34页。退出(tuch)方差与协方差（含相关系数）重要(zhngyo)性质选证三返回(fnhu)以及其中 X*与 Y*是标准随机变量,并且显然满足证即满足可见第9页/共34页第十页，共34页。【说明】本例只能(zh nn)求前者的方差 退出(tuch)方差(fn ch)数学期望返回D(X)=4,D(Y)=1,D(Z)=3.试求随机变量 U=2X+3Y+1 解例2-1 设 X,Y,Z 相互独立,E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8.与随机变量V=YZ4X 的数学
5、期望和前者的方差.难以准确地求出后者的方差.事实 上，后者的方差只能求出一部分 第10页/共34页第十一页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)1.方差的具体计算公式与实际计算步骤方差的具体计算公式与实际计算步骤 对离散型变量对离散型变量 对连续型变量对连续型变量第11页/共34页第十二页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)2.协方差的具体协方差的具体(jt)计算公式与实际计算步骤计算公式与实际计算步骤 对离散型变量对离散型变量 对连续型变量对连续型变量第12页/共34页第十三页，共34页。是是 X 与与Y 的协方差的协方差.*3.*3.方差、协方差具体计算中常用数学方差、协方差
6、具体计算中常用数学方差、协方差具体计算中常用数学方差、协方差具体计算中常用数学(shxu)(shxu)期望的别称期望的别称期望的别称期望的别称 k k 阶原点矩阶原点矩阶原点矩阶原点矩退出(tuch)返回(fnhu)【注】【注】就是就是 X 的数学期望的数学期望.X 的一阶原点矩的一阶原点矩是是 X 平方的数学期望平方的数学期望.X 的二阶原点矩的二阶原点矩 X 的二阶中心矩的二阶中心矩是是 X 的方差的方差.k+l 阶混合中心矩 k+l 阶混合原点矩 k 阶中心矩 X 的二阶混合原点矩的二阶混合原点矩是是 X 与与Y 乘积的数学期望乘积的数学期望.X 的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩第13
7、页/共34页第十四页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)3.方差与协方差的实际方差与协方差的实际(shj)计算公式与计算步骤计算公式与计算步骤 对连续型变量对连续型变量或或易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广易见，方差是协方差的特例，协方差是方差的推广或或第14页/共34页第十五页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)【注【注2】显然，对连续显然，对连续(linx)随机变量而随机变量而言言2.2.常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称常用幂函数与复合幂函数的数学期望及其别称 k k 阶原点矩
8、阶原点矩阶原点矩阶原点矩 k 阶中心矩 X 的一阶原点矩的一阶原点矩 X 的二阶原点矩的二阶原点矩 X 的二阶中心矩的二阶中心矩第15页/共34页第十六页，共34页。例例例例4-1 4-1 已知已知已知已知 X X 的分布的分布的分布的分布(fnb)(fnb)律如下表所示，试求律如下表所示，试求律如下表所示，试求律如下表所示，试求 E(X)E(X)，E(X 2)E(X 2)和和和和 E(2X E(2X3X 2).3X 2).X2349Pi1/85/81/81/8解退出(tuch)返回(fnhu)第16页/共34页第十七页，共34页。解 例例例例4-2 4-2 已知已知已知已知(X,Y)(X,Y
9、)的联合的联合的联合的联合(linh)(linh)分布律如右表所示分布律如右表所示分布律如右表所示分布律如右表所示.求求求求 E(X),E(Y),E(X E(X),E(Y),E(XY Y)和和和和 E(XY ).E(XY ).X Y01P.j00.10.10.80.80.90.910.10.10 00.10.1P i.0.20.20.80.8 X Y0100.10.10.80.810.10.10 0注意(zh y):但一般(ybn)讲,退出返回第17页/共34页第十八页，共34页。例例例例4-3 4-3 随机变量随机变量随机变量随机变量(su j bin lin)X(su j bin lin)
