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1、第一章 质点运动学习题解答 第一章 质点运动学习题解答 1-1 质点作曲线运动,在时刻质点的位矢为,速度为,速率为,在至时间内的位移为,路程为,位矢大小的变化量为 (或称),平均速度为,平均速率为(1)根据上述情况,则必有(B)习题 1-1 图(A)(B)，当时有 (C)，当时有 (D)，当时有 (2)根据上述情况,则必有(C)(A)，(B)，(C)，(D)，1-2 一运动质点在某瞬时位于位矢的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1);(2);(3);(4)(下述判断正确的是(D)(A)只有(1)(2)正确(B)只有(2)正确 (C)只有(2)(3)正确(D)只有(3)(4)正确 1-3 质
2、点作曲线运动,表示位置矢量,表示速度,表示加速度,表示路程,表示切 向加速度(对下列表达式,即 (1);(2);(3);(4)。下述判断正确的是(D)(A)只有(1)、(2)是对的(B)只有(3)、(4)是对的(C)只有(2)是对的(D)只有(3)是对的 1-4 一个质点在做圆周运动时,则有(B)1 第一章 质点运动学习题解答 (A)切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B)切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C)切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D)切向加速度一定改变,法向加速度不变 1-5 一质点沿轴运动，其坐标与时间的关系为，则该质点速度方向沿轴正向的时间区间为(A)。(A)
3、(B)(C)(D)1-6 质点的运动方程为，则质点在秒时到原点的距离为 m，速度矢量为 m/s。1-7 一质点做半径为、周期为的匀速率圆周运动，试问经过四分之一周期的时间间隔内，质点所发生的位移的大小是()，走过的路程是()。1-8 已知质点以初速度、加速度作直线运动()，则速度与时间的关系式为()。1-9 一质点沿半径米的圆周运动，其所走路程与时间的关系为，则在 秒时速率为()，切向加速度的值为()。1-10 飞机驾驶员想往正北方向航行，而风以的速度由东向西刮来，如果飞机的航速(在静止空气中的速率)，试问驾驶员应取什么航向,飞机相对于地面的速率为多少,试用矢量图说明。解:设下标 A 指飞机，
4、F 指空气，E 指地面。由题可知:v=60 km/h 正西方向。FE v=180 km/h 方向未知 AF 习题 1-11 图 v 大小未知，正北方向 AE,由相对速度关系有:,，AEAFFE,、构成直角三角形，可得:,AEAFFE 2 第一章 质点运动学习题解答 ,22,10;，,170km/h,tg,19.4AEAFFEFEAE 1-11 如图，一人用绳拉一辆位于高出地面的平台上的小车在水平地面上奔跑，已知人的速度 u 为恒量，绳端与小车的高度差为 h。设人在滑轮正下方时开始计时，求 t 时刻小车的速度和加速度。分析:根据图可知绳的变化与人运动的时间有关。在任何时刻 t,绳、人距离墙的距离
5、和高度 h 满足:2222h，ut,l 由于绳长对时间一阶导数就是小车的速率，因此可对上式进行求导得到速度(速率)，速度求导得到加速度。222222h，ut,l 解:由可求出。，l,h，ut 2dlut,上式对时间求一阶导数:,22dt，h，ut 上式再求导:1-12 一质点沿轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如习 题图 1-12 所示(设 时,(试根据已知的图，画出 C 20 B 图以及图。10 分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中 v-t 曲线的斜率为 加速度的大小(图中 AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动;而 D 4 1 2 6 线段 BC 的斜率为 0,加速度为零,即匀速
6、直线运动)(加速度为恒量,10 在 a-t 图上是平行于 t 轴的直线,由 v-t 图中求出各段的斜率,即可作 习题 1-12 图 出 a-t 图线(又由速度的定义可知,x-t 曲线的斜率为速度的大小(因 A 20 此,匀速直线运动所对应的 x-t 图应是一直线,而匀变速直线运动所 对应的 xt 图为 t 的二次曲线(根据各段时间内的运动方程 x,x(t),求出不同时刻 t 的位置 x,采用描数据点的方法,可作出 x-t 图(解 将曲线分为 AB、BC、CD 三个过程,它们对应的加速 度值分别为 20 10 46 00 2 10 3 B 20 习题 1-12 图 第一章 质点运动学习题解答 v
