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1、随机变量的协方差和相关系数随机变量的协方差和相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X 与Y的数学期望和方差以外，还要讨论描述X 和Y 之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的协方差和相关系数 E X-EXY-EY 称为随机变量X 和Y 的协方差,记为cov(X,Y)，即 一、协方差cov(X,Y)=EX-EXY-EY=EXY-EXEY1.定义 1)当(X,Y)是离散型随机变量时,2)当(X,Y)是连续型随机变量时,(6)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(5)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)a,b 是常
2、数(7)D(XY)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y)(4)cov(aX+b,Y)=a cov(X,Y)a,b 是常数2.简单性质(3)cov(X,Y)=cov(Y,X)(2)cov(X,X)=D(X)(1)cov(X,C)=0,C为常数；协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受X 与Y 本身度量单位的影响.为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数.二、相关系数 为随机变量 X 和 Y 的相关系数.定义:设D(X)0,D(Y)0,称在不致引起混淆时，记 为.相关系数的性质：证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数 b,有0D(Y-bX)=b2D(X)
3、+D(Y)-2b cov(X,Y)令，则上式为 D(Y-bX)=由于方差D(Y)是正的,故必有1 0,所以|1。称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X 与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X 和Y 之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的并不一定能推出X 和Y 独立.cov(X,Y)=EX-EXY-EY=EXY-EXEY(i,j=1,2,n)1 0,所以|1。cov(X,Y)=EX-EXY-EY=EXY-EXEY并不一定能推出X 和Y 独立.方差D(X)是X 的二阶中心矩.（4）D(X Y)=DX+DY
4、。由于方差D(Y)是正的,故必有（4）D(X Y)=DX+DY。定义:设D(X)0,D(Y)0,为随机变量 X 和 Y 的相关系数.称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.存在常数 a,b(b0)，使 PY=a+b X=1，即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.3.X 和Y 独立时，=0，但其逆不真.由于当X 和Y 独立时，cov(X,Y)=0,故=0但由并不一定能推出X 和Y 独立.例1 设XN(0,1),Y=X2,求X 和Y 的相关系数。证:4.若，则称X 和Y（线性）不相关。定理：若随机变量X 与Y 的数学期望和方差都存在，且均不为零，则下列四个命题等价：（1）；（2）cov(X,Y)=0
5、；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY。注：反应了X 与Y 的线性关系密切程度；X 与Y 不相关 表明两者没有线性关系，但不等于说没有其他关系。但可以证明对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X 与Y 独立 X 与Y 不相关若 X 与 Y 独立，则X 与Y 不相关，但由X 与Y 不相关，不一定能推出X 与Y 独立.独立与不相关的关系：三、协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个数量指标排成矩阵的形式:称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.这是一个非负定对称矩阵为(X1,X2,Xn)的相关系数矩阵。(5)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y)
6、a,b 是常数随机变量的协方差和相关系数(2)cov(X,X)=D(X)X 和Y 独立时，=0，但其逆不真.表明两者没有线性关系，但不等于说没有其他关系。(2)cov(X,X)=D(X)前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X 与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X 和Y 之间关系的数字特征，这就是本讲要讨论的为随机变量 X 和 Y 的相关系数.（2）cov(X,Y)=0；1)当(X,Y)是离散型随机变量时,(i,j=1,2,n)1 0,所以|1。方差D(X)是X 的二阶中心矩.若，则称X 和Y（线性）不相关。X 和Y 独立时，=0，但其逆不真.类
7、似定义n 维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.都存在,则称(i,j=1,2,n)若矩阵这是一个非负定对称矩阵为(X1,X2,Xn)的相关系数矩阵。都存在,则称(i,j=1,2,n)若矩阵四、相关系数矩阵这是一个非负定对称矩阵由于故相关系数矩阵的主对角元素均为1.五、原点矩和中心矩 定义 设X 和Y 是随机变量，若 存在，称它为X 的k阶原点矩，简称 k阶矩.存在，称它为X 的k阶中心矩.注：均值 E(X)是X 一阶原点矩,方差D(X)是X 的二阶中心矩.注:协方差cov(X,Y)是X 和Y 的二阶混合中心矩.称它为 X 和 Y 的 k+l 阶混合原点矩.若 存在，称它为X 和 Y 的 k+l 阶混合中心矩.设 X 和 Y 是随机变量，若 k,l=1,2,存在，六、例题讲解六、例题讲解1、1、解解2.谢谢观看！感谢观看