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1、关于矩阵的特征值和关于矩阵的特征值和特征向量特征向量第一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1825.1.1 特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念定义定义 设设A为数域为数域F上的上的n阶矩阵阶矩阵,如果存在数如果存在数l l F和和非零非零的的n维列向量维列向量X,使得使得AX=l lX就称就称l l是矩阵是矩阵A的的特征值特征值,X是是A的属于的属于(或对应于或对应于)特征值特征值l l的的特征向量特征向量.注意注意:特征向量特征向量X 0;特征值问题是对方阵而言特征值问题是对方阵而言 的的,本章的矩阵如不加说明本章的矩阵如不加说明,都是方阵都是方阵.第
2、二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/183AX=l lX 根据定义根据定义,n阶矩阵阶矩阵A的特征值的特征值,就是齐次线性就是齐次线性方程组方程组 (l lI-A)X=0 有非零解的有非零解的l l值值.即满足方程即满足方程 det(l lI-A)=0 即即 的的l l都是矩阵都是矩阵A的特征值的特征值.因此因此,特征值是特征值是l l的多项式的多项式det(l lI-A)的根的根.第三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/184 AXAX=l l l lX X,det(det(l l l lI-A)=0)=0(5.2)(5.2)定义定义定义定义 设设设
3、设n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A=(a aij ij),则则称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式,l lI-A称为称为A的的特征矩阵特征矩阵,(5.2)式称为式称为A的的特征方程特征方程.第四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/185 显然显然显然显然,n n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式是的特征多项式是的特征多项式是的特征多项式是l l l l的的的的n n次多项式次多项式.特特征多项式的征多项式的k k重根也称为重根也称为重根也称为重根也称为k k重特征值重特征值重特征值重特征值.当当当当n n 5 5时时时时,特征多项式特征多项式特征多项式特征多项式没有一般的
4、求根公式没有一般的求根公式没有一般的求根公式没有一般的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式,一般一般一般一般也难以求根也难以求根也难以求根也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值值值值,一般用一般用一般用一般用0,1,0,1,-1,2,-2 2进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根,则剩下的两个则剩下的两个则剩下的两个则剩下的两个根可用解一元二
5、次方程的办法解根可用解一元二次方程的办法解根可用解一元二次方程的办法解根可用解一元二次方程的办法解.第五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/186例解验证：是否为A的特征向量第六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/187注1注2注3如果 是A对应于特征值 的特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。第七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/188注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的注4如果 是A对应于特征值 的线性无关特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。第八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/
6、189例 求下列矩阵的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为即对应的特征向量可取为第九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1810对应的特征向量可取为A属于 的全部特征向量：A属于 的全部特征向量：第十张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1811例例例例 求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为l1=2,l2，3=1(二重特征值).第十一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1812当当当当l l l l1 1=2=2时时时时,由由由由(l l1 1
7、I-A A)X X=0,=0,即即即即得其基础解系为得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此因此k1X1(k1 0为常数为常数)是是A的对应于的对应于l l1=2的特征向量的特征向量.第十二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1813当当当当l l l l2=1=1时时时时,由由由由(l l l l2 2I I-A A)X X=0,=0,即即即即得其基础解系为得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此因此k2X2(k2 0为常数为常数)是是A的对应于的对应于l l2=1的特征向量的特征向量.第十三张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1814例 求矩阵
8、的特征值和特征向量解A的特征多项式为A的特征值为第十四张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1815得基础解系得基础解系第十五张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1816例例例例 主对角元为主对角元为主对角元为主对角元为a a1111,a a2222,.,.,a annnn的对角阵的对角阵的对角阵的对角阵A或上或上或上或上(下下下下)三角阵三角阵三角阵三角阵B B的的的的特征多项式是特征多项式是特征多项式是特征多项式是|l l l lI I-A A|=|=|l lI I-B|=(|=(l l-a1111)(l l l l-a2222).().(l l-an
9、n),),故故故故A A,B的的的的n n个特征值就是个特征值就是个特征值就是个特征值就是n n个主对角元个主对角元个主对角元个主对角元.第十六张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1817 2 2 2 2、n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A=(a aij ij)的的的的n n个特征值为个特征值为l l l l1 1,l l l l2 2,.,l l l ln n.则则则则5.1.2 特征值和特征向量的性质 1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特 征值均不为0.第十七张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1818 矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的
10、特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:3、若若l l是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的特征值的特征值,X X是是A A属于属于属于属于l l的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量,则则则则(i)(i)k kl l l l+a a是是是是kA+aIkA+aI的特征值的特征值的特征值的特征值(k,ak,a是任意常数是任意常数是任意常数是任意常数),),(ii)(ii)l lmm是是是是A Am的特征值的特征值的特征值的特征值(mm是正整数是正整数是正整数是正整数););(iii)(iii)当当当当A A可逆时可逆时可逆时可逆时,l l-1
11、是是是是A A-1 1的特征值的特征值的特征值的特征值;(iv)(iv)当当当当A A可逆时可逆时可逆时可逆时,detA/,detA/l l l l是是A A*的特征值的特征值.且且且且X仍是矩阵仍是矩阵kA+aIkA+aI,A Am,A A-1,A*的分别对应于特征值的分别对应于特征值的分别对应于特征值的分别对应于特征值kl+al+al+al+a,l l l lmm,1/,1/l,l,l,l,detA/detA/l l l l的特征向量的特征向量.第十八张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1819证证 已知已知AXAX=l lX X(i)(i)k kl l是是kAkA的特
12、征值的特征值(k k是任意常数是任意常数),),这是因为这是因为(kAkA)X X=k k(AXAX)=k kl lX X,即即k kl l是是kAkA的特征值的特征值,X X是是kAkA的属于特征值k kl l的特征向量.(ii)(ii)A A(AXAX)=)=A A(l lX X)=)=l(AX)=)=l l(lX X),即即 A A2X X=l2 2X X 再继续上述步骤再继续上述步骤m m-2次,就得Am mX X=l lm mX.(iii)(iii)当当A A可逆时可逆时,l l 0,0,由由AXAX=lX可得A A-1 1(AXAX)=)=A-1(l lX X)=)=l lA A-
13、1 1X X 因此因此 A A-1 1X X=l l-1X X故l l-1 1是A A-1 1的特征值的特征值,且且X X也是A A-1 1对应于对应于l l-1 1的特征向量的特征向量第十九张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/18204 4、矩阵矩阵矩阵矩阵A A和和和和A AT T的特征值相同的特征值相同.证 因为(l lI I-A)T T=(=(l lI I)T T-AT=l lI I-A AT 所以 det(l lI-A A)=det()=det(l lI I-A AT T)因此因此 A A和和A AT T有完全相同的特征值有完全相同的特征值.第二十张，PPT共二十二页，创作于2022年6月2022/9/1821定理 设 阶方阵A 有互不相同的特征值 ，(iI A)x=0的基础解系为 则 ；线性 无关 推论 6、设A为n阶方阵，,若为A的特 征值，则 是f(A)的特征值 7、设为A的k重特征值,A关于的线性无关的特征 向量的最大个数为s，则1 s k(矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）第二十一张，PPT共二十二页，创作于2022年6月感谢大家观看第二十二张，PPT共二十二页，创作于2022年6月