10、X 的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度Y=2X Y=2X 和和和和 Y=e-2X Y=e-2X 的数学的数学的数学的数学(shxu)(shxu)期望。期望。期望。期望。试求解退出(tuch)返回第18页/共34页第十九页，共34页。例例例例4-44-4 (X X,Y Y)的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度 E E(X X),),E E(Y Y)；E E(XYXY),),E E(X X 2 2+Y Y 2 2).).试求XY (1,1)0y=x解x=1退出(tuch)返回(fnhu)第19页/共34页第二十页，共34页。例例例例4-44-4 (X X,Y Y)的概率密度的概率密度的概
11、率密度的概率密度 E E(X X),),E E(Y Y)；E E(XYXY),),E E(X X 2 2+Y Y 2 2).).试求XY (1,1)0y=x解x=1退出(tuch)返回(fnhu)第20页/共34页第二十一页，共34页。例例例例4-5 X 4-5 X 和和和和Y Y 相互相互相互相互(xingh)(xingh)独立独立独立独立,二者的概率密度二者的概率密度二者的概率密度二者的概率密度则则则则 E E(XY XY)().().C.8/3 D.7/3CA.4/3 B.5/3退出(tuch)返回(fnhu)第21页/共34页第二十二页，共34页。退出(tuch)例4-6 天若无雨,水
12、果商每天可赚100元;天若有雨,水果商每天损失(snsh)10元.一年365天,贩卖水果地的下雨日约130日.问水果商在该地卖水果,每天可期望赚多少钱?返回(fnhu)水果贩卖地每天无雨与有雨的概率显然依次为解从而水果商每天所赚钱数 X 的分布律为即水果商每天可期望赚 60.82 元.100 10第22页/共34页第二十三页，共34页。寿命(shumng)不到一年的概率显然为 例4-7 设备的寿命XE().该设备售出一台盈利100元,因年内损坏而调换则亏损(ku sn)200元.求出售一台设备的盈利数学期望.因此，一台设备出售(chshu)的盈利值Y 有分布律从而寿命超过一年的概率即退出返回解
13、 可见200 100第23页/共34页第二十四页，共34页。第 i 站有人(yu rn)下车记为Yi=1，第 i 站无人下车记为Yi=0,（i=1,2,10）,则专线车停车的次数 *例4-8 载有20名旅客的专线车在无下车旅客的车站不停车。设各旅客在指定停靠的10个站下车的可能性相等(xingdng)，且是否下车相互独立，那么若以 X 记专线车停车的次数，则 E（X）=？因各站下车(xi ch)的可能性相等，故旅客在任一站下车(xi ch)的概率为1/10，不下车(xi ch)的概率为9/10，从而，从而就有退出返回解第24页/共34页第二十五页，共34页。任一弹着点与目标(mbio)间的距离
14、显然为 *例4-9 用(X,Y)记炮击的弹着点坐标.设坐标XN(0,2),坐标Y N(0,2),且二者相互独立.试求弹着点与目标(mbio)(0,0)间的平均距离.X 与Y 相互(xingh)独立，且XN(0,2),YN(0,2),可见,弹退出返回解着点与目标间的平均距离应为 从而第25页/共34页第二十六页，共34页。韩旭里等编概率论与数理统计教材韩旭里等编概率论与数理统计教材第四章第四章 习题四习题四 P112P117 批改题批改题 P112:1.(求离散变量的数学期望求离散变量的数学期望)P113:5.11.(求连续变量的数学期望与方差求连续变量的数学期望与方差)7.(利用算子演算性质利
15、用算子演算性质(xngzh)计计算数学期望与方差算数学期望与方差)8.9.（利用独立性简化数学期望的求算（利用独立性简化数学期望的求算）10.(求连续变量的数学期望求连续变量的数学期望)12.(对实际问题求数学期望与方差对实际问题求数学期望与方差)退出(tuch)返回(fnhu)第26页/共34页第二十七页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案5.1.第27页/共34页第二十八页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案8.7.XY (1,1)0y=xx=1第28页/共34页第二十九页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案10.9.又X 与Y 相互独立，第29页/共34页第三十页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)P112P113参考答案11.第30页/共34页第三十一页，共34页。退出(tuch)返回(fnhu)12 合格品取出之前(zhqin)所取废品数 X 的分布列为P112P113参考答案X0123Pi9/125/81/81/8 第 k 次才取到废品的概率12.第31页/共34页第三十二页，共34页。第32页/共34页第三十三页，共34页。第33页/共34页第三十四页，共34页。