7、v,2BAa(匀加速直线运动),20m,sABtt,BA(匀速直线运动)a,0BC vv,2DCa(匀减速直线运动),10m,sCDtt,DC 根据上述结果即可作出质点的 a-t 图,图(B),(在匀变速直线运动中,有 12x,x，vt，t 02 由此,可计算在 0,2,和 4,6,时间间隔内各时刻的位置分别为 由表中数据可作 0,2,和 4,6,时间内的 x-t 图(在 2,4,时用描数据点的作图方法,1 间内,质点是作的匀速直线运动,其 x-t 图是斜率 k,20 的一段直线,图(c),(v,20m,s 1-13 一质点 P 沿半径 R,3.0m 的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20
8、.0s，设 t,0 时，质点位于 O 点。按习题 1-13(a)图中所示 Oxy 坐标系，求(1)质点 P 在任意时刻的位矢;(2)5 s 时的速度和加速度。分析 该题属于运动学的第一类问题,即已 知运动方程 r,r(t)求质点运动的一切信息(如 位置矢量、位移、速度、加速度)(在确定运动 方程时,若取以点(0,3)为原点的 Oxy坐标系,并 采用参数方程 x,x(t)和 y,y(t)来表示圆周运 动是比较方便的(然后,运用坐标变换 x,x0，x和 y,y0，y,将所得参数方程转换至 Oxy 坐 标系中,即得 Oxy 坐标系中质点 P 在任意时刻习题 1-13 图 的位矢(采用对运动方程求导的
9、方法可得速度 和加速度(2 解(1)如图(B)所示,在 Oxy坐标系中,因,则质点 P 的参数方程为,tT 22,x,Rsinty,RcostTT 坐标变换后,在 Oxy 坐标系中有 22,x,x,Rsinty,y，y,Rcost，R0TT 则质点 P 的位矢方程为 4 第一章 质点运动学习题解答 22,3sin(0.1t)i，31,cos(0.1t)j r,Rsinti，,Rcost，Rj,TT,(2)5,时的速度和加速度分别为 dr2222,1 v,Rcosti，Rsintj,(0.3m,s)jdtTTTT 1-14 一质点在半径为 R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置 A 运动到位置
10、B,OA 和 OB 所对的圆心角为。(1)试证位置 A 和 B 之间的平均加速度为 ;(2)当 分别等于 90?、30?、10?和 1?时,平均加速度各为多少,并对结果加以讨论。dv 分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为和 a,dt 2vvva(在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为,式中,v,可由图a,a,ntRt(B)中的几何关系得到,而 t 可由转过的角度 求出(由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在 t?0 时的极限值(解(1)由图(b)可看到 v,v-v,故 21 22v,v，v,2vvcos 1212 ,v2(1,cos)而 sRt,v
11、v 所以 2vv(b)(a)a2(1cos),tR 习题 1-14 图 (2)将,90?,30?,10?,1?分别代入上式,得 22vv,0.9003a,0.9886a,12RR 22vvaa,0.9987,1.000,34RR 以上结果表明,当?0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法 5 第一章 质点运动学习题解答 2v 向加速度(R 1-15 一质点在半径为 0.10m 的圆周上运动,其角位置为,式中 的单位为rad，t 的单位为 s。(1)求在 t,2.0s 时质点的法向加速度和切向加速度。(2)当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，值为多少,(3)t 为多
12、少时，法向加速度和切向加速度的值相等,解:(1)由题意，得 d,d,2,12t,24t,dtdt 则质点的切向加速度和法向加速度分别为 24a,R,144Rt(2)a,R,24Rt(1)nt 则 t=2.0s 时，切向加速度和法向加速度分别为 ,22222,aR,，,240.12.04.8msaR,，,0.1(122.0)230.4mstn (2)由题意知 22aa，a22nt 由,可得 3a,aa,tnt22 13 将式(1)、(2)代入上式得 t,23 3,，,243.15radt 此时角位置为 24aa,(3)要使,且;a,R,144Rta,R,24Rtntnt 414424RtRt,t,0.55s 可得到,最后